2024-2025学年福建省龙岩市连城县第一中学高一上学期10月月考数学试题（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省龙岩市连城县第一中学高一上学期10月月考数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A=0,1,2,3，B=−1,0,1,2,3，则A∩B=( )
A. −1,0,1,2,3B. 1,2C. 0,1,2,3D. 1,2,3
2.在下列集合E到集合F的对应中，不能构成E到F的函数的是( )
A. B. C. D.
3.“a<1a”是“a<−1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.若正数x，y满足4x+y=4，则1x+1y
最小值为( )
A. 2B. 94C. 3D. 83
5.已知集合M={x|x=k4−18,k∈Z}，N={y|y=k2±38,k∈Z}，则( )
A. M=NB. M⊇NC. M⊆ND. M∩N=⌀
6.下列命题中真命题的个数是( )
①命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定为“∃x∈R，|x|+x2<0”;
②“a2+(b−1)2=0”是“a(b−1)=0”的充要条件;
③集合A={y|y= x2+1}，B={x|y= x2+1}表示同一集合．
A. 0B. 1C. 2D. 3
7.已知函数fx=2−x,x>1x2−1,x≤1，若f(x)在区间I上恒负，且是减函数，则区间I可以是( )
A. (−2,−1)B. 0,1C. (−1,0)D. (1,2)
8.我国南宋著名数学家秦九韶(约1202～1261)独立发现了与海伦公式等价的由三角形三边求面积的公式，他把这种称为“三斜求积”的方法写在他的著作《数书九章》中．具体的求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式，就是S= 14a2c2−c2+a2−b222.现将一根长为20cm的木条，截成三段构成一个三角形，若其中有一段的长度为6cm，则该三角形面积的最大值为( )cm2．
A. 6 10B. 4 10C. 6 5D. 4 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个结论中正确的是( )
A. ∃x,y∈R,x2+y2−4x+2y+5=0
B. 命题“∀x∈R,3x2−2x−1<0”的否定是“∃x0∈R,3x02−2x0−1>0”
C. “x5>y5”的充要条件是“x>y”
D. “a>b”是“a>b+1”的必要不充分条件
10.已知函数f(x)=1−x21+x2，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的定义域为RB. 函数f(x)的值域为[−1,1]
C. ff1=1D. 函数f(x)在区间[0, + ∞)上单调递增
11.设函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−2，当x∈0,2时，fx=x2−x，若对于任意的x∈−∞,m，都有fx≤3，则实数m的取值可以是( )
A. 3B. 92C. 112D. 6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y=4x,1≤x<10,x∈N,2x+10,10≤x<100,x∈N,1.5x,x≥100,x∈N.其中x代表拟录用人数，y代表面试人数.若面试人数为60，则该公司拟录用人数为 ．
13.已知关于x的不等式mx2−mx+1≤0，若此不等式的解集为⌀，则实数m的取值范围是
14.已知关于x的不等式组−x2+4x+5<02x2+5x<−(2x+5)k的解集中存在整数解且只有一个整数解，则k的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
设集合A={x∣a+1(1)若a=3，求∁RA∪B；
(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．
16.(本小题12分)
设m∈R，已知集合A=x3x+2x−1<1，B=x2x2+m−2x−m<0．
(1)当m=1时，求A∪B；
(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，求m的取值范围．
17.(本小题12分)
我市为推动美丽乡村建设，发展农业经济，鼓励农产品加工某食品企业生产一种饮料，每瓶成本为10元，售价为15元，月销售8万瓶．
(1)据市场调查，若售价每提高1元，月销售量将减少2000瓶，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润=月销售总收入−月总成本)，该饮料每瓶售价最多为多少元？
