人教A版高中数学（选择性必修第一册）同步讲义+题型讲解第26讲 拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）（原卷版+教师版）

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拓展四：圆锥曲线的方程（面积问题）一、知识点归纳知识点一：三角形面积问题直线 SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 知识点二：焦点三角形的面积直线 SKIPIF 1 < 0 过焦点 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0   SKIPIF 1 < 0 注意： SKIPIF 1 < 0 为联立消去 SKIPIF 1 < 0 后关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程的二次项系数知识点三：平行四边形的面积直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 注意： SKIPIF 1 < 0 为直线与椭圆联立后消去 SKIPIF 1 < 0 后的一元二次方程的系数.知识点四：范围问题首选均值不等式，其实用二次函数，最后选导数均值不等式  SKIPIF 1 < 0 变式： SKIPIF 1 < 0 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：（1） SKIPIF 1 < 0 （注意分 SKIPIF 1 < 0 三种情况讨论）（2） SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立（3） SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.（4） SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立(5) SKIPIF 1 < 0 当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时等号成立.二、题型精讲题型01椭圆中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦点坐标为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点.(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的标准方程；(2)经过点 SKIPIF 1 < 0 且倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.【典例2】已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的一个焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆C的方程；(2)若过椭圆C的左焦点，倾斜角为 SKIPIF 1 < 0 的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【典例3】已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ，动圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相外切，与圆 SKIPIF 1 < 0 相内切.(1)求动圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心的轨迹方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的两直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别交动圆 SKIPIF 1 < 0 圆心的轨迹于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积.【变式1】已知圆 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与半径 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，当点 SKIPIF 1 < 0 运动时，点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线与曲线 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的另一条直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 面积的 SKIPIF 1 < 0 倍，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程．【变式2】已知 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的左顶点， SKIPIF 1 < 0 是椭圆上不同的两点．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的焦距和离心率；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别共线，求证： SKIPIF 1 < 0 三点共线；(3)若 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【变式3】已知椭圆C： SKIPIF 1 < 0 的上顶点为K，左右顶点分别为A，B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周长为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求椭圆C的方程；(2)O为坐标原点，O，B关于直线L对称，过直线L与x轴的交点作斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N（异于A，B两点），直线AM，AN分别交直线L于P，Q两点，当四边形APBQ的面积为4时，求k的值．题型02椭圆中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】已知 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，椭圆 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的上顶点到右顶点的距离为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的动点，设直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .求 SKIPIF 1 < 0 的面积的最大值.【典例2】已知 SKIPIF 1 < 0 的两顶点坐标 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)不垂直于 SKIPIF 1 < 0 轴的动直线 SKIPIF 1 < 0 与轨迹 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 两点，定点 SKIPIF 1 < 0 ，若直线 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．【典例3】已知点 SKIPIF 1 < 0 ，动点 SKIPIF 1 < 0 满足直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 .记动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程，并说明 SKIPIF 1 < 0 是什么曲线；(2)设 SKIPIF 1 < 0 为曲线 SKIPIF 1 < 0 上的两动点，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .①求证：直线 SKIPIF 1 < 0 恒过一定点；②设 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值.【变式1】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 的周长为8，且点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上．(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 交于C，D两点，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 面积的取值范围．【变式2】）已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求该椭圆的离心率；(2)设点 SKIPIF 1 < 0 是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ；(3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求△ SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值．【变式3】已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，且离心率为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)直线 SKIPIF 1 < 0 分别交椭圆 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，若线段 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 在直线 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值.题型03双曲线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，及直线 SKIPIF 1 < 0 .(1)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个公共点，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的左右两支分别交于A、B两点，且 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.