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人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第09讲拓展四：空间中距离问题（原卷版+教师版）

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拓展四：空间中距离问题（等体积法与向量法）一、知识点归纳知识点01：用向量法求空间距离1、点到直线的距离已知直线 SKIPIF 1 < 0 的单位方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 上的定点， SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 外一点.设 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得： SKIPIF 1 < 0 2、点到平面的距离如图，已知平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 内的定点， SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 外一点.过点 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 的垂线 SKIPIF 1 < 0 ，交平面 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量，且点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离就是 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量 SKIPIF 1 < 0 的长度. SKIPIF 1 < 0 二、题型精讲题型01利用向量法求点到直线的距离【典例1】（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）直线 SKIPIF 1 < 0 的方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，且l过点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影 SKIPIF 1 < 0 ，∴P到l距离 SKIPIF 1 < 0 .故选：C【典例2】（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，所以点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．故选：B.【典例3】（2023春·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）已知点 SKIPIF 1 < 0 ，若点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为___________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0 【详解】由题意知，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023秋·天津·高二校联考期末）已知空间内三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离是（）．A． SKIPIF 1 < 0 B．1 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】空间内三点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .故选：A.【变式2】（2023春·福建福州·高二校联考期中）已知空间中三点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为__________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设点A到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .题型02点到平面的距离等体积法【典例1】（2023春·天津河西·高一天津市第四十二中学校考阶段练习）如图，直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的体积为6， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为（）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B【详解】由直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 的体积为6，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.【典例2】（2023春·四川德阳·高二德阳五中校考阶段练习）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知底面 SKIPIF 1 < 0 是正方形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上一点． (1)若 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点．(2)线段 SKIPIF 1 < 0 上存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）如图，连接BD交AC于点O，连接EO，因为ABCD是正方形，所以O是BD的中点，又 SKIPIF 1 < 0 平面ACE， SKIPIF 1 < 0 平面PBD，平面 SKIPIF 1 < 0 平面ACE＝EO，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为O为BD的中点，所以E是PB的中点．（2） SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 ，即BE＝2PE，且PC＝BC＝1，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，E到平面ABCD的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，到平面PCD的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．设E到平面PAD的距离为h． SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．【典例3】（2023春·安徽·高一安徽省郎溪中学校联考阶段练习）已知空间几何体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 是腰长为2的等腰三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． (1)作出平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线，并说明理由；(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【答案】(1)作图见解析，理由见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）如图所示，分别延长 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 即为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线. 理由如下：因为 SKIPIF 1 < 0 ．故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四点共面，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的公共点，又 SKIPIF 1 < 0 也是平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的公共点，所以 SKIPIF 1 < 0 即为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线.（2）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离是点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍．因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 同理可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 是腰长为2的等腰三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 又已知 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ．设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．故点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．【典例4】（2023春·陕西商洛·高二镇安中学校考期中）如图,在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,已知棱 SKIPIF 1 < 0 两两垂直且长度分别为1,1,2, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ．(1)若 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,证明: SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）证明:取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 ,连接 SKIPIF 1 < 0 ,如图所示: SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 中点, SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形,故 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 不含于平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ;（2）连接 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 两两垂直且长度分别为1,1,2,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,将底面拿出考虑如下: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,记 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,解得: SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023春·重庆·高一重庆一中校考期中）如图所示，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 . (1)证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ：(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于E，如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦定理知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）连接BD，如图所示, 由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为d，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2023·上海·高三专题练习）如图，在正三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角正切值(2)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，并求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由正三棱柱结构特征可知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为等边三角形； SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角即为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，即直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成角的正切值为 SKIPIF 1 < 0 （2）作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离即为 SKIPIF 1 < 0 的长，由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 .【变式3】（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为等腰梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）在等腰梯形ABCD中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点C作 SKIPIF 1 < 0 于E，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，BC， SKIPIF 1 < 0 平面PBC，所以 SKIPIF 1 < 0 平面PBC，又 SKIPIF 1 < 0 平面ABCD，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面PBC；（2）连接BD，由（1）知平面 SKIPIF 1 < 0 平面PBC，因为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面BCD．又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ．在 SKIPIF 1 < 0 中，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．设点D到平面PBC的距离为d，所以三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积 SKIPIF 1 < 0 ．由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．【变式4】（2023·全国·高一专题练习）如图所示，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且E为 SKIPIF 1 < 0 中点．求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．【详解】由题意，可得长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．