高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.1 椭圆优秀综合训练题

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知识点01：椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点 SKIPIF 1 < 0 到两个定点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于常数 SKIPIF 1 < 0 ，
这个动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹叫椭圆. 这两个定点（ SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（ SKIPIF 1 < 0 ）叫作椭圆的焦距.说明：
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的轨迹为线段 SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的轨迹无图形
2、定义的集合语言表述
集合 SKIPIF 1 < 0 .

【即学即练1】（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点P满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点P的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆.
故选：A.
知识点02：椭圆的标准方程
【即学即练2】（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 的周长为20，且顶点 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】错解：∵△ABC的周长为20，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是 SKIPIF 1 < 0 故选：D.
错因：忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件.
正解：∵△ABC的周长为20，顶点 SKIPIF 1 < 0 ，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，
∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，
∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是 SKIPIF 1 < 0 故选：B.
特别说明：
1、两种椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2、给出椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上⇔标准方程中 SKIPIF 1 < 0 项的分母较大;椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上⇔标准方程中 SKIPIF 1 < 0 项的分母较大,这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
题型01椭圆的定义及辨析
【典例1】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）设 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点的轨迹为（ ）
A．圆B．椭圆C．线段D．不存在
【答案】B
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 表示为 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为5，即 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 点的轨迹为椭圆.故选：B.
【典例2】．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是两个定点，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是正常数），动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．椭圆或线段D．直线
【答案】C
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是椭圆；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是线段 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如果点 SKIPIF 1 < 0 在运动过程中，总满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是（ ）．
A．不存在B．椭圆C．线段D．双曲线
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 表示平面由点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是椭圆，故选：B
【变式2】（2023秋·四川成都·高二统考期末）椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点P与它的一个焦点的距离等于6，那么点P与另一个焦点的距离等于 .
【答案】14
【详解】设左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 , 设 SKIPIF 1 < 0 ，由题得 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .所以点P与另一个焦点的距离等于14.故答案为：14，故选：B.
题型02利用椭圆定义求方程
【典例1】（2023·上海·高二专题练习）方程 SKIPIF 1 < 0 ，化简的结果是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于12，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，
设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023秋·广东广州·高二西关外国语学校校考期末）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆M与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，同时与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】如图，由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故动圆圆心M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【变式1】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 则椭圆标准方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题知： SKIPIF 1 < 0 ，① 又椭圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，② 又 SKIPIF 1 < 0 ，③
联立解得： SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·高二课时练习）已知动点M到定点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离的和是 SKIPIF 1 < 0 ，则点M的轨迹方程是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为M到顶点 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的距离的和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，M的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型03椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 到右准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到它的左焦点的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 到左准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到右准线的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由圆锥曲线的统一定义知： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到它的左焦点距离为 SKIPIF 1 < 0 ．故选：A.
【典例2】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 到右焦点距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；故选：A
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】根据题意作出如图所示的图象，其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左，右焦点，在 SKIPIF 1 < 0 中可得：
SKIPIF 1 < 0 ①，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，等号成立，在 SKIPIF 1 < 0 中可得： SKIPIF 1 < 0 ②，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 三点共线时，等号成立，由① SKIPIF 1 < 0 ②得： SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义可得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【典例4】（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 是椭圆上一点，点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长最大值为（ ）
A．14B．16C．18D．20
【答案】C
【详解】如图所示设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当三点M， SKIPIF 1 < 0 ，A共线时取等号． SKIPIF 1 < 0 的周长最大值等于18．故选：C．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）已知A为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，F为椭圆一焦点， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】不妨设椭圆 SKIPIF 1 < 0 左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式2】（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）如图，把椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴 SKIPIF 1 < 0 八等分，过每个分点作 SKIPIF 1 < 0 轴的垂线交椭圆的上半部分于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 七个点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为 ．
【答案】28
【详解】设椭圆的另一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 由椭圆的几何性质可知： SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,故答案为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2022秋·上海宝山·高二上海市行知中学校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点，若 SKIPIF 1 < 0 分别是圆 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】由题设圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
半径分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时取等号，此时最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型04椭圆上点到坐标轴上点的距离（含最值）问题
【典例1】（2023·江西上饶·校联考模拟预测）点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，曲线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由曲线 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点，而 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
根据椭圆定义知点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以C、D为焦点的椭圆，所以轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【典例2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023·高二课时练习）已知P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值与最大值．
【答案】最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，最大值为11
【详解】因为P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆焦点在y轴上，
点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2022秋·山东淄博·高一校考期末）椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任一点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离的最小值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又由 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取得最小值，最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【变式2】（2023秋·山西晋城·高二统考期末）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为F1､F2，点P在椭圆上，若Rt SKIPIF 1 < 0 F1PF2，则点P到x轴的距离为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】设点 SKIPIF 1 < 0 ，则到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由（1）（2）知： SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式3】（2022秋·天津和平·高二天津市第二南开中学校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P为椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则点P到y轴的距离为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，由椭圆 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , 则 SKIPIF 1 < 0 ,
所以在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 , 且 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,
设 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 , 且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
.
.
题型05椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
【典例1】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，A是C上一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．7B．8C．9D．11
【答案】A
【详解】
设椭圆的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如图，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中间时等号成立，故 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，点M、N分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 上的点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【详解】设圆 SKIPIF 1 < 0 和圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心分别为 SKIPIF 1 < 0 ,半径分别为 SKIPIF 1 < 0 .
则椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 的延长线上时取等号.
此时 SKIPIF 1 < 0 最大值为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【典例3】（2023秋·甘肃兰州·高二兰州一中校考期末）已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，M为椭圆C上任意一点，N为圆E： SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，
由 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当M、N、E、 SKIPIF 1 < 0 共线时等号成立.
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 最大，如下图所示： SKIPIF 1 < 0 ，
最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点为F，P是椭圆上一点，若点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】根据椭圆的定义： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取得最小值时，即 SKIPIF 1 < 0 最小，
如图所示： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共线时取得最小值．
SKIPIF 1 < 0 的最小值为： SKIPIF 1 < 0 ﹒故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·广西柳州·高三统考阶段练习）已知F是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点，P为椭圆C上一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】设椭圆的左焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 共线且 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 中间时等号成立.
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式3】（2023·高二课时练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点P为椭圆上一点，点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】1
【详解】依题意，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点 SKIPIF 1 < 0 ，右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，点P为椭圆上一点，点A在此椭圆外，由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当点P是线段 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的交点时取“=”，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为1.
故答案为：1
题型06判断方程是否表示椭圆
【典例1】（2023·高二课时练习）已知条件 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，条件 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 表示一个椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 表示一个圆，充分性不成立；
而 SKIPIF 1 < 0 表示一个椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 成立，必要性成立.所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的必要不充分条件.故选：B
【典例2】（2023·高二课时练习）设方程① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ．其中表示椭圆的方程是 ．
【答案】①
【详解】对于①，方程 SKIPIF 1 < 0 表示平面内的动点 SKIPIF 1 < 0 到
定点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于8的点的轨迹，因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为6，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是椭圆，所以方程①表示椭圆的方程，
对于②，方程 SKIPIF 1 < 0 表示平面内的动点 SKIPIF 1 < 0 到
定点 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离之和等于2的点的轨迹，由于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 之间的距离为2，
所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是一条线段，所以方程②表示的不是椭圆方程，
故答案为：①
【典例3】（2023·高二课时练习）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示的曲线为椭圆”的 条件．
【答案】必要不充分
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时表示圆，当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时表示椭圆，充分性不成立；
当 SKIPIF 1 < 0 为椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，必要性成立；
综上，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
【变式1】（多选）（2023·全国·高二专题练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是椭圆，其焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是椭圆，其焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是圆，其半径为 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是两条直线
【答案】AD
【详解】对于A，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即曲线 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，故A正确，故B错误；
对于C，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，此时曲线 SKIPIF 1 < 0 表示圆心在原点，半径为 SKIPIF 1 < 0 的圆，故C不正确；
对于D，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时曲线 SKIPIF 1 < 0 表示平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的两条直线，故D正确；
故选：AD.
【变式2】（2023春·四川遂宁·高二遂宁中学校考阶段练习）方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆的充要条件是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 答案不唯一
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆,则必有 SKIPIF 1 < 0 解之得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ,（答案不唯一，其他等价情况也对）
题型07求椭圆方程
【典例1】（2023秋·高二课时练习）若椭圆的中心为原点，对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成个正三角形，焦点到椭圆上点的最短距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则这个椭圆的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．以上都不对
【答案】B
【详解】 由题意，当椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，设椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆方程为： SKIPIF 1 < 0 ，当椭圆焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，同理可得： SKIPIF 1 < 0 ，故选：B
【典例2】（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才双语学校校考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C．41D．9
【答案】A
【详解】由题意可知：椭圆的焦点在y轴上，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【典例3】（2023春·陕西宝鸡·高二虢镇中学校考开学考试）已知椭圆C: SKIPIF 1 < 0 ,四点 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 中恰有三点在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】根据椭圆的对称性可知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 在椭圆上, SKIPIF 1 < 0 不在椭圆上, SKIPIF 1 < 0 在椭圆上.
将 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程得: SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,椭圆C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故选:D.
【典例4】（2023·高二课时练习）已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点 SKIPIF 1 < 0 ，求此椭圆的标准方程．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，设椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，设椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
综上，椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距等于 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为椭圆的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点在对称轴为坐标轴的椭圆上，则椭圆的标准方程为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时， SKIPIF 1 < 0 ，故舍弃.
当焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上时，设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023春·江苏南京·高二江苏省江浦高级中学校联考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 则椭圆标准方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题知： SKIPIF 1 < 0 ，① 又椭圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，② 又 SKIPIF 1 < 0 ，③
联立解得： SKIPIF 1 < 0 ，故椭圆的标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式4】（2023秋·江苏连云港·高二校考期末）经过 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点的椭圆的标准方程是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设所求椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入椭圆方程可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，所求椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型08根据椭圆方程求参数
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 可变形为 SKIPIF 1 < 0 ，表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
易知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时未必有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的充分但不必要条件.故选：B.
【典例2】（2023秋·山东威海·高二统考期末）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距为2，则实数m＝（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或1
【答案】D
【详解】焦距为2，即 SKIPIF 1 < 0 .
当焦点在 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；当焦点在 SKIPIF 1 < 0 上时， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ；综合得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【典例3】（2023·高三课时练习）若方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在x轴上的椭圆，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∴实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆的一个充分不必要条件是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】若方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 的真子集，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆”的充分不必要条件，故选：B.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ①.
由于方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，所以 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ②.由①②得 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
题型09椭圆中的轨迹方程问题
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，且与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 外切，记动圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .则轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 ；
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设动圆的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，由已知得：圆 SKIPIF 1 < 0 可化为标准方程： SKIPIF 1 < 0 ，
即圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 可化为标准方程： SKIPIF 1 < 0 ，
即圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，经分析可得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，可设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023秋·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的三边a，b，c成等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，A、C两点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则顶点B的轨迹方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 的三边a，b，c成等差数列，A、C两点的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以点B的轨迹满足椭圆的定义，此椭圆是以A、C为焦点，长轴长为4的椭圆，
故椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为B、A、C三点构成 SKIPIF 1 < 0 ，所以B、A、C三点不能在一条直线上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以顶点B的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设O为坐标原点，动点M在椭圆C SKIPIF 1 < 0 上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 SKIPIF 1 < 0 .求点P的轨迹方程；
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 在C上，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因此点P的轨迹为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．求 SKIPIF 1 < 0 的方程；
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】动点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，两边平方整即得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023秋·高二课时练习）已知定圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆M和定圆 SKIPIF 1 < 0 外切和圆 SKIPIF 1 < 0 内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 因为圆M与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆M与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，所以， SKIPIF 1 < 0 ，两式相加得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以M的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，故其方程为 SKIPIF 1 < 0 .
题型10椭圆中焦点三角形周长问题
【典例1】（2023春·河南开封·高二统考期末）直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为（ ）
A．10B．16C．20D．不能确定
【答案】C
【详解】设椭圆两个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，由题可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的两个焦点构成的四边形的周长为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【典例2】（2023·高二课时练习）若F为椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（ ）
A．4B．8C．10D．20
【答案】D
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左焦点，则由椭圆的定义可得：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 共线时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 不共线时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以△ABF周长的最大值为20.故选：D.
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长为16，求 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】5
【详解】
由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 的周长为16，则 SKIPIF 1 < 0 .
根据椭圆定义可得， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·高二课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点，过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于A、B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的周长为（ ）
A．12B．24C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意可得，对于椭圆 SKIPIF 1 < 0 有长半轴长 SKIPIF 1 < 0 ，又过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于A、B两点，
故 SKIPIF 1 < 0 的周长 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
【变式2】（2023秋·广东·高二统考期末）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的一个焦点是F，过原点O作直线(不经过焦点)与椭圆相交于A，B两点，则 SKIPIF 1 < 0 的周长的最小值是（ ）
A．14B．15C．18D．20
【答案】C
【详解】如图所示：不妨取 SKIPIF 1 < 0 为左焦点， SKIPIF 1 < 0 为右焦点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上下顶点时等号成立.故选：C
【变式3】（2023·北京·101中学校考三模）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是 ．
【答案】34
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：34.
题型11椭圆中焦点三角形面积问题
【典例1】（2023秋·高二单元测试）已知点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A．6B．12C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .

设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是 SKIPIF 1 < 0 的内心，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 的内切圆半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （舍去负值），所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
【典例3】（2023春·江西·高二校联考开学考试）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，则 SKIPIF 1 < 0 面积与 SKIPIF 1 < 0 周长的比值的最大值为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.75
【详解】设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的周长为16，
由椭圆的几何性质知，当点P为椭圆的短轴端点时， SKIPIF 1 < 0 的面积最大，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面积与 SKIPIF 1 < 0 周长的比值的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【典例4】（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 的面积
【答案】(1)48(2)24
【详解】（1）因为椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .

【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点， SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆的左､右焦点，若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，短半轴为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
设 SKIPIF 1 < 0 ，所以由椭圆的定义可得： SKIPIF 1 < 0 ①.
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以由数量积的公式可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，所以由余弦定理可得： SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②可得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上.当 SKIPIF 1 < 0 最大时，求 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当则 SKIPIF 1 < 0 时等号成立，即 SKIPIF 1 < 0 为椭圆短轴端点时 SKIPIF 1 < 0 最大，此时， SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
【变式3】（2023·全国·高二专题练习）设椭圆C： SKIPIF 1 < 0 (a>0，b>0)的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 .P是C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 的面积为4，则a=
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的面积为4，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【变式4】（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）设 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 为短轴顶点，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型12椭圆中焦点三角形其他问题
【典例1】（2023春·广东深圳·高二深圳市耀华实验学校校考阶段练习）在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上有一点P， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左､右焦点， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，这样的点P有（ ）
A．2个B．4个C．6个D．8个
【答案】C
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 为直角时，这样的点 SKIPIF 1 < 0 有2个，如下图中的点 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为直角时，这样的点 SKIPIF 1 < 0 有2个，如下图中的点 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 为直角时，因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 ，所以这样的点 SKIPIF 1 < 0 有2个，如下图中的点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以符合条件 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形的点 SKIPIF 1 < 0 有6个，故选：C.
【典例2】（2023春·甘肃白银·高二校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的一点，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】由椭圆方程得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
设 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限内的点， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023春·陕西西安·高二校考期末）已知点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求
(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 的面积
【答案】(1)48(2)24
【详解】（1）因为椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .

