人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第07讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法（原卷版+教师版）

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拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法(含探索性问题）一、知识点归纳知识点一：直线与平面所成角1、斜线在平面上的射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足及斜足的直线叫做斜线在平面内的射影.注意：斜线上任意一点在平面上的射影一定在斜线的射影上.如图，直线 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一条斜线，斜足为 SKIPIF 1 < 0 ，斜线上一点 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 是斜线 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 上的射影.2、直线和平面所成角：（有三种情况）（1）平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫这条直线与这个平面所成的角。由定义可知：斜线与平面所成角的范围为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）直线与平面垂直时，它们的所成角为 SKIPIF 1 < 0 ；（3）直线与平面平行（或直线在平面内）时，它们的所成角为0.结论：直线与平面所成角的范围为 SKIPIF 1 < 0 .3、传统法之定义法（如右图）：具体操作方法：①在直线 SKIPIF 1 < 0 上任取一点 SKIPIF 1 < 0 （通常都是取特殊点），向平面 SKIPIF 1 < 0 引（通常都是找+证明）垂线 SKIPIF 1 < 0 ；②连接斜足与垂足 SKIPIF 1 < 0 ；③则斜线 SKIPIF 1 < 0 与射影 SKIPIF 1 < 0 所成的角 SKIPIF 1 < 0 ，就是直线与平面所成角.4、传统法之等体积法求垂线段法(如右图）①利用等体积法求垂线段 SKIPIF 1 < 0 的长；② SKIPIF 1 < 0 5、利用向量法求线面角设直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，直线与平面所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的角为 SKIPIF 1 < 0 ，则有① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 .（注意此公式中最后的形式是： SKIPIF 1 < 0 ）二、题型精讲题型01求直线与平面所成角（定值）（传统法） 【典例1】在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的正弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为__________.【典例3】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为4的正方形 SKIPIF 1 < 0 的中心， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；(3)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．【典例4】如图，平行六面体 SKIPIF 1 < 0 的棱长均相等， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与底面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．【变式1】如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值是________．  【变式2】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.题型02求直线与平面所成角（定值）（向量法）【典例1】在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的动点，当线段 SKIPIF 1 < 0 的长最小时，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】如图，已知直角梯形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，且平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．【典例3】在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．  (1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值．【变式1】如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，已知 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上靠近点 SKIPIF 1 < 0 的四等分点，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为（    ）．  A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上一点.  (1)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.【变式3】在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .  (1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.题型03易错题型利用向量法求直线与平面所成角的余弦值（忽视最后正弦转余弦）【典例1】已知四棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】如图，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为__________.【典例3】如图，在底面为矩形的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值.【变式1】正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长都相等，则 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为（   ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式2】若正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长都相等， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值为______.【变式3】如图，在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .  (1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值．题型04求直线与平面所成角（最值或范围） 【典例1】四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 ；(2)设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的点，求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值.【典例2】如图，圆锥的底面上有 SKIPIF 1 < 0 四点，且圆弧 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，若 SKIPIF 1 < 0 ．  (1)证明： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，点 SKIPIF 1 < 0 在劣弧 SKIPIF 1 < 0 上运动，记 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值．【典例3】如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 是长方形 SKIPIF 1 < 0 内一点， SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角.(1)证明：点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦的最大值.【变式1】如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面为正方形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不含端点）.(1)若 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的余弦值；(2)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值的最大值.【变式2】如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可以通过 SKIPIF 1 < 0 以直线 SKIPIF 1 < 0 为轴旋转得到，且二面角 SKIPIF 1 < 0 是直二面角．动点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上．(1)当 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的余弦值；(2)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦最大值．题型05已知直线与平面所成角求参数【典例1】如图所示空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 内一动点， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和底面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 点坐标满足（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上一动点，且直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，则三棱锥 SKIPIF 1 < 0 外接球的体积是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例3】如图，菱形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为45°，则 SKIPIF 1 < 0 ＝________．【变式1】如图，在正四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面边长为2，直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，则正四棱柱的高为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】已知四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两垂直， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【变式3】已知几何体 SKIPIF 1 < 0 如图所示，其中四边形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均为正方形，且边长为1，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，若直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角为45°，则 SKIPIF 1 < 0 ___________.题型06直线与平面所成角中的探索性问题【典例1】）如图，平行六面体 SKIPIF 1 < 0 的所有棱长都相等， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上运动， SKIPIF 1 < 0 .    (1)证明：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.【典例2】如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．(1)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值；(2)在直线 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出CP的长；若不存在，请说明理由．【变式1】如图， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的直径，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的点， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上.  (1)在图中作出交线 SKIPIF 1 < 0 （说明画法，不必证明），并求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积；(2)若点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.【变式2】如图，直角三角形 SKIPIF 1 < 0 和等边三角形 SKIPIF 1 < 0 所在平面互相垂直， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点.(1)设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.