(2)为提高月总利润，企业决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价x(x≥16)元，并投334(x−16)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高1元，月销售量将相应减少0.8(x−15)2万瓶，则当每瓶售价x为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
18.(本小题12分)
已知集合A=x−20)的两个不同的实数根．
(1)若A=B，求出实数m的值；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数fx=axx+1a≠0．
(1)当a>0时，判断fx的单调性；
(2)若fx在区间1,2上的最大值为43．
(i)求实数a的值；
(ii)若函数gx=x+bxb>0，是否存在正实数b，使得对区间15,1上任意三个实数r，s，t，都存在以gfr，gfs，gft为边长的三角形？若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】根据集合交集运算求解即可．
【详解】A∩B=0,1,2,3，
故选：C．
2.【答案】D
【解析】【分析】利用函数的定义一一判定选项即可．
【详解】根据函数的定义可知，E中的每一个元素在F中都有唯一的元素与之对应，
显然A、B、C符合题意，
而D选项中，E中的元素b在F中有两个元素对应，不符合函数的定义．
故选：D
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分、必要条件的判断，分式不等式、高次不等式求解，属于中档题．
解出不等式 a<1a ，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得．
【解答】
解：不等式 a<1a 等价于 a−1a<0 等价于 a2−1a<0 ，所以 aa2−1<0 ，
即 aa−1a+1<0 ，解得 0故 a<−1 能推出 a<1a 成立，但是 a<1a 成立不一定有 a<−1 ，
所以“ a<1a ”是“ a<−1 ”的必要不充分条件．
故选：B
4.【答案】B
【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得．
【详解】由正数x，y满足4x+y=4，
得1x+1y=14(4x+y)(1x+1y)=14(yx+4xy+5)≥14(2 yx⋅4xy+5)=94，
当且仅当yx=4xy，即x=23，y=43时取等号，
所以1x+1y的最小值为94．
故选：B
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查集合的相等，集合的包含关系，集合的交集运算，属于基础题．
对集合M分k=2n和k=2n−1讨论即可得答案．
【解答】
解：当k=2n时，x=k4−18=2n4−18=n2−18=n−12+38,n∈Z，
当k=2n−1时，x=k4−18=2n−14−18=n2−14−18=n2−38,n∈Z，
所以N={y|y=k2±38,k∈Z}，所以M=N．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查命题真假的判断，属于基础题．
由全称量词命题的否定为存在量词命题了判断 ①，由充分必要条件的定义判断 ②，求得函数定义域和值域得到集合A，B判断 ③．
【解答】
解： ①中，“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|+x2<0”，故 ①是真命题；
②中，a2+(b−1)2=0⇒a=0且b=1，而a(b−1)=0⇒a=0或b=1，
故“a2+(b−1)2=0”是“a(b−1)=0”的充分不必要条件，即 ②是假命题；
③中，A={y|y≥1|,B=R，故不是同一集合， ③是假命题．
故选B．
7.【答案】C
【解析】【分析】作出函数fx的图象，观察图象即可得解．
【详解】函数fx=2−x,x>1x2−1,x≤1，如图所示：

所以f(x)在区间I上恒负，且是减函数，区间I可以是(−1,0)，2,+∞．
故选：C．
8.【答案】A
【解析】【分析】S=14 4a2c2−[(c+a)2−2ac−b2]2, 代入后利用基本不等式可求S的得最大值．
【详解】令b=6，则a+c=14，
S= 14a2c2−c2+a2−b222=14 4a2c2−[(c+a)2−2ac−b2]2,
代入得S=14 [(2ac)2−(160−2ac)2]=14 160(4ac−160)，
由基本不等式：14=a+c≥2 ac, 所以4ac≤196，可得S≤6 10，
当且仅当a=c=7时取等号，
所以a=c=7时，面积S取得最大值6 10．
故选：A．
9.【答案】ACD
【解析】【分析】根据等式性质判断A，根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断CD．
