人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第25讲 拓展三：圆锥曲线的方程（弦长问题）（原卷版+教师版）

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圆锥曲线的方程（弦长问题）一、知识点归纳知识点一：弦长公式 SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  （最常用公式，使用频率最高）  SKIPIF 1 < 0 知识点二：基本不等式 SKIPIF 1 < 0 （当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立）二、题型精讲题型01求椭圆的弦长【典例1】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且其中一个焦点与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点重合．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的A，B两点，且满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为坐标原点），求弦长 SKIPIF 1 < 0 的值．【典例2】在直角坐标系xOy中已知 SKIPIF 1 < 0 ，P是平面内一动点，且直线PA和直线PB的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ．记点P的运动轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)若直线l与曲线C相交于M，N两点．且线段MN的中点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】已知平面内动点 SKIPIF 1 < 0 与定点 SKIPIF 1 < 0 的距离和 SKIPIF 1 < 0 到定直线 SKIPIF 1 < 0 的距离的比是常数 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹方程；(2)设动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ，过定点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．【变式2】已知椭圆C的焦点为F1（0，-2）和F2（0，2），长轴长为2 SKIPIF 1 < 0 ，设直线y=x+2交椭圆C于A，B两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求弦AB的中点坐标及|AB|.题型02求椭圆的弦长的最值（范围）【典例1】过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 .【典例2】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，C上的点到其焦点的最大距离为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求C的方程；(2)若圆 SKIPIF 1 < 0 的切线l与C交于点A，B，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．【典例3】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.(1)求椭圆的 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.【典例4】设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 恒有两个交点 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，写出该圆的方程，并求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，若不存在，说明理由.【变式1】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，它的四个顶点构成的四边形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切且与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值．【变式2】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的短轴长为4，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 上任意一点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)记线段 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【变式3】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 在椭圆上，且使得 SKIPIF 1 < 0 的点 SKIPIF 1 < 0 恰有两个，动点 SKIPIF 1 < 0 到焦点 SKIPIF 1 < 0 的距离的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)如图，以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的长轴为直径作圆 SKIPIF 1 < 0 ，过直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，设切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于不同的两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求弦 SKIPIF 1 < 0 长的取值范围．题型03根据椭圆的弦长求参数【典例1】在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，设 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足： SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是非零常数， SKIPIF 1 < 0 分别为直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率.(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程，并讨论 SKIPIF 1 < 0 的形状与 SKIPIF 1 < 0 值的关系；(2)当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点.若线段 SKIPIF 1 < 0 的长度 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.【典例2】已知在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为 SKIPIF 1 < 0 ，上顶点为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若弦长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，求斜率 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【典例3】已知在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为A，上顶点为B， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，离心率 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且l与椭圆C相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，若弦长 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【变式1】椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆C的离心率；(2)若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求点P的坐标；(3)如果l： SKIPIF 1 < 0 被椭圆C截得的弦长 SKIPIF 1 < 0 ，求该直线的方程．【变式2】在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，且椭圆 SKIPIF 1 < 0 过椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点.过点 SKIPIF 1 < 0 且不与坐标轴平行或重合的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，与椭圆 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点.(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)若存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.【变式3】椭圆E的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，短轴长为2，若斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆E交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且线段 SKIPIF 1 < 0 的中点为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求椭圆E的方程；(2)若直线l： SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，且与椭圆E交于M，N两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程.题型04求双曲线的弦长【典例1】已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.(1)求C的标准方程；(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.【典例2】已知双曲线C的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，且过点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求双曲线C的方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，若OA与OB垂直，求a的值以及弦长 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】设第一象限的点 SKIPIF 1 < 0 是双曲线 SKIPIF 1 < 0 上的一点，已知C的一条渐近线的方程是 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求b的值，并证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 和曲线C相交于E，F两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．【变式2】双曲线的焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，求：(1)双曲线的方程及其渐近线方程；(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 与该双曲线交于交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，求直线AB的弦长．题型05根据双曲线的弦长求参数【典例1】已知点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 依次为双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点，且 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ．(1)设此双曲线经过第一、三象限的渐近线为 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，求双曲线的离心率；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，以此双曲线的焦点为顶点，以此双曲线的顶点为焦点得到椭圆C，法向量为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆C交于两点M，N，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的一般式方程．【典例2】已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程是 SKIPIF 1 < 0 ，右顶点是 SKIPIF 1 < 0 .(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线的另一交点是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程.【变式1】已知焦点在x轴上的双曲线C的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，(1)求双曲线C的离心率e(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与C相交于不同的两点A，B，且 SKIPIF 1 < 0 ，求双曲线C的方程．【变式2】双曲线 SKIPIF 1 < 0 的中心在原点，右焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，与双曲线 SKIPIF 1 < 0 交于不同的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．【变式3】已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，实轴长为2.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 被双曲线C截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值.题型06求抛物线焦点弦【典例1】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求抛物线的标准方程；(2)过抛物线焦点 SKIPIF 1 < 0 作直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，已知线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 横坐标为4，求弦 SKIPIF 1 < 0 的长度．【典例2】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线过点 SKIPIF 1 < 0 ，且与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.【典例3】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 .(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并求其准线方程;(2)过该抛物线的焦点，作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线，交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度.【变式1】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交该抛物线于两点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求：（1） SKIPIF 1 < 0 的值；（2）弦长 SKIPIF 1 < 0 【变式2】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的准线方程是 SKIPIF 1 < 0 是抛物线焦点．(1)求抛物线焦点坐标及其抛物线方程：(2)已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，斜率为2，且与抛物线相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．【变式3】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的顶点在原点，焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长．题型07求抛物线中非焦点弦【典例1】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的图象在第一象限交于点P．若椭圆的右顶点为B，且 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率．(2)若椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距长为2，直线l过点B．设l与抛物线 SKIPIF 1 < 0 相交于不同的两点M、N，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为24，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长度．【典例2】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 到准线的距离为2.(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)若 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上的一动点，过 SKIPIF 1 < 0 作抛物线 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 为切点，直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的垂线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 最小时.求 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，它的准线过双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左焦点．(1)求抛物线C的方程；(2)若过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为1的直线与抛物线C交于M，N两点，求 SKIPIF 1 < 0 ．【变式2】已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 上第一象限的一点 SKIPIF 1 < 0 到其焦点的距离为2．(1)求抛物线C的方程和P点坐标；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线l交抛物线C于A，B两点，若∠APB的角平分线过抛物线的焦点，求弦AB的长．题型08根据抛物线弦长求参数【典例1】在平面直角坐标系中，动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大1.(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程.【典例2】已知O为坐标原点，点 SKIPIF 1 < 0 和点 SKIPIF 1 < 0 ，动点P满足 SKIPIF 1 < 0 .(1)求动点P的轨迹曲线W的方程并说明W是何种曲线；(2)若抛物线 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）的焦点F恰为曲线W的顶点，过点F的直线l与抛物线Z交于M，N两点， SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程.【变式1】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为F，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线C上，且 SKIPIF 1 < 0 .(1)求抛物线C的标准方程；(2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求直线l的方程.【变式2】如图，设抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过 SKIPIF 1 < 0 引抛物线的切线，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 三点的横坐标成等差数列；(2)已知当 SKIPIF 1 < 0 点的坐标为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求此时抛物线的方程．