【典例4】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的大小为 .
【答案】 2 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理，得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：2， SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ①，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ②，
由①②得 SKIPIF 1 < 0 .故选：B
【变式2】（2023春·四川遂宁·高二射洪中学校考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆C的两个焦点，P为C上一点， SKIPIF 1 < 0 ，若C的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：记 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，及 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选:B
【变式3】（2023秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 ．
【答案】4
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
故答案为：4
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右两焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的点，则使得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形的点 SKIPIF 1 < 0 的个数为 .
【答案】6
【详解】由椭圆性质知：当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上下顶点时 SKIPIF 1 < 0 最大，此时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故焦点三角形中 SKIPIF 1 < 0 最大为 SKIPIF 1 < 0 ，故有2个；又 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 对应的直角三角形各有2个；综上，使得 SKIPIF 1 < 0 是直角三角形的点 SKIPIF 1 < 0 的个数为6个.故答案为：6
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）设定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点P满足条件 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点P的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆.故选：A.
2．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，若椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．3D．4
【答案】A
【详解】椭圆 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又椭圆的焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
3．（2023秋·高二单元测试）过点 SKIPIF 1 < 0 且与 SKIPIF 1 < 0 有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 知，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .设所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故所求椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的顶点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，顶点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 SKIPIF 1 < 0 边上，则 SKIPIF 1 < 0 的周长是（ ）
A．12B． SKIPIF 1 < 0 C．16D．10
【答案】C
【详解】设椭圆的另外一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，如图，

则 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：C.
5．（2023秋·高二单元测试）设 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【详解】方法一：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B.
方法二：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆方程可知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，平方得：
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B.
6．（2023秋·高二课时练习）椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，点P在此椭圆上，如果线段 SKIPIF 1 < 0 的中点在y轴上，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．4C．7D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ＝1可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以F1(－3,0)，F2(3,0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 轴，
∴可设P(3,m)，把P(3,m)代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 ＝1，得 SKIPIF 1 < 0 .
∴|PF1|＝ SKIPIF 1 < 0 ，|PF2|＝ SKIPIF 1 < 0 .∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
7．（2023秋·高二课时练习）已知点P为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上动点， SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆C的焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A．2B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】D
【详解】由椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又由椭圆的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
8．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左､右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 .若点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 恰好在 SKIPIF 1 < 0 上，且直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的另一个交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ．

可知 SKIPIF 1 < 0 ，又知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为直角，
由题意，点 SKIPIF 1 < 0 恰好在 SKIPIF 1 < 0 上，根据椭圆定义 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：D．
二、多选题
9．（2023·云南·校联考二模）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为C的左、右焦点，P为C上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 交C点于点Q，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 周长为8B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 面积为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】由题意，在椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 轴上方，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B错；
SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，D正确；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C不正确，
故选：AD．
10．（2023·高二课时练习）对于曲线 SKIPIF 1 < 0 ，下面四个说法正确的是（ ）
A．曲线 SKIPIF 1 < 0 不可能是椭圆
B．“ SKIPIF 1 < 0 ”是“曲线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆”的充分不必要条件
C．“曲线 SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件
D．“曲线 SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件
【答案】CD
【详解】对于A选项，若曲线 SKIPIF 1 < 0 为椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，A错；
对于B选项，因为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“曲线 SKIPIF 1 < 0 是椭圆”的必要不充分条件，B错；
对于C选项，若曲线 SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，
所以，“曲线 SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的必要不充分条件，C对；
对于D选项，若曲线 SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以，“曲线 SKIPIF 1 < 0 是焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充要条件，D对.
故选：CD.
三、填空题
11．（2023春·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考期末）已知P： SKIPIF 1 < 0 ，Q： SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，则P是Q的 条件．
【答案】必要不充分
【详解】若方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 表示椭圆的必要不充分条件，即P是Q的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分．
12．（2023秋·高二课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 分别为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，点P在椭圆上， SKIPIF 1 < 0 （O为坐标原点）是面积为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，则此椭圆的方程为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】不妨设点 SKIPIF 1 < 0 位于第一象限，且 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是面积为 SKIPIF 1 < 0 的正三角形，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .

四、解答题
13．（2023·全国·高三对口高考）P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是椭圆的左、右两个焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 最小值 SKIPIF 1 < 0 ，最大值 SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .

14．（2023·全国·高二专题练习）椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且过 SKIPIF 1 < 0 的直线交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求椭圆的标准方程.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】
由椭圆的定义得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，所以有 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
故所求椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0
15．（2023秋·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期末）已知点P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的一点， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别为左右焦点，焦距为6，且过 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若动直线l过 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于A、B两点，求 SKIPIF 1 < 0 的周长.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)20
【详解】（1）设焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，又椭圆 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，∴椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）动直线l过 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于A、B两点，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的周长为20.

B能力提升
1．（2023春·四川达州·高二统考期末）椭圆 SKIPIF 1 < 0 任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆： SKIPIF 1 < 0 ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆 SKIPIF 1 < 0 上总存在点P，使得过点P能作椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题意可知：与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相切的两条互相垂直的直线的交点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为
圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 由于 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆心 SKIPIF 1 < 0 ，
故两圆有公共点即可，故两圆的圆心距为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .故选：D
2．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的蒙日圆方程为 SKIPIF 1 < 0 .若圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．±3B．±4C．±5D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意可得椭圆 SKIPIF 1 < 0 的蒙日圆的半径 SKIPIF 1 < 0 ，所以蒙日圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相外切，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．故选：B．
3．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆．椭圆的面积等于圆周率 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 左、右顶点连线的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，记椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值不可能为（ ）
A．4B．7C．10D．14
【答案】D
【详解】依题意，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故
SKIPIF 1 < 0 ，故选：D．
4．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是其左，右焦点，P为椭圆C上非长轴端点的任意一点，D是x轴上一点，使得 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ．过点D作 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的垂线，垂足分别为A、B．则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /0.1875
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
椭圆 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0
5．（2023春·云南曲靖·高三统考阶段练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点， SKIPIF 1 < 0 为椭圆上任意一点，椭圆外的动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】如图，延长 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为椭圆外的动点，
所以 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可知当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
C综合素养
1．（2023春·江西赣州·高二校联考阶段练习）已知 SKIPIF 1 < 0 的两顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的动直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，定点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因此动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，且去掉椭圆与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，