【典例2】已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，焦点到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C的标准方程与离心率；(2)已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线C交于x轴下方的A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【典例3】已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，焦距为 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的双曲线上，过点 SKIPIF 1 < 0 作双曲线切线与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ．(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)已知斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与双曲线左支交于 SKIPIF 1 < 0  两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率互为相反数，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【变式1】已知M是平面直角坐标系内的一个动点，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，A为垂足且位于第一象限，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直，B为垂足且位于第四象限，四边形 SKIPIF 1 < 0 （O为原点）的面积为8，动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)已知 SKIPIF 1 < 0 是轨迹C上一点，直线l交轨迹C于P，Q两点，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的斜率之和为1， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.【变式2】已知双曲线C： SKIPIF 1 < 0 的左，右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都在圆 SKIPIF 1 < 0 上，连接双曲线C的两个实轴端点、两个虚轴端点组成的菱形的面积为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求双曲线C的标准方程；(2)设P是双曲线C与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．题型04双曲线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，动点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离与它到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离之比为2，记 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为曲线 SKIPIF 1 < 0 .(1)求曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过 SKIPIF 1 < 0 的直线交曲线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点（均位于 SKIPIF 1 < 0 轴右侧）， SKIPIF 1 < 0 关于原点的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积的取值范围.【典例2】P是双曲线 SKIPIF 1 < 0 右支上一点，A，B是双曲线的左右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与BQ的交点为C．(1)记P，Q的纵坐标分别为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)记 SKIPIF 1 < 0 的面积分别为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．【变式1】在平面直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中，点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 .以G为圆心作一个半径为6的圆，点P是圆上一动点，线段AP的垂直平分线与直线GP相交于点Q.(1)求Q的轨迹方程；(2)过原点斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线l交曲线Q于B，C两点，求四边形GBAC面积的最大值.【变式2】如图，已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，经过点 SKIPIF 1 < 0 且斜率为 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，与 SKIPIF 1 < 0 的渐近线交于 SKIPIF 1 < 0 两点（从左至右的顺序依次为 SKIPIF 1 < 0 ），其中 SKIPIF 1 < 0 .(1)若点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)求 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值.【变式3】已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，其左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上有一点P满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．(1)求b；(2)过 SKIPIF 1 < 0 作直线l交 SKIPIF 1 < 0 于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH的夹角为 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．题型05抛物线中三角形（四边形）的面积问题（定值）【典例1】已知抛物线T： SKIPIF 1 < 0 和椭圆C： SKIPIF 1 < 0 ，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点．(1)若F恰是椭圆C的焦点，求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 恰好被 SKIPIF 1 < 0 平分，求 SKIPIF 1 < 0 的面积．【典例2】如图所示，已知直线与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 (1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线与抛物线交于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.【变式1】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 两点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的面积.【变式2】设椭圆 SKIPIF 1 < 0 的四个顶点围成的菱形的面积为4，且点 SKIPIF 1 < 0 为椭圆上一点.拋物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称.(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 及抛物线 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)直线 SKIPIF 1 < 0 与椭圆交于 SKIPIF 1 < 0 ，与拋物线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 （异于原点），若 SKIPIF 1 < 0 ，求四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积.题型06抛物线中三角形（四边形）的面积问题（最值或范围）【典例1】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设 SKIPIF 1 < 0 是抛物线上一点．(1)求抛物线方程；(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M做两条直线 SKIPIF 1 < 0 分别交抛物线于A，B两点，若直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．【典例2】已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在抛物线 SKIPIF 1 < 0 上，且点 SKIPIF 1 < 0 到抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点的距离为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；(2)设圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 上的动点，过点 SKIPIF 1 < 0 作圆 SKIPIF 1 < 0 的两条切线，分别交抛物线 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 两点，求 SKIPIF 1 < 0 的面积 SKIPIF 1 < 0 的最大值.【变式1】抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点，过C的焦点F斜率为1的直线交抛物线于A，B两点， SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 (1)求抛物线C的方程；(2)若P为C上位于第一象限的任一点，直线l与C相切于点P，连接PF并延长交C于点M，过P点作l的垂线交C于另一点N，求 SKIPIF 1 < 0 面积S的最小值．【变式2】已知抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，且点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 上点的距离的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；(2)若点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，过点 SKIPIF 1 < 0 做抛物线 SKIPIF 1 < 0 的两切线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 是切点，求 SKIPIF 1 < 0 面积的最大值．