2023年上海市静安区高考数学一模试题（原卷版）

这是一份2023年上海市静安区高考数学一模试题（原卷版），共4页。
1．（4分）函数y＝tan（3x﹣）的定义域为 ．
2．（4分）已知复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第二象限，则实数a的取值范围是 ．
3．（4分）若直线x+2y+3＝0与直线2x+my+10＝0平行，则这两条直线间的距离是 ．
4．（4分）16——17岁未成年人的体重的主要百分位数表（单位：kg）．
表中数据来源：《中国未成年人人体尺寸》（标准号：GB/T26158﹣2010）
小王同学今年17岁，她的体重50kg，她所在城市女性同龄人约有4.2万人．估计小王同学所在的城市有 万女性同龄人的体重一定高于她的体重．（单位：万人，结果保留一位小数）
5．（4分）已知函数f（x）＝excs2x﹣e2，则函数f（x）的导数f'（x）＝ ．
6．（4分）现有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（单位：cm），从中任取3根，能搭成一个三角形的概率是 ．
7．（5分）有一种空心钢球，质量为140.2g，测得球的外直径等于5.0cm，若球壁厚度均匀，则它的内直径为 cm．（钢的密度是7.9g/cm3，结果保留一位小数）．
8．（5分）、分别是事件A、B的对立事件，如果A、B两个事件独立，那么以下四个概率等式一定成立的是 ．（填写所有成立的等式序号）
①P（A∪B）＝P（A）+P（B）
②
③
④
9．（5分）2022年11月27日上午7点，时隔两年再度回归的上海马拉松赛在外滩金牛广场鸣枪开跑，途经黄浦、静安和徐汇三区．数千名志愿者为1.8万名跑者提供了良好的志愿服务．
现将5名志愿者分配到防疫组、检录组、起点管理组、路线垃圾回收组4个组，每组至少分配1名志愿者，则不同的分配方法共有 种．（结果用数值表示）
10．（5分）已知全集为实数集R，集合，N＝，则＝ ．
11．（5分）在空间直角坐标系O﹣xyz中，点P（7，4，6）关于坐标平面xOy的对称点P′在第 象限；若点Q的坐标为（8，﹣1，5），则向量与向量夹角的余弦值是 ．
12．（5分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+2，若函数f（x）只有一个零点x0，则实数a的取值范围为 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分）每题有且仅有一个正确选项，考生应在答题纸的相应编号位置将代表正确选项的小方格涂黑．
13．（4分）已知{an}是等差数列，a1+a15＝48，则a3+3a8+a13＝（ ）
A．120B．96C．72D．48
14．（4分）若实数x，y满足x2+4y2﹣xy＝3，则（ ）成立．
A．xy≥1B．x2+4y2≤4C．D．．
15．（5分）在的二项展开式中，称为二项展开式的第r+1项，其中r＝0，1，2，3，…，n．下列关于的命题中，不正确的一项是（ ）
A．若n＝8，则二项展开式中系数最大的项是
B．已知x＞0，若n＝9，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x的取值范围是
C．若n＝10，则二项展开式中的常数项是
D．若n＝27，则二项展开式中x的幂指数是负数的项一共有12项
16．（5分）“阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺．
A．142πB．140πC．138πD．128π
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（14分）已知数列{an}满足：，a2＝1，an+2+4an＝5an+1，对一切正整数n成立．
（1）证明：数列{an+1﹣an}是等比数列；
（2）求数列{an}的前n项之和．
18．（14分）平面向量，函数．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）若，求y＝f（x）的值域；
（3）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，求△ABC的面积．
19．（16分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB
（1）求证：PO⊥面ABCE．
（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．
20．（16分）已知椭圆Γ：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（常数c＞0），直线AF1，AF2分别交椭圆Γ于点B，C．O为坐标原点．
（1）求证：直线BO平分线段AC；
（2）如图，设椭圆Γ外一点P在直线BO上，点P的横坐标为常数m（m＞a），过P的动直线l与椭圆Γ交于两个不同点M、N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q在直线上．
21．（18分）已知函数f（x）＝﹣2alnx﹣，g（x）＝ax﹣（2a+1）lnx﹣，其中a∈R．
（1）若x＝2是函数f（x）的驻点，求实数a的值；
（2）当a＞0时，求函数g（x）的单调区间；
（3）若存在x∈[，e2]（e为自然对数的底），使得不等式f（x）≤g（x）成立，求实数a的取值范围．
P1
P5
P10
P25
P50
P75
P90
P95
P99
男
40.1
45.1
47.9
51.5
56.7
63.7
72.4
80.4
95.5
女
38.3
41.2
43.1
46.5
50.5
55.3
61.1
65.4
75.6