设椭圆的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不为0，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， 点 SKIPIF 1 < 0 ，
把 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，化为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 经过定点 SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0
因此， SKIPIF 1 < 0 ．
2．（2023春·广西·高三统考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点，点 SKIPIF 1 < 0 为右焦点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上异于点 SKIPIF 1 < 0 的任意一点，直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；
(2)判断 SKIPIF 1 < 0 是否恒成立，并说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)恒成立，理由见解析
【详解】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程 SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 恒成立
理由：由（1） SKIPIF 1 < 0 ，则设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0 联立，可得 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 .
在 SKIPIF 1 < 0 中，显然 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
特别的，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述 SKIPIF 1 < 0 .
3．（2023春·湖北·高二黄石二中校联考阶段练习）已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相外切，与圆 SKIPIF 1 < 0 相内切.
(1)求动圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心的轨迹方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的两直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交动圆 SKIPIF 1 < 0 圆心的轨迹于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）设动圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点，以 SKIPIF 1 < 0 为长轴长的椭圆，
可设方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，（ SKIPIF 1 < 0 为0时不符合题意）， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
联立 SKIPIF 1 < 0 与椭圆的方程 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
同理设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不为0，可得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0
而 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
同理 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
3.1.2椭圆的简单几何性质
知识点01：椭圆的简单几何性质
【即学即练1】（2023春·河北石家庄·高二正定中学校考阶段练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为 .
【答案】或
【详解】因为椭圆的离心率为，易知，当时，椭圆焦点在轴上，，，
所以，解得，则，所以椭圆的长轴长为.
当时，椭圆焦点在轴上，，，所以，得，满足题意，
此时，所以椭圆的长轴长为.
故答案为：或.
知识点02：椭圆的简单几何性质
离心率：椭圆焦距与长轴长之比：. （）
当越接近1时，越接近，椭圆越扁；
当越接近0时，越接近0，椭圆越接近圆；
当且仅当时，图形为圆，方程为
【即学即练2】（2023春·云南玉溪·高二云南省玉溪第三中学校考期末）已知椭圆E：的右焦点为，左顶点为，若E上的点P满足轴，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设，则直线：，由，得，即，

而，，由，得，即，
有，又，因此，所以E的离心率为.故选：A
知识点03：常用结论
1、与椭圆共焦点的椭圆方程可设为：
2、有相同离心率：（，焦点在轴上）或（，焦点在轴上）
3、椭圆的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）；
（2），，；
（3）,，；
知识点04：直线与椭圆的位置关系
1、直线与椭圆的位置关系
将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为关于或的一元二次方程，其判别式为.
①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点．
【即学即练3】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
【答案】C
【详解】联立，则所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交，故选：C.
2、直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
（1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则：
弦长

弦长
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
（2）结论1：已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为
运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
结论2：弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
（3）.已知椭圆方程，长轴端点为，，焦点为，，是椭圆上一点，
．求：的面积（用、、表示）．
设，由椭圆的对称性，不妨设，由椭圆的对称性，不妨设在第一象限．
由余弦定理知： · ①
由椭圆定义知： ②，则得

故
【即学即练4】（2023·全国·高三对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】B
【详解】由题设，不妨设过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程得，可得，故被椭圆截得的弦长等于.故选：B
题型01根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【典例1】（2023春·上海杨浦·高二校考期中）椭圆与椭圆的（ ）
A．长轴相等B．短轴相等C．焦距相等D．长轴、短轴、焦距均不相等
【答案】C
【详解】椭圆即，则此椭圆的长轴长为10，短轴长为6，焦距为；
椭圆即，因为，
则此椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为,
故两个椭圆的焦距相等．故选：C．
【典例2】（2023秋·高二课时练习）已知P点是椭圆上的动点，A点坐标为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，则，因为P点在椭圆上，则，记，
所以，又因为开口向上，对称轴，
且，所以当时，取到最小值.故选：B.
【典例3】（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）椭圆的长轴长、短轴长、离心率依次是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由已知，可得椭圆标准方程为，则，，，
所以长轴长为、短轴长为、离心率为.故选：D.
【变式1】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，下顶点为，点为上的任意一点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由椭圆的离心率，可得，所以椭圆的方程为，
设，则，可得，又由点，
可得，
因为，所以，所以.故选：A.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）若椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A．6B．或C．D．或
【答案】D
【详解】当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为；
当焦点在轴时，由，解得，符合题意，此时椭圆的长轴长为．
故选：D．
【变式3】（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦距为4，则m的值为 ．
【答案】10或2
【详解】椭圆的焦距为4，即，当时，；
当时，；故m的值为10或2，
故答案为：10或2
题型02根据椭圆的几何性质求其标准方程
【典例1】（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由化简可得，焦点为在轴上，同时又过点，设，
有，解得，故选：C
【典例2】（2023春·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考期末）已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．或D．
【答案】C
【详解】由题意知，，，所以，，∴，
又因为椭圆的对称轴是坐标轴，则焦点可能在或轴上.∴椭圆方程：或故选：C
【典例3】（2023秋·广东江门·高二台山市华侨中学校考期中）已知椭圆焦点在轴，它与椭圆有相同离心率且经过点，则椭圆标准方程为 .
【答案】
【详解】椭圆的离心率为，
设所求椭圆方程为，则，从而，，
又，∴，∴所求椭圆的标准方程为.
故答案为： .
【变式1】（2022秋·高二课时练习）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：因为椭圆，即，
，，可得，椭圆的焦点为，
设椭圆方程是，则，解得
所求椭圆的方程为.故选：A．
【变式2】（2023·陕西西安·长安一中校考二模）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两条互相输出垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆．若椭圆C：的离心率为，则椭圆C的蒙日圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为椭圆：的离心率为，则，解得，即椭圆的方程为，于是椭圆的上顶点，右顶点，经过两点的椭圆切线方程分别为，，则两条切线的交点坐标为，显然这两条切线互相垂直，因此点在椭圆的蒙日圆上，
圆心为椭圆的中心O，椭圆的蒙日圆半径，所以椭圆的蒙日圆方程为.故选：B
【变式3】（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆：的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【详解】椭圆：的离心率为.则焦点在轴上离心率为的椭圆可取：.故答案为：
题型03求椭圆的离心率的值
【典例1】（2023春·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史.为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示.该伞的伞面是一个半径为的圆形平面，圆心到伞柄底端距离为2，当光线与地面夹角为时，伞面在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意，过伞面上端边沿的光线、过这个边沿点伞面的直径及椭圆的长轴围成底角为的等腰三角形，腰长为伞面圆的直径，椭圆长轴长为底边长，则，即，
而椭圆的短轴长，即，所以椭圆的离心率故选：D
【典例2】（2023·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆的左顶点为，点是椭圆上关于轴对称的两点.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意，椭圆的左顶点为，因为点是椭圆上关于轴对称的两点，可设，则，所以，可得，
又因为，即，代入可得，所以离心率为.
故选：D.

【典例3】（2023·辽宁辽阳·统考二模）已知椭圆的右焦点为，过坐标原点的直线与椭圆交于两点，点位于第一象限，直线与椭圆另交于点，且，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为平行四边形．
设，则．因为，所以，
又因为，所以，所以．
在中，，
由余弦定理得，
所以，所以．故选：B.

【典例4】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆上的两点，分别在第一，第二象限内，若与的面积相等，且，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【详解】由题意得，故，
又，将代入可得，即，
又，故，离心率.

故答案为：
【变式1】（2023春·广东深圳·高二统考期末）已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】如图，设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可得，
所以四边形为平行四边形，又，所以四边形为矩形，所以，
由，得，又，所以，
在中，由，得，即，所以，
即的离心率为.故选：A.