【详解】对于A，x2+y2−4x+2y+5=x−22+y+12=0，解得x=2,y=−1，
即∃x=2,y=−1,x2+y2−4x+2y+5=0，正确；
对于B，根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“∀x∈R,3x2−2x−1<0”的否定为：∃x0∈R,3x02−2x0−1≥0，错误；
对于C，若x5>y5，则x>y，反之若x>y，则x5>y5，
所以“x5>y5”的充要条件是“x>y”，正确；
对于D，若a>b，则a>b+1不一定成立，如a=1>b=0.5，但a=1反之，若a>b+1，则a>b，所以“a>b”是“a>b+1”的必要不充分条件，正确．
故选：ACD
10.【答案】AC
【解析】【分析】分离常数，即可判断函数的单调性，即可求解DB，代入求解C．
【详解】f(x)=1−x21+x2=−1+21+x2，故定义域为R，A正确，
由于1+x2≥1,∴0<21+x2≤2，故fx=−1+21+x2∈−1,1，故 B错误，
f1=0,ff1=f0=1， C正确，
由于y=1+x2在[0, + ∞)单调递增，所以f(x)=−1+21+x2在[0, + ∞)单调递减， D错误，
故选：AC
11.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，由函数的最值求参数，属于基础题．
根据∀x∈R,fx=2fx−2，且当x∈0,2时，fx=x2−x，作出函数的部分图象，结合图象即可求出实数m的取值范围，从而得出结论．
【解答】
解：由函数fx的定义域为R，满足fx=2fx−2，
当x∈0,2时，fx=x2−x可得，
当x∈2,4时，x−2∈0,2,
f(x)=2f(x−2)
=2(x−2)[2−(x−2)]=2(x−2)(4−x)，
当x∈4,6时，x−2∈2,4,
f(x)=2f(x−2)
=4(x−2−2)[4−(x−2)]=4(x−4)(6−x)；
作出函数fx的部分图象如下图所示：
由类周期函数性质可知，当x∈−∞,0时，fx≤3恒成立；
解方程4x−46−x=3可得x=92或x=112；
又因为对于任意的x∈−∞,m，都有fx≤3，利用图象可知m≤92，
因此选项AB符合题意．
故选：AB．
12.【答案】25
【解析】【分析】根据分段函数的性质，令y=60，分类讨论求出x即可．
【详解】令y=60，若4x=60，则x=15>10，不合题意；
若2x+10=60，则x=25，满足题意；
若1.5x=60，则x=40<100，不合题意．
故该公司拟录用25人．
故答案 ：25．
13.【答案】0,4
【解析】【分析】对m进行m=0和m≠0分类，再结合不等式的解集为⌀讨论求解即可．
【详解】当m=0时，mx2−mx+1≤0⇔1≤0，与客观事实矛盾，
故此时不等式的解集为⌀，m=0符合；
当m≠0时，mx2−mx+1≤0为一元二次不等式，若此不等式解集为⌀，
则有m>0Δ=−m2−4×m×1<0⇒0综上，实数m的取值范围是0,4．
故答案为：0,4．
14.【答案】[−6,2)∪(3,4]
【解析】【分析】
本题考查解一元二次不等式，二次方程根的分布，属于中档题．
求出第一个不等式的解，讨论k的范围得出第二个不等式的解，根据只含有一个整数得出第二个不等式解的端点的范围，从而得出k的范围．
【解答】
解：由x2−4x−5=(x−5)(x+1)>0，得x<−1或x>5，
所以2x2+(2k+5)x+5k=(2x+5)(x+k)<0的解集与{x|x<−1或x>5}的交集中存在整数解且只有一个整数解，
当k<52时，2x2+(2k+5)x+5k<0的解集为x|−52此时−2<−k≤6，即−6≤k<2，满足要求;
当k=52时，2x2+(2k+5)x+5k<0的解集为⌀，此时不满足题设;
当k>52时，2x2+(2k+5)x+5k<0的解集为{x|−k此时−4≤−k<−3，即3综上，k的取值范围为[−6,2)∪(3,4]．
故答案为[−6,2)∪(3,4]．
15.【答案】解：(1)当a=3时，A={x|4所以∁R(A∪B)={x|x≤−2或x≥5}．
(2)由A∩B=A，得A⊆B，
当A=⌀时，则a+1≥2a−1，解得a≤2，满足A⊆B，因此a≤2；
当A≠⌀时，由A⊆B，得−2≤a+1<2a−1≤5，解得2所以实数a的取值范围是a≤3．

【解析】本题考查交并补混合运算，含参数的交集运算问题，属于基础题．
(1)把a=3代入，利用并集、补集的定义求解即得．
(2)利用给定交集的结果，借助集合的包含关系，列式求解即得．
16.【答案】解：(1)3x+2x−1<1⇔2x+3x−1<0，解得A=−32,1，
2x2+m−2x−m<0⇔2x+mx−1<0，
当m=1时，得B=−12,1，
所以A∪B=−32,1∪−12,1=−32,1．
(2)若“x∈B”是“x∈A”的必要不充分条件，所以A⫋B，
解方程2x+mx−1=0得x=−m2或x=1，
当m=−2时，B=⌀，不满足题意；
当−m2<1，即m>−2时，B=−m2,1，
