人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第24讲 拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）（原卷版+教师版）

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拓展二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）一、知识点归纳知识点一：曲线方程的定义一般地，如果曲线 SKIPIF 1 < 0 与方程 SKIPIF 1 < 0 之间有以下两个关系：①曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点的坐标都是方程 SKIPIF 1 < 0 的解；②以方程 SKIPIF 1 < 0 的解为坐标的点都是曲线 SKIPIF 1 < 0 上的点．此时，把方程 SKIPIF 1 < 0 叫做曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程，曲线 SKIPIF 1 < 0 叫做方程 SKIPIF 1 < 0 的曲线．知识点二：求曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；（2）设曲线上任意一点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ；（3）根据曲线上点所适合的条件写出等式；（4）用坐标表示这个等式，并化简；（5）确定化简后的式子中点的范围．上述五个步骤可简记为：求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围．知识点三：求轨迹方程的方法：1、定义法：如果动点 SKIPIF 1 < 0 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程。 2、直译法：如果动点 SKIPIF 1 < 0 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 SKIPIF 1 < 0 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 SKIPIF 1 < 0 所满足的几何上的等量关系，再用点 SKIPIF 1 < 0 的坐标 SKIPIF 1 < 0 表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3、参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 SKIPIF 1 < 0 运动的某个几何量 SKIPIF 1 < 0 ，以此量作为参变数，分别建立 SKIPIF 1 < 0 点坐标 SKIPIF 1 < 0 与该参数 SKIPIF 1 < 0 的函数关系 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，进而通过消参化为轨迹的普通方程 SKIPIF 1 < 0 .4、代入法（相关点法）：如果动点 SKIPIF 1 < 0 的运动是由另外某一点 SKIPIF 1 < 0 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 SKIPIF 1 < 0 ，用 SKIPIF 1 < 0 表示出相关点 SKIPIF 1 < 0 的坐标，然后把 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程。5、点差法：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点 SKIPIF 1 < 0 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 等关系式，由于弦 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的坐标满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得弦 SKIPIF 1 < 0 中点的轨迹方程.二、题型精讲方法01直接法【典例1】已知圆心在 SKIPIF 1 < 0 轴上移动的圆经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴分别相交于 SKIPIF 1 < 0 两个动点，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 .【典例2】古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数 SKIPIF 1 < 0 的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到 SKIPIF 1 < 0 的距离是点P到 SKIPIF 1 < 0 的距离的2倍．求点P的轨迹方程；【变式1】已知两定点A（1，1）、B（-1，-1），动点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则点P的轨迹是 .【变式2】在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，O为坐标原点，动点P与两个定点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距离之比为 SKIPIF 1 < 0 ．求动点P的轨迹W的方程．方法02相关点法【典例1】已知面积为16的正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ，则动点P的轨迹方程是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0  C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】已知点 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴上运动， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 方程是 ；【典例3】已知 SKIPIF 1 < 0 的斜边为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .求：(1)直角顶点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；(2)直角边 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.【变式1】已知定点 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 ，则线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 ．【变式2】已知点P是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 ．【变式3】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的上､下顶点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上异于 SKIPIF 1 < 0 的动点，记 SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.点 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)证明： SKIPIF 1 < 0 是定值，并求出该定值；(2)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程.方法03定义法【典例1】一动圆 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，且与已知圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 相切，则动圆圆心 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程是（    ）A． SKIPIF 1 < 0  B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  D． SKIPIF 1 < 0 【典例2】已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .【变式1】一动圆与圆 SKIPIF 1 < 0 外切，同时与圆 SKIPIF 1 < 0 内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．【变式2】如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式 SKIPIF 1 < 0 ，那么点M的轨迹是 ．方法04参数法【典例1】已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的动直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的轨迹长度为 ．【典例2】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，平行于 SKIPIF 1 < 0 轴的两条直线 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，交 SKIPIF 1 < 0 的准线于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积的两倍，求 SKIPIF 1 < 0 中点的轨迹方程.【变式1】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为2，直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，过点 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程为 .【变式2】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为C的左右焦点.点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点，且 SKIPIF 1 < 0 .过P作两直线与椭圆C相交于相异的两点A，B，直线PA、PB的倾斜角互补，直线AB与x，y轴正半轴相交.(1)求椭圆C的方程；(2)点M满足 SKIPIF 1 < 0 ，求M的轨迹方程.方法05点差法【典例1】（1）若双曲线的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，且两顶点间的距离为6，求该双曲线方程．（2）一组平行直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交，求弦的中点的轨迹方程．【典例2】已知双曲线C的方程为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)直线 SKIPIF 1 < 0 截双曲线C所得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数m的值；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的中点M的轨迹方程．【变式1】给定双曲线 SKIPIF 1 < 0 .过点A(2，1)的直线 SKIPIF 1 < 0 与所给双曲线交于两点P1､P2，求线段P1P2的中点轨迹方程.