【变式2】（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知，分别是椭圆：（）的左，右焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在中，，设，由题意知,，
由余弦定理得,，
由椭圆定义知，则离心率.故选:C.
【变式3】（2023春·贵州遵义·高二统考期中）已知是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于，两点，若，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】根据对称性不妨设在第二象限，在第一象限，
联立，可解得，，，又，
，，又，，，
，，，，又，
该椭圆的离心率．故选：C．
【变式4】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知是椭圆：的右焦点，过作直线的垂线，垂足为，，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【详解】由题知，，且，即，
∴，∴，∴，∴.
故答案为：

题型04求椭圆的离心率的最值或范围
【典例1】（2023春·湖南益阳·高二统考期末）若椭圆上存在点，使得到椭圆两个焦点的距离之比为，则称该椭圆为“倍径椭圆”.则“倍径椭圆”的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题可设点到椭圆两个焦点的距离之分别，所以，得到，
又，所以，得到，故.故选：C.
【典例2】（2023春·上海青浦·高二统考期末）点为椭圆的右顶点，为椭圆上一点（不与重合），若（是坐标原点），则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：设，又，且，则，与椭圆方程联立，即，解得或，则，即，即，则，故选：B
【典例3】（2023·陕西西安·统考一模）已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】由题意，在中，设左焦点为，，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，
∵，∴四边形为矩形，∴.
∵，∴，由椭圆的定义得，
∴.∵∴，∴，
∴.故答案为：.
【典例4】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）过原点作一条倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，F为椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率e的取值范围为 ．
【答案】
【详解】当倾斜角时，直线的斜率不存在，如图则，又椭圆左焦点

若，则，即，所以，即
所以椭圆的离心率；
当倾斜角为，直线的斜率存在设为，则，
设，则，所以①，

若，则②，
联立①②，结合可得，
由，，所以，且，
所以，则，故，
所以，即，故
综上，椭圆的离心率e的取值范围为.故答案为：.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】，因为∴．
设，则
∴当，即时，取最大值，此时离心率.故选：C
【变式2】（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知点，为椭圆上的两点，点满足，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为，则，
所以，即，
，
又因为点，为椭圆上的两点，
所以，两式相减可得：，即，
所以，
因为，所以，
所以，即，即，
因为，所以，又因为，为椭圆上的两点，所以，
所以，解得：，即.故选：C.
【变式3】（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知点是椭圆：的右焦点，点关于直线的对称点在上，其中，则的离心率的取值范围为 .
【答案】
【详解】过点且与直线垂直的直线为，
两直线的交点，从而点.
点在椭圆上，则，即
则.由于，则，，
故答案为：
【变式4】（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知为圆上一点，椭圆焦距为6，点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【详解】圆关于直线对称的圆为：，
依题意可得圆与椭圆有交点，又椭圆的右焦点是圆的圆心，
所以，且，又，所以，.
故答案为：.
题型05根据椭圆离心率求参数
【典例1】（2023秋·高二单元测试）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由，得，因此，而，所以.故选：A
【典例2】（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）椭圆（）的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线l过左焦点，交C于A，B两点，且的内切圆的面积是，若椭圆C的离心率的取值范围为，则线段AB的长度的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得，
，
又,
，，，，则，
即线段的长度的取值范围是，故选：C
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）椭圆的左、右焦点分别是 ，斜率为的直线过左焦点且交于两点，且的内切圆的周长是，若椭圆的离心率为，则线段的长度的取值范围是
【答案】
【详解】如图示，由椭圆定义可得 ,
则的周长为4a,设，设内切圆半径为，的内切圆的周长是，
故 ，由题意得 ，

得，由于，故，
所以由可得，
故答案为：
【变式1】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知椭圆的离心率，则的值可能是（ ）
A．3B．7C．3或D．7或
【答案】C
【详解】椭圆的离心率，当椭圆焦点在x轴上时，，即，，解得，当椭圆焦点在y轴上时，，即，，解得，所以的值可能是3或.故选：C
【变式2】（2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习）设，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，若，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】记椭圆，双曲线的半焦距分别为，由题意知椭圆的，双曲线的，则椭圆与双曲线共焦点，设，则，
，设，则，解得，即，
又，且，故的取值范围是.
故答案为：
【变式3】（2023·吉林长春·校联考一模）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，点、在椭圆C上，满足，，若椭圆C的离心率，则实数λ取值范围为 .
【答案】
【详解】根据题意知，由得，不妨设点在第一象限，则点的坐标为.
由知，且，从而得到点的坐标为.
将点的坐标代入椭圆C方程得，整理得，即，所以.
又因为，所以，即实数λ取值范围为.
故答案为：.
题型06直线与椭圆的位置关系
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）若直线与椭圆有且只有一公共点，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】因为方程表示的曲线为椭圆，则，
将直线的方程与椭圆的方程联立，，可得，
则，解得.故选：C.
【典例2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【详解】对于直线，整理得，
令，解得，故直线过定点.
∵，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C相交.故选：A.
【变式1】（2023·广东广州·统考模拟预测）已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设椭圆方程为，直线代入椭圆方程，消得：，，整理，得又，由焦点在轴上，所以，联立解得：，,故椭圆方程为，则长轴长为；故选：C
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】直线过定点，所以，解得①.
由于方程表示椭圆，所以且②. 由①②得的取值范围是.
故选：C
题型07直线与椭圆相切
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知过圆锥曲线上一点的切线方程为.过椭圆上的点作椭圆的切线，则过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】过椭圆上的点的切线的方程为，即，切线的斜率为.与直线垂直的直线的斜率为，过点且与直线垂直的直线方程为，即.
故选：B
【典例2】（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右顶点为A，上顶点为B，则椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】由椭圆，可得，故直线AB的方程为，与AB平行且与椭圆相切的直线可设为，代入椭圆方程整理，得，
则，解得，
当时，与之间的距离为；
当时，与间的距离为，
故椭圆上的一动点M到直线AB距离的最大值为，故答案为：
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）椭圆上的点P到直线x+ 2y- 9= 0的最短距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】设与已知直线平行，与椭圆相切的直线为 ，则
，所以
所以椭圆上点P到直线的最短距离为 ，故选：A
【变式2】（2023·广西·统考一模）在平面直角坐标系中，动点在椭圆上运动，则点到直线的距离的最大值为 ．
【答案】
【详解】解：设直线与椭圆相切联解消去，得
，解得或
与直线平行且与椭圆相切的直线方程为
其中与直线距离较远的是，且距离为，
到直线的最大距离为，
故答案为：．
题型08弦长
【典例1】（2023·全国·高三对口高考）已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 ．
【答案】
【详解】在椭圆中，，，则，故点，
设点、，由题意可知，直线的方程为，即，
联立可得，，
由韦达定理可得，，所以，.
故答案为：.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，设直线被椭圆C截得的弦长为，求k的值．
【答案】
【详解】设直线与椭圆的交点为，联立消去整理得，
解得，所以弦长，
整理得即解得，.
【典例3】（2023秋·山东滨州·高二统考期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为．
由题意知，，解得．所以，椭圆C的标准方程为．
解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为．
根据椭圆定义得，即．
又因为，所以，所以，椭圆C的标准方程为．
（2）由，消去y，得，因为直线与椭圆C相交于A，B两点，
所以，解得．设，，
则，，
所以
当时，取最大值，此时直线l的方程为
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆，过左焦点的斜率为1的直线与椭圆分别交于A，B两点，求．
【答案】
【详解】因为椭圆方程为，则左焦点，
因为直线过椭圆左焦点且斜率为1，所以直线方程为，即，
设，联立直线与椭圆方程可得，化简可得，
且，由韦达定理可得，
由弦长公式可得.
【变式2】（2023秋·青海西宁·高二期末）已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程：
(2)设过椭圆的左焦点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：由离心率，则，右焦点，
直线的斜率，解得，，所以，椭圆的方程为；
（2）解：由（1）可知椭圆的左焦点，则直线的方程为，
由，解得或，不妨令、，
所以.
【变式3】（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知椭圆的左、右顶点是双曲线的顶点，的焦点到的渐近线的距离为.直线与相交于A，B两点，.
(1)求证：
(2)若直线l与相交于P，Q两点，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为，双曲线渐近线方程为，
所以，解得，所以的方程为，
由，消y得，
所以得，
设，，则，
所以
，化简得，得证；
（2）由消x，得，
所以，即，
结合，及，可得，
设，，则，
所以，
所以，
设，由，得，所以，
所以，所以.

