2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省宁波市镇海中学高二上学期第一次月考数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(2,4)，b=(−1,1)，则2a−b=( )
A. (5,7)B. (5,9)C. (3,7)D. (3,9)
2.已知直线l1:x−3y+2=0,l2:3x−ay−1=0，若l1⊥l2，则实数a的值为( )
A. 1B. 12C. −12D. −1
3.已知m是实常数，若方程x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆，则m的取值范围为( )．
A. (−∞,20)B. (−∞,5)C. (5,+∞)D. (20,+∞)
4.设a,b为两条直线，α,β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 若a,b与α所成的角相等，则a/\!/bB. 若a//α,b//β，α/​/β，则a/\!/b
C. 若a⊂α,b⊂β,a//b，则α/​/βD. 若a⊥α,b⊥β，α⊥β，则a⊥b
5.直线y=kx+3与圆x−32+y−22=4相交于M、N两点，若MN=2 3，则k等于( )
A. 0B. −23C. −23或0D. −34或0
6.过点P1,3作直线l，若l经过点Aa,0和B0,b，且a,b均为正整数，则这样的直线l可以作出( )，
A. 1条B. 2条C. 3条D. 无数条
7.已知长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是( )
A. 1,2B. 1, 2C. 0,1D. 0,2
8.已知点P在直线y=−x−3上运动，M是圆x2+y2=1上的动点，N是圆(x−9)2+(y−2)2=16上的动点，则PM+PN的最小值为( )
A. 13B. 11C. 9D. 8
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.三条直线x+y=0，x−y=0，x+ay=3构成三角形，则a的值不能为( )
A. 1B. 2C. −1D. −2
10.正方体ABCD−A1B1C1D1中，下列结论正确的是( )
A. 直线AD1与直线A1C1所成角为π3B. 直线AD1与平面ABCD所成角为π3
C. 二面角D1−AB−D的大小为π4D. 平面AB1D1⊥平面B1D1C
11.已知圆M:(x−1)2+(y−1)2=4，直线l:x+y+2=0,P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA､PB，切点为A､B，则下列各选项正确的是( )
A. 四边形MAPB面积的最小值为4
B. 四边形MAPB面积的最大值为8
C. 当∠APB最大时，PA=2
D. 当∠APB最大时，直线AB的方程为x+y=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l1 :mx+y+2m−3=0，l2:mx+y−m+1=0，则直线l1与l2之间的距离最大值为 ．
13.已知三棱锥P−ABC中，∠APB=2π3，PA=PB= 3，AC=5，BC=4，且平面PAB⊥平面ABC，则该三棱锥的外接球的表面积为 ．
14.若点A(x,y)满足C：(x+3)2+(y+4)2≤25，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P(6,1)而言，|PA+PB|的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知直线m:2x−y−3=0与直线n:x+y−3=0的交点为P．
(1)若直线l过点P，且点A(1,3)和点B(3,2)到直线l的距离相等，求直线l的方程；
(2)若直线l1过点P且与x轴和y轴的正半轴分别交于A、B两点，△ABO的面积为4，求直线l1的方程．
16.(本小题12分)
某同学在劳动实践课上制作了一个如图所示的容器，其上半部分是一个正四棱锥，下半部分是一个长方体，已知正四棱锥S−ABCD的高是长方体ABCD−A1B1C1D1高的12，且底面正方形ABCD的边长为4，AA1=2．
(1)求AC1的长及该长方体的外接球的体积;
(2)求正四棱锥的斜高和体积．
17.(本小题12分)
已知圆C过点D0,1，E−2,1，F(−1, 2)，P是直线l1:y=x−2上的任意一点，直线l2:y=x+1与圆C交于A,B两点．
(1)求圆C的方程；
(2)求PA2+PB2的最小值．
18.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:x+32+y−12=4和圆C2:x−42+y−52=4．

(1)若直线l过点A−1,0，且与圆C1相切，求直线l的方程；
(2)设P为直线x=−32上的点，满足：过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．试求满足条件的点P的坐标．
19.(本小题12分)
如图，已知直三棱柱A1B1C1−ABC中，∠ABC=90∘且AB=BC=BB1=2，D、E、F分别为AC、BC、B1B的中点，G为线段DE上一动点．
(1)求C1F与平面A1B1C1所成角的正切值；
(2)证明：C1F⊥A1G；
(3)求锐二面角C1−A1G−B1的余弦值的最大值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量加减与数乘的坐标运算，属于基础题目．
利用平面向量的坐标运算法则进行求解即可．
【解答】
解：由a=(2,4)，b=(−1,1)，
得：2a−b=2(2,4)−(−1,1)=(4,8)−(−1,1)=(5,7)．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
对a进行分类讨论，代入k1•k2=−1求解即可．
【解答】
解：当a=0时，直线l1:x−3y+2=0的斜率k1=13，
直线l2:3x−ay−1=0的斜率不存在，此时两条直线不垂直；
当a≠0时，直线l1:x−3y+2=0的斜率k1=13，
直线l2:3x−ay−1=0的斜率k2=3a，
因为l1⊥l2，所以k1•k2=−1，
所以13×3a=1a=−1，解得：a=−1．
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了二元二次方程表示圆的条件的应用，属于基础题．
结合二元二次方程表示圆的条件即可建立关于m的不等式，可求得答案．
【解答】解：由x2+y2+2x+4y+m=0表示的曲线是圆可得4+16−4m>0，解得m0)，AP=x(0