因为A⫋B，所以−m2<−32，解得m>3；
当−m2>1，即m<−2时，B=1,−m2，显然不满足题意．
综上，m的取值范围为3,+∞．

【解析】本题主要考查集合运算，充分、必要、充要条件，属于一般题．
(1)分别解不等式求出集合A，B，然后由并集运算可得；
(2)根据集合包含关系，对m分类讨论即可．
17.【答案】解：(1)设提价a元，由题意，每瓶饮料利润为a+5元，月销量为8−0.2a万瓶，
所以提价后月总销售利润为(a+5)(8−0.2a)万元，
因为原来月销售总利润为5×8=40万元，月利润不低于原来月利润，
所以，(a+5)(8−0.2a)≥40，
即，a2−35a≤0，
所以0≤a≤35，所以售价最多为a+15=50，
故该饮料每瓶售价最多为50元；
(2)由题意，每瓶利润为x−10元，月销售量8−0.8(x−15)2(x−15)=8−0.8x−15万瓶，
设下月总利润为y=(x−10)(8−0.8x−15)−334(x−16)，x≥16，
整理得，y=−14x−4x−15+51.2
=−[14(x−15)+4x−15]+47.45，
因为x≥16，所以x−15≥1，
∴y≤−2 14(x−15)×4x−15+47.45=45.45，
当且仅当x=19时取到等号，
故当售价为19元时，下月的利润最大为45.45万元．
【解析】本题考查了函数模型，利用不等式的知识解决实际问题．
(1)设提价a元，则每瓶利润为a+5元，由此算出月销量，进而可以求出总利润的关系式，再求出原来的总利润，令提价的利润大于等于原来的利润，即可解出a的范围，进而可以求解；
(2)由题意可得每瓶利润为x−10元，进而求出月销量，则可得月总利润，再利用函数的性质即可求解．
18.【答案】(1)
因为A=B，故a=−2,b=6，
又x−3mx+m=0(m>0)的两根分别为−m,3m，
故−m=−2,3m=6，
故m=2；
(2)
因为A⊆B，故a≤−2,b≥6，
又x−3mx+m=0(m>0)的两根分别为−m,3m，
故−m≤−23m≥6，解得m≥2，
故实数m的取值范围是2,+∞．

【解析】(1)先根据A=B得到a=−2,b=6，结合方程的两根得到方程，求出m=2；
(2)A⊆B，故a≤−2,b≥6，结合方程的两根得到不等式，求出m≥2．
19.【答案】解：(1)由题意得fx=axx+1=a−ax+1,x≠−1．
设∀x1,x2∈(−∞,−1)且x1因为x10，
当a>0时，fx1−fx2<0，即fx1所以fx=a−ax+1在−∞,−1上单调递增；
同理可得，fx=a−ax+1在−1,+∞上单调递增．
故fx在−∞,−1和−1,+∞上单调递增．
(2)
(i)fx在区间1,2上的最大值为43．
①当a<0时，同理(1)可知，函数fx=a−ax+1在区间1,2上单调递减，
∴fxmax=f1=a−a2=a2=43，解得a=83>0(舍去)；
②当a>0时，函数fx=a−ax+1在区间1,2上单调递增，
∴fxmax=f2=a−a3=2a3=43，解得a=2．
综上所述，a=2．
(ii)由(i)知，fx=2−2x+1，且fx在区间15,1上单调递增．
∴f15≤fx≤f1，即13≤fx≤1，
∴fx在区间15,1上的值域为13,1．
讨论函数gx=x+bxb>0：
令0当x1,x2∈0, b时，x1−x21−bx1x2>0，所以gx1>gx2，gx为减函数；
当x1,x2∈ b,+∞时，x1−x21−bx1x2<0，所以gx1∴gx在0, b为减函数，在 b,+∞为增函数，
令m=fx，则m∈13,1，∴gfx=gm=m+bmb>0．
在区间15,1上任意三个实数r，s，t，都存在以gfr，gfs，gft为边长的三角形，等价于m∈13,1，2gmmin>gmmax．
①当0< b≤13，即0∴gmmin=3b+13,gmmax=b+1，
由2gmmin>gmmax，即6b+23>b+1，得b>115，∴115②当19∴gmmin=2 b,gmmax=b+1，
由2gmmin>gmmax，即4 b>b+1，得b2−14b+1<0，解得7−4 3③当13∴gmmin=2 b,gmmax=3b+13，由2gmmin>gmmax，即4 b>3b+13，得9b2−14b+19<0，解得7−4 39④当b≥1时，gm=m+bm在13,1上单调递减，
∴gmmin=b+1,gmmax=3b+13，由2gmmin>gmmax，即2b+2>3b+13，解得b<53，∴1≤b<53．
综上所述，实数b的取值范围为b115
【解析】本题考查判断或证明函数的单调性，考查由函数的最值求参等，属于难题．
(1)根据单调性的定义判断单调性；
(2)(i)根据题意，分别对a<0和a>0两种情况讨论单调性，即可得出结果；
(ii)由题意gx=x+bxb>0，可证得gx在0, b为减函数，在 b,+∞为增函数，设m=fx，m∈13,1，则gm=m+bmb>0，从而把问题转化为m∈13,1，2gmmin>gmmax时，求实数b的取值范围．结合gm=m+bmb>0的单调性，分0