题型09中点弦和点差法
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，，则，，且，，
作差得，所以，即直线l的斜率是．故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三对口高考）直线截椭圆所得弦的中点M与椭圆中心连线的斜率为 ．
【答案】/
【详解】设线与椭圆的交点坐标为，则，
可得，因为在椭圆上，则，两式相减得，整理得，即所以.
故答案为：.
【典例3】（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）已知过点的直线，与椭圆 相交于A，B两点，且线段AB以点M为中点，则直线AB的方程是 .
【答案】
【详解】设，，根据中点坐标公式，，，
且，，两式相减，化简可得，
所以，即直线的斜率为，
根据点斜式，得到直线的方程为，即.
故答案为：
【典例4】（2023·全国·高三对口高考）中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得弦的中点的横坐标为，则椭圆的方程为 ．
【答案】
【详解】由题意，在椭圆中，一个焦点为，设椭圆的方程为,
∴，设直线与椭圆的交点为,弦中点为
∵直线截得弦的中点的横坐标为，∴，，
∴ 即∴.∴，解得：
∴椭圆的方程为：，故答案为：.故答案为：.

【变式1】（2023春·湖北荆州·高二沙市中学校考阶段练习）若椭圆的弦AB被点平分，则AB所在直线的方程为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】A
【详解】设，则所以，整理得，
因为为弦的中点，所以，所以，
所以弦所在直线的方程为，即.故选：A.
【变式2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，直线与椭圆C交于A，B两点，且线段的中点为，则椭圆C的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，，则，，两式作差并化简整理得
，因为线段AB的中点为，所以，，
所以，由，得，又因为，解得，，
所以椭圆C的方程为．故选：A．
【变式3】（2023·全国·高三专题练习）直线l与椭圆交于A，B两点，已知直线的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【详解】设，，线段AB的中点为，连接（为坐标原点）．
由题意知，则，∴点的轨迹方程为．
又点在椭圆内，∴，解得：，故答案为：.
【变式4】（2023春·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）直线不与轴重合，经过点，椭圆上存在两点、关于对称，中点的横坐标为.若，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【详解】设，，，则，
两式相减得，即，
所以，因为是垂直平分线，有，
所以，即，化简得，∵，∴.
故答案为：
题型10椭圆中三角形面积问题
【典例1】（2023秋·高二课时练习）已知经过椭圆的右焦点的直线的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，是椭圆的左焦点，求的周长和面积．
【答案】的周长为，面积为．
【详解】如下图所示：

由椭圆方程可知，根据椭圆定义可知，
所以的周长为，即的周长为；
易知，又直线的倾斜角为，则，
所以直线的方程为，设
联立整理可得，由韦达定理可知；
由图可知的面积为；
所以的周长为，面积为
【典例2】（2023春·北京·高二北京师大附中校考期中）已知椭圆的离心率为，其左焦点为.直线交椭圆于不同的两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由已知有 解得 所以椭圆的方程为.
（2）由 消去，整理得.
设，则
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为
【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)若过点的直线交轨迹于、两点，是的中点，点是坐标原点，记与的面积之和为，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由题意可知，
所以动点的轨迹是以为焦点且长轴长为4的椭圆，
则，所以，因此动点的轨迹的方程是.
（2）如图：

不妨设点在轴上方，连接，因为分别为有中点，所以，
所以，
当直线的斜率不存在时，其方程为，则，，
此时；
当直线的斜率存在时，设其方程为，
设，，显然直线不与轴重合，即，
联立，得，则，，
所以，
又点到直线的距离，所以，令，
则，因为，所以，
所以，所以.
综上，，即的最大值为.
【变式1】（2023春·湖南衡阳·高二校联考期末）已知是椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点（异于点），当直线的斜率不存在时，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）依题意，，当直线的斜率不存在时，由，得直线过点，于是，解得，所以椭圆的方程为．
（2）依题意，直线不垂直于y轴，设直线的方程为，
由消去整理得，则，
的面积
，令，对勾函数在上单调递增，
则，即，从而，当且仅当时取等号，
故面积的取值范围为．
【变式2】（2023春·江西九江·高二江西省湖口中学校考期中）已知椭圆的离心率为，且椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为.直线交椭圆于不同的两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆左焦点为，求的面积.
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由已知有，解得，则椭圆的方程为.
（2） 消去，整理得，解得，，如图

则，，则，
直线的方程为，到直线的距离.
所以的面积为.
【变式3】（2023春·河南洛阳·高二统考期末）已知圆，点是圆上的动点，是抛物线的焦点，为的中点，过作交于，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过的直线交曲线于点、，若的面积为（为坐标原点），求直线的方程．
【答案】(1)(2)或或
【详解】（1）解：圆的标准方程为，圆心为，半径为，
由题意可得，且为线段的垂直平分线，所以，，
因为，所以，点的轨迹是以点、为焦点的椭圆，
设椭圆的标准方程为，则，，则，
因此，曲线的轨迹方程为.
（2）解：若直线与轴重合，则、、三点共线，不合乎题意.
设直线的方程为，联立可得，
则，设点、，则，，
则，
所以，，解得或，
故直线的方程为或或.
题型11椭圆的定点、定值、定直线问题
【典例1】（2023春·广东韶关·高二校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，A、B分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，的面积为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于不同的两点，，点，若直线的斜率与直线的斜率互为相反数，求证：直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）由题知，，，，由的面积为，得，
又，代入可得，，∴椭圆的方程为.
（2）联立得，
设，，可得，，
由题知，即，
即，解得，
∴直线的方程为，故直线恒过定点.
【典例2】（2023春·河南平顶山·高二统考期末）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）由题意可知：，又，解得，
所以椭圆方程为
（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，
直线的方程为：，
联立直线与椭圆方程：，
设，则，
，
将代入可得
故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.
【典例3】（2023·河南洛阳·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
②点M在定直线上.
【答案】(1) (2)①证明见解析，；②证明见解析，点M在定直线上．
【详解】（1）依题可得，解得：，所以，
即椭圆的方程为．
（2）①设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，. 两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，． 从而．
②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.
【变式1】（2023·四川成都·校考一模）已知分别为椭圆的左，右顶点，为其右焦点，，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线与椭圆交于两点，且与以为直径的圆交于两点，证明：为定值．
【答案】(1) (2)证明见解析
【详解】（1）由，可得，解得，
又因为，所以，因为点在椭圆上，所以，
解得，，，所以椭圆的标准方程为．
（2）证明：当与轴重合时，，所以
当不与轴重合时，设，直线的方程为，
由整理得，则，
故
圆心到直线的距离为，则，
所以，即为定值．
【变式2】（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知椭圆E的中心在原点，周长为8的的顶点，为椭圆E的左焦点，顶点B，C在E上，且边BC过E的右焦点.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的上、下顶点分别为M，N,点若直线PM,PN与椭圆E的另一个交点分别为点S，T，证明：直线ST过定点，并求该定点坐标.
【答案】(1) (2)证明见解析，
【详解】（1）由题意知，椭圆E的焦点在x轴上，
所以设椭圆方程为，焦距为，
所以周长为，即，
因为左焦点，所以，，所以，
所以椭圆E的标准方程为
（2）由题意知，，直线斜率均存在，
所以直线，与椭圆方程联立得，对恒成立，
则，即，则，
同理，，
所以，
所以直线方程为：，
所以直线过定点，定点坐标为
【变式3】（2023·北京海淀·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知曲线．
(1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围．
(2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
【答案】(1) (2)在定直线上，理由见详解.
【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；.
（2）是在定直线上，理由如下：
当时，此时椭圆，设点与直线l联立得，
，且，
所以
易知，则，
两式作商得是定值，
故G在定直线上.

