人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第23讲 拓展一：中点弦问题（原卷版+教师版）

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拓展一：中点弦问题一、知识点归纳知识点01：相交弦中点（点差法）： 直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。 主要有以下几种问题：（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；中点 SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 ，  SKIPIF 1 < 0 知识点02：点差法：设直线和曲线的两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程，得 SKIPIF 1 < 0 ；  SKIPIF 1 < 0 ；将两式相减，可得 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ；最后整理得： SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 设直线和曲线的两个交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，代入抛物线方程，得 SKIPIF 1 < 0 ；  SKIPIF 1 < 0 ；将两式相减，可得 SKIPIF 1 < 0 ；整理得： SKIPIF 1 < 0 二、题型精讲题型01求直线方程【典例1】（2023春·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考期中）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且点M平分弦 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】B【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，①-②得 SKIPIF 1 < 0 ，因为点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 故选：B【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求过点 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率相等的双曲线的标准方程.（2）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，求过点 SKIPIF 1 < 0 且被点 SKIPIF 1 < 0 平分的弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程.【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 双曲线过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所求双曲线的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，又所求双曲线离心率与双曲线 SKIPIF 1 < 0 离心率相同， SKIPIF 1 < 0 可设其方程为： SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入双曲线方程得： SKIPIF 1 < 0 ，则所求双曲线标准方程为： SKIPIF 1 < 0 .（2）方法一：由题意知：所求直线的斜率存在，可设其方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，满足 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意； SKIPIF 1 < 0 所求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；方法二：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均在双曲线上， SKIPIF 1 < 0 ，两式作差得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，经检验：该直线 SKIPIF 1 < 0 存在， SKIPIF 1 < 0 所求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .【典例3】（2023春·四川·高二统考期末）已知直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点.(1)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且弦 SKIPIF 1 < 0 恰被 SKIPIF 1 < 0 平分，求 SKIPIF 1 < 0 所在直线的方程.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0  (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，又因直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 （2）因 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得： SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为4，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【答案】A【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得直线的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，又直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，经检验此时 SKIPIF 1 < 0 与双曲线有两个交点.故选：A【变式2】（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴比短轴长2，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的方程．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0  (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．．又椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴比短轴长2，所以 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）显然点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 内，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 在椭圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两个方程相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，因为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．【变式3】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0  (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）  易知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ．因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .题型02处理存在性问题【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点， SKIPIF 1 < 0 垂直于动直线 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时，其面积为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设 SKIPIF 1 < 0 为原点，过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相切，且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，试问：是否存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形时，其面积为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 和抛物线的定义可知， SKIPIF 1 < 0 落在准线上，即 SKIPIF 1 < 0 ，设准线和 SKIPIF 1 < 0 轴交点为 SKIPIF 1 < 0 ，易证 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）假设存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 线为段 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ，依题意得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以切线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 三点共线，满足 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，综上，存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点恒成立， SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023春·江西萍乡·高二校联考阶段练习）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且C的一条渐近线经过点 SKIPIF 1 < 0 .(1)求C的标准方程；(2)是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l与C交于不同的A，B两点，且线段AB的中点为P.若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0  (2)不存在，理由见解析【详解】（1）解：因为双曲线C的右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，又因为双曲线C的一条渐近线经过点 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线C的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）解：假设存在符合条件的直线 SKIPIF 1 < 0 ，易知直线l的斜率存在，设直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，把直线 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，该方程没有实根，所以假设不成立，即不存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与C交于 SKIPIF 1 < 0 两点，使得线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023秋·重庆北碚·高二西南大学附中校考阶段练习）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，一个焦点到该渐近线的距离为2．(1)求C的方程；(2)是否存在直线l，经过点 SKIPIF 1 < 0 且与双曲线C于A，B两点，M为线段AB的中点，若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0  (2)存在； SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，因为双曲线的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又焦点 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 （2）假设存在，由题意知：直线的斜率存在，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，经检验直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有两个交点，满足条件，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .题型03求弦中点的轨迹方程【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 上一动点 SKIPIF 1 < 0 到两定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0  的直线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)动弦 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0  ，求点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；【答案】(1) SKIPIF 1 < 0  (2) SKIPIF 1 < 0 ；【详解】（1）因为动点 SKIPIF 1 < 0 到两定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之和为 SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，设 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在且不为0时，将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程中得： SKIPIF 1 < 0 两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在或为0时，有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，也满足 SKIPIF 1 < 0 ；所以点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 ；综上，曲线 SKIPIF 1 < 0  的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作一条直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，试求弦 SKIPIF 1 < 0 的中点轨迹方程.【答案】 SKIPIF 1 < 0 .【详解】方法1：设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时， SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 两式相减，得 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .当直线 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在，即 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，适合上式，故所求轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .方法2：当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0  所以 SKIPIF 1 < 0 .设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 消去参数 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，即 SKIPIF 1 < 0 轴时， SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，适合上式，故所求轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的弦 SKIPIF 1 < 0 所在直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，求弦 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆方程得 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，则直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入椭圆方程解得 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 满足上述方程，故点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程 SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2022·全国·高三专题练习）椭圆 SKIPIF 1 < 0 ，则该椭圆所有斜率为 SKIPIF 1 < 0 的弦的中点的轨迹方程为 ．【答案】 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 【详解】设斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与椭圆的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，设中点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，两式相减可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由于在椭圆内部，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 直线与椭圆相切，此时由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所求得轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ．题型04确定参数的取值范围 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，A为椭圆的下顶点，设椭圆 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】由题设，联立 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由题设知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，又由题意知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ②，把②代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 和椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求线段 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）由椭圆的定义知， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由离心率 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0  ①， SKIPIF 1 < 0  ②， SKIPIF 1 < 0 ，由①−②可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，将条件 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ，带入上式可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以线段 SKIPIF 1 < 0 长度的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2023·天津·校考模拟预测）已知曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，曲线 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 为焦点的椭圆，点 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于A、B两点，若AB的中点 SKIPIF 1 < 0 在曲线 SKIPIF 1 < 0 上，求直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，利用抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由椭圆定义，得 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，所以曲线 SKIPIF 1 < 0 的标准方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 的交点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，(当 SKIPIF 1 < 0 时,弦中点为原点,但原点并不在 SKIPIF 1 < 0 上,同样 SKIPIF 1 < 0 弦中点为原点，不适合题意)与 SKIPIF 1 < 0 联立，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ①，由韦达定理得， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将中点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，②将②代入①得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．【变式2】（2023春·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）已知椭圆的中心在原点，焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率 SKIPIF 1 < 0 .（1）求椭圆的方程；（2）直线 SKIPIF 1 < 0 （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ，且线段 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的取值范围.【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）设椭圆方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；（2）设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ①，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为线段 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ②，把②代入①整理得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 倾斜角的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．题型05定值问题【典例1】（2022·全国·高二专题练习）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 被椭圆 SKIPIF 1 < 0 截得的线段长为 SKIPIF 1 < 0 .（1）求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；（2）设过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右焦点 SKIPIF 1 < 0 与坐标轴不垂直的直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 轴于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 为垂足.问：是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 的长为定值？若存在，求点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）存在，定点 SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）由题意得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的方程为： SKIPIF 1 < 0 将 SKIPIF 1 < 0 代入椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程： SKIPIF 1 < 0 ；（2）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆 SKIPIF 1 < 0 上，所以存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使 SKIPIF 1 < 0 的长为定值 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考开学考试）已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上不同的两点，线段AB的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 交AB于 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的横坐标为2，则是否存在半径为1的定圆 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为定值，若存在，求出圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)存在，定圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）设双曲线的右焦点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 到渐近线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以双曲线方程为 SKIPIF 1 < 0 .（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，AB的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 中点的横坐标为2可得 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上不同的两点，所以 SKIPIF 1 < 0  ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 存在时， SKIPIF 1 < 0 ， 因为AB的中垂线为直线l，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 不存在时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称， SKIPIF 1 < 0 的中垂线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴，此时 SKIPIF 1 < 0 也过 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在定圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 被圆 SKIPIF 1 < 0 截得的弦长为定值 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点是 SKIPIF 1 < 0 ，若过焦点 SKIPIF 1 < 0 的直线与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，所得弦长 SKIPIF 1 < 0 的最小值为2．(1)求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是抛物线 SKIPIF 1 < 0 上不同于坐标原点 SKIPIF 1 < 0 的两个不同的动点，且以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为垂足，试探究是否存在定点 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 为定值，若存在，则求出该定点 SKIPIF 1 < 0 的坐标及定值 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，请说明理由．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2)存在，定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为定值1【详解】（1）抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 化为标准方程为： SKIPIF 1 < 0 ，其焦点 SKIPIF 1 < 0 ，因为斜率一定存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，联立方程得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立．其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为焦点弦长 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时，弦长 SKIPIF 1 < 0 ．所以，实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）由题意可知直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ．联立方程得： SKIPIF 1 < 0 ，整理得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为以 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．又因为 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，所以当 SKIPIF 1 < 0 为斜边 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 为定值，此时 SKIPIF 1 < 0 ．所以定点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为定值1．