在直角 SKIPIF 1 < 0 中，由勾股定理得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．题型03点到平面的距离的向量法【典例1】（2023春·浙江温州·高二校联考期末）如图所示，在棱长为1的正方体 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点. (1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 是正方体，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，.由 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 . 【典例2】（2023春·高二单元测试）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为矩形，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正三角形， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上一点（不与 SKIPIF 1 < 0 重合），平面 SKIPIF 1 < 0 交棱 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 . (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【答案】(1)证明见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为矩形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，AD在面AEFD内，所以 SKIPIF 1 < 0 .（2）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为侧面 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系：因为 SKIPIF 1 < 0 ,且侧面 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 . 【典例3】（2023秋·山西晋中·高二统考期末）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，过 SKIPIF 1 < 0 的平面截此正方体，得如图所示的多面体， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点. (1)点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，试确定动点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上的位置，并说明理由；(2)若 SKIPIF 1 < 0 为底面 SKIPIF 1 < 0 的中心，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的最大距离.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，理由见解析；(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .由正方体 SKIPIF 1 < 0 知，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点. （2）法一：以点 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，d取到最大值为 SKIPIF 1 < 0 .综上，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023春·江西宜春·高二江西省清江中学校考期中）在棱长为4的正方体 SKIPIF 1 < 0 中，点P在棱 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角的正弦值大小；(2)求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，由正方体的结构特点易知 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，所以 SKIPIF 1 < 0 即为所求的线面角，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由勾股定理知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．（2）以D为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，由已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，故有 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故点P到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ．【变式2】（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）如图所示的几何体是一个半圆柱，点 SKIPIF 1 < 0 是半圆弧 SKIPIF 1 < 0 上一动点（点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不重合）， SKIPIF 1 < 0 为弧 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 . (1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，求此时点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）连接BP，在半圆柱中，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为BC是直径，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .（2）依题意可知，以线段BC的中点O为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，连接OP，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为平面PCA与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，平方化简得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ，可解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面PCA的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以点D到平面PCA的距离 SKIPIF 1 < 0 .【变式3】（2023·江苏苏州·模拟预测）在如图所示的圆锥中，已知 SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 为底面的圆心，其母线长为6，边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边 SKIPIF 1 < 0 内接于圆锥底面， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 . (1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，射线 SKIPIF 1 < 0 与底面圆周交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 时，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 为圆锥的顶点， SKIPIF 1 < 0 为底面的圆心，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 .又因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 外接圆圆心，且 SKIPIF 1 < 0 为正三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 .又因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 .（2）作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 中点为 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .如图，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .设面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 . 题型04点到平面的距离的探索性问题【典例1】（2023春·福建·高二校联考阶段练习）如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是以 SKIPIF 1 < 0 为底边的等腰直角三角形，且 SKIPIF 1 < 0 ，各侧棱长均为3.(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离与 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出此时 SKIPIF 1 < 0 的长；若不存在，说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，此时 SKIPIF 1 < 0 的长为1【详解】（1）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 是等腰直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故可以 SKIPIF 1 < 0 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ；则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），此时 SKIPIF 1 < 0 .故存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离与 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的长为1【典例2】（2023春·福建漳州·高二漳州三中校考阶段练习）如图,四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中,底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点．(1)求证: SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ;(2)求 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值;(3)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ,使得点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在,确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置;若不存在,请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 ;(3)存在,且点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点．【详解】（1）因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且两直线在平面内，∴ SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ,∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,因为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,且两直线在平面内∴ SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ,∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ,∵ SKIPIF 1 < 0 ,且两直线在平面内∴ SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,不妨以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点, SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立如下图所示的空间直角坐标系,则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,可得 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以, SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ;（3）设点 SKIPIF 1 < 0 ,设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,由 SKIPIF 1 < 0 ,取 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ,所以,点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ,∵ SKIPIF 1 < 0 ,∴ SKIPIF 1 < 0 ．因此,当点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点时,点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 .(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的一动点.试确定点 SKIPIF 1 < 0 的位置，使点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 .【答案】(1)证明见解析(2)当点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点时，使点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）知， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以 SKIPIF 1 < 0 为原点， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系：因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，又已知点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍），所以点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点时，使点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 .