题型12椭圆中的向量问题
【典例1】（2023春·河南周口·高二校考开学考试）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程．
【答案】(1) (2)
【详解】（1）由题意得，，，，，，
椭圆的标准方程为．
（2）依题意，知，设，．
联立消去，可得．
，即，，，．
，．
，
，整理，得，解得或（舍去）．
直线的方程为．
【典例2】（2023春·江苏南京·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．
【答案】(1);(2).
【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．
又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．
所以椭圆的标准方程．
（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．
联立直线的方程与椭圆方程，消去，得，其中．
设，，则，．
因为，所以
．
因此的值是．
【变式1】（2023·全国·高三对口高考）若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．6B．5C．4D．2
【答案】A
【详解】设，，则，则，
因为点为椭圆上，所以有：，即，
所以，
又因为，所以当时，的最大值为6.
故选：A.
【变式2】（2023春·河南洛阳·高二校联考阶段练习）已知、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知，两点的坐标分别是，，若过点的直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过点，求出直线的所有方程.
【答案】(1) (2)或
【详解】（1）解：因为，
所以椭圆的左焦点的坐标是，
所以解得所以椭圆的方程为.
（2）若直线与轴垂直，则直线与椭圆的交点，的坐标分别是，，
以为直径的圆显然过点，此时直线的方程是；
若直线与轴不垂直，设直线的方程是，
与椭圆的方程联立，消去并整理，得.
设，，则，
，，.
因为以为直径的圆过点，
所以，即，，
所以，，
，解得.显然满足，
所以直线与轴不垂直时，直线的方程是，即.
综上所述，当以为直径的圆经过点时，直线的方程是或.
题型13新定义问题
1．（2023·全国·高二专题练习）开普勒第一定律也称椭圆定律､轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星看作一个质点，绕太阳的运动轨迹近似成曲线，行星在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星的近日点距离和远日点距离之和是18（距离单位：亿千米），近日点距离和远日点距离之积是16，则（ ）
A．39B．52C．86D．97
【答案】D
【详解】根据椭圆方程，得长半轴，半焦距，
近日点距离为，远日点距离为，
近日点距离和远日点距离之和是，
近日点距离和远日点距离之积是，
解得，则.
故选：D.
2．（2023·广东韶关·统考模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系，
设椭圆方程为，令，即，解得，
依题意可得，所以，所以，所以．故选：D．
3．（多选）（2023·全国·高二专题练习）青花瓷又称白地青花瓷，常简称青花，中华陶瓷烧制工艺的珍品，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.如图为青花瓷大盘，盘子的边缘有一定的宽度且与桌面水平，可以近似看成由大小两个椭圆围成.经测量发现两椭圆的长轴长之比与短轴长之比相等.现不慎掉落一根质地均匀的长筷子在盘面上，恰巧与小椭圆相切，设切点为，盘子的中心为，筷子与大椭圆的两交点为，点关于的对称点为.给出下列四个命题其中正确的是（ ）
A．两椭圆的焦距长相等B．两椭圆的离心率相等
C．D．与小椭圆相切
【答案】BC
【详解】设大、小椭圆的长轴长之比与短轴长之比均为，设点、、，
以椭圆的中心为坐标原点，椭圆的长轴、短轴所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设小椭圆的方程为，
则大椭圆的方程为，
对于A，大椭圆的焦距长为，两椭圆的焦距不相等，A错；
对于B，大椭圆的离心率为，则两椭圆的离心率相等，B对；
对于C，当直线与坐标轴垂直时，则点关于坐标轴对称，此时点为线段的中点，合乎题意，当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，
联立可得，
，可得，
此时，，联立，
可得，
由韦达定理可得，
即点为线段的中点，所以，，C对；
对于D，当点的坐标为时，将代入可得，不妨取点、，则，若，则直线的方程为，此时直线与椭圆不相切，D错.
故选：BC
4．（多选）（2023春·湖南长沙·高二长沙市明德中学校考期中）加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．椭圆C的蒙日圆方程为
C．椭圆C的蒙日圆方程为D．长方形R的面积最大值为18
【答案】ACD
【详解】解:由题知椭圆方程为:,所以,故选项A正确;
因为长方形R的四边均与椭圆相切,所以点,即在蒙日圆上,
故半径为,可得椭圆C的蒙日圆方程为;故选项B错误,选项C正确;
设长方形R的边长为m,n,则有,
所以长方形R的面积等于,当且仅当时取等,故选项D正确.
故选:ACD
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·高二课时练习）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由于，所以椭圆的焦点在轴上，且，故焦点为，
故选：D
2．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，，所以，．故选：D．
3．（2023春·上海长宁·高二上海市第三女子中学校考期中）椭圆和（ ）
A．长轴长相等B．短轴长相等C．焦距相等D．顶点相同
【答案】C
【详解】对于椭圆，，，，∴，，，
∴长轴长，短轴长，焦距，对于椭圆，
，，，∴，，，
∴长轴长，短轴长，焦距，
∴椭圆和的长轴长和短轴长均不相等，故顶点不相同，焦距相等.故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）关于椭圆C：，有下面四个命题：
甲：长轴长为4；乙：短轴长为2；丙：离心率为；丁：．
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】D
【详解】假设甲乙正确，则，，所以，所以，，
可得到甲、乙、丙三个命题中，已知某两个正确，均可推出第三个正确，故丁是假命题.
故选：D
5．（2023春·河南·高三阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，且的离心率为为椭圆上的一点，则的周长为（ ）
A．6B．9C．12D．15
【答案】C
【详解】因为的离心率为，且，所以，解得，则，所以的周长为.故选：C

6．（2023春·福建福州·高二校联考期中）椭圆中，点为椭圆的右焦点，点A为椭圆的左顶点，点B为椭圆的短轴上的顶点，若，此椭圆称为“黄金椭圆”，“黄金椭圆”的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设为椭圆的半焦距，由题意可得，由对称性可设,
则,因为，所以,
所以,即,解得或（舍）.故选:B.
7．（2023秋·高二课时练习）过椭圆的中心作直线与椭圆交于A、B两点，为椭圆的左焦点，则面积的最大值为（ ）
A．6B．12C．24D．48
【答案】B
【详解】如图：

设点的坐标为，由于过椭圆中心，所以，两点关于原点对称，于是，所以，因此，当最大时，的面积最大，而当，为椭圆上下顶点时，最大，所以，的面积最大为.故选：B.
8．（2023春·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，圆：，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当取最小值3时，的面积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【详解】由题知，所以.
所以，
因为，所以，
所以.当P，B两点在的延长线上时，等号成立.
所以，所以，.
所以直线的方程为，即，与方程联立，
可得，解得（负值已舍去，其中为点P的纵坐标）.
所以的面积为.
故选：A.
二、多选题
9．（2023春·湖南常德·高二常德市一中校考期中）关于椭圆有以下结论，其中正确的有（ ）
A．离心率为B．长轴长是
C．焦距2D．焦点坐标为
【答案】ACD
【详解】将椭圆方程化为标准方程为所以该椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，故焦距为2，故C、D正确；因为所以长轴长是，故B错误，因为，所以，离心率，故A正确.故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，若方程所表示的直线恒过定点M，点Q在以点M为圆心，C的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为B．的最大值为4
C．的面积可能为2D．的最小值为
【答案】ABD
【详解】对于选项A，由椭圆C的方程知，，，所以离心率，故选项A正确；
对于选项B，由椭圆的定义可得，所以，即的最大值为4，故选项B正确；
对于选项C，当点P位于椭圆的上、下顶点时，的面积取得最大值，故选项C错误；
对于选项D，易知，则圆，所以，故选项D正确，
故选：ABD．
三、填空题
11．（2023·全国·高三对口高考）椭圆上的点到直线:的距离的最小值为 ．
【答案】
【详解】在椭圆上任取一点，设，
那么点到直线的距离为：，其中 .
故答案为：.
12．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考开学考试）过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为
【答案】/
【详解】解：由椭圆：，可得右焦点.设此直线与椭圆相交于点，
直线方程为：.联立，可得，，.
.故答案为：.
四、解答题
13．（2023秋·高二课时练习）已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，如果是直角三角形，求点的坐标．
【答案】答案见解析
【详解】根据题意可知，，不妨设，设；
①若为直角，即与轴垂直，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或；
②若为直角，此时点的横坐标与，即；
又因为点在椭圆上，所以，解得
所以，点的坐标为或
③若为直角，则，即
可得，联立椭圆方程可得，
解得，所以
即点的坐标为或或或
14．（2023·全国·高三专题练习）已知直线和椭圆，为何值时，直线被椭圆所截的弦长为．
【答案】
【详解】设直线与椭圆交于两点，
联立，可得，，解得，
，，
弦长，
解得，
故时，直线被椭圆所截的弦长为．
15．（2023春·甘肃兰州·高二兰大附中校考阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且右焦点为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线交椭圆于，两点，若线段中点的横坐标为．求直线的方程．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）由椭圆的长轴长是短轴长的倍，可得．所以．
又，所以，解得．所以．
所以椭圆的标准方程为．
（2）设，，
由，得．则，．
因为线段中点的横坐标为，所以．解得，即，经检验符合题意．
所以直线l的方程为．
B能力提升
1．（2023春·浙江杭州·高二统考期末）设椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上不与顶点重合的一点，记为的内心．直线交轴于点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】不妨设点位于第一象限，如图所示，

因为为的内心，所以为的角平分线，
所以，因为，所以，
设，则，由椭圆的定义可知，，
可得，所以，，
又因为，
所以，在中，由余弦定理可得，
，所以，则，故选：B.
2．（2023春·浙江·高二校联考阶段练习）已知椭圆方程为，为椭圆内一点，以为中点的弦与椭圆交于点，与轴交于点，线段的中垂线与轴交于点，当面积最小时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】如图，

设，由题意可得，
则由以为中点的弦与椭圆交于点可得，
两式相减可得，即，
所以直线方程为，
令，可得，由知，，所以直线的方程为，
令，可得，，
当且仅当，即时等号成立，此时，故.
故选：B
3．（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为，椭圆的离心率为，为蒙日圆上一个动点，过点作椭圆的两条切线，与蒙日圆分别交于、两点，则面积的最大值为 .（用含的代数式表示）
【答案】
【详解】因为，所以，，
所以，蒙日圆的方程为，由已知条件可得，则为圆的一条直径，
由勾股定理可得，所以，，
当且仅当时，等号成立，因此，面积的最大值为.
故答案为：.
4．（2023·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】解：∵椭圆的离心率为，∴，∴，
∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，
∵，∴，∴为正三角形，
∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，
∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，
代入椭圆方程，整理得：，，
∴，∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴
则，
当且仅当
故答案为：.
5．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在E及直线上．若，则E的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设关于直线的对称点为，则解得即．
由椭圆定义及对称性可得，则，
当且仅当P，F，三点共线时，等号成立．所以E的离心率．
在中，由余弦定理可得，
又，
所以，
即，解得，
设椭圆E的上顶点为Q，则，
所以，解得，所以E的离心率的取值范围是．
故答案为：.
C综合素养
1．（2023春·湖南·高二统考期末）已知平面上动点到点与到圆的圆心的距离之和等于该圆的半径.
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知两点的坐标分别为，过点的直线与（1）中点的轨迹交于两点（与不重合）.证明：直线与的交点的横坐标是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）
依题意，，圆的半径为4.于是，且，故点的轨迹为椭圆.
.所以点的轨迹方程为：.
（2）依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为：
代入椭圆方程得：.所以①，②
又直线的方程为：，直线的方程为：
联立上述两直线方程得：，即，
将①②代入上式得：,即，解得.
所以直线与的交点的横坐标是定值4.
2．（2023春·福建泉州·高二校联考期末）已知为坐标原点，点到点的距离与它到直线的距离之比等于，记的轨迹为．点在上，三点共线，为线段的中点．
(1)证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)直线与相交于点，试问以为直径的圆是否过定点，说明理由．
【答案】(1)证明见解析 (2)定点，理由见解析
【详解】（1）设，则有， 整理得；
设,，，则，，
由 ，两式相减：，
整理得，，，
即直线与直线的斜率之积为定值．
（2）显然直线的斜率不为0，设直线方程为，
联立方程组，消去得：，
所以， ， ，
， 直线， 从而点，
根据椭圆的对称性可知，若以为直径的圆过定点，则该定点在轴上，可设为，
以为直径的圆过定点，则，
又，， 从而，
整理得， 故 ，解方程组可得，
即以为直径的圆过定点．
3．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）在xOy平面上，设椭圆，梯形ABCD的四个顶点均在上，且.设直线AB的方程为

(1)若AB为的长轴，梯形ABCD的高为，且C在AB上的射影为的焦点，求m的值；
(2)设，直线CD经过点，求的取值范围；
【答案】(1)2；(2)；
【详解】（1）因为梯形为的长轴，的高为，，
所以点的纵坐标为，代入椭圆方程得，
可得，又因为在上的射影为的焦点，∴，解得，
∵，∴.
（2）由题意，椭圆，直线CD的方程为，
设，，则，化简得，
，得，∴，，
∴
，
∵，所以，
所以的取值范围为.
课程标准
学习目标
①了解圆锥曲线的实际背景。
②了解圆锥
曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。
④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。
⑤会求与椭圆有关的量。
1.通过本节课的学习，要求掌握椭圆的定义（相关的量的掌握）及椭圆的标准方程（满足的条件），会求与椭圆有关的几何量
焦点位置
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上
标准方程
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）
图象
焦点坐标
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的关系
SKIPIF 1 < 0
课程标准
学习目标
①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e的几何意义。
②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。
③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。
通过本节课的学习，要求掌握椭圆的几何量a，b，c，e的意义，会利用几何量之间的关系，求相关几何量的大小，会利用椭圆的几何性质解决与椭圆有关的点、弦、周长、面积等问题。
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
（）
（）
范围
，
，
顶点
，，
，
轴长
短轴长＝，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：轴、轴 对称中心：原点
离心率
，