[数学]安徽省多校2024-2025学年高二上学期开学考试试题(解析版)

这是一份[数学]安徽省多校2024-2025学年高二上学期开学考试试题(解析版)，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】,则.则.
故选：A.
2. 某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ）
A. 53B. 74C. 78D. 83
【答案】C
【解析】将8位同学考试的物理成绩从小到大排列：，
由，所以数据的第60百分位数为.
故选：C.
3. 已知，则“”是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】,则，且在单调递增.故.
反过来，如果，则,可以为负数.推不出.
故“”是的充分不必要条件.
故选：Ａ．
4. 已知命题，为假命题，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由命题，为假命题，
可得命题，为真命题，
即不等式在x∈1,+∞上恒成立，
即在x∈1,+∞上恒成立，
令，则，
可得，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以，即实数的取值范围为.
故选：B.
5. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，在上的投影向量为，
所以，所以，所以，
由，可知.故选：B.
6. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，，则异面直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，取中点，连接.则，
且，则四边形为平行四边形，则.
由图则异面直线所成角为或其补角，
中，，，.
由余弦定理可知.
异面直线所成角的余弦值为.
故选：D.
7. 已知是上的减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据题意保证两段都是减函数，在1附近还要一直减.
可得，
解得.
故选：C.
8 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，即.
,即.
综上知道.故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9. 已知复数，则（ ）
A. 的虚部为B.
C. D. 为纯虚数
【答案】CD
【解析】对于A，因为，
所以的虚部为，故选项A错误；
对于B，因为，故选项B错误；
对于C，，故选项C正确；
对于D，为纯虚数，故选项D正确.故选：CD.
10. 已知函数当时，取得最大值2，且与直线最近的一个零点为，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的单调递增区间为
C. 的图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到
D. 若为奇函数，则
【答案】AC
【解析】根据题意，化简，
当时取得最大值2，则,
与直线最近的一个零点为，则，则，则.
则.当时取得最大值，则，，
则，则，则的最小正周期为，A正确；
令则
则的单调递增区间为故B错误;
的图象向右平移个单位长度得到,故C正确；
，由于为奇函数，
则令，则.故D错误.
故选：AC.
11. 已知定义域为的函数为奇函数，的图象关于直线对称，则（ ）
A. 的图象关于点中心对称B. 为奇函数
C. 是周期为4的函数D.
【答案】ACD
【解析】为奇函数，得到，向右平移1个单位得到，
则的图象关于点1,0中心对称,则A正确.
则，的图象关于直线对称,
则，则,
则，则是周期为4的函数.则C正确.
令，则由，知，则f1=0..故D正确.
前面式子推不出，故B错误.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 已知向量满足，，且，则______．
【答案】.
【解析】由向量满足，
因为，可得，解得，即，
所以.
13. 小耿与小吴参与某个答题游戏，此游戏共有5道题，小耿有3道题不会，小吴有1道题不会，小耿与小吴分别从这5道题中任意选取1道题进行回答，且两人选题和答题互不影响，则小耿与小吴恰有1人会答的概率为__________
【答案】
【解析】小耿与小吴恰有1人会答，包括两种情况，小耿会小吴不会和小吴会小耿不会.
则小耿与小吴恰有1人会答的概率为.
14. 已知一个圆台的侧面积为，下底面半径比上底面半径大1，母线与下底面所成角的正切值为7，则该圆台的外接球（圆台的上、下底面圆周上的点均在球面上）的体积为______．
【答案】
【解析】设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为.因为母线与下底面所成角的正切值为7，所以.
又因为.则，
圆台的侧面积公式为，已知侧面积为，所以.
则.又因为,则.
设圆台外接球的半径为，球心到上底面的距离为.
则，，
解得.
根据公式，求出外接球的体积公式为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 某校为促进学生对地震知识及避震自救知识的学习，组织了《地震知识及避震自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为．
（1）根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表）
（2）按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人成绩都在内的概率．
解：（1）频率之和为1,则，解得.
则,则平均分成绩为.
（2）根据分层抽样，知道和内的学生比为.
则抽取的5人中有2个来自层，设为．3个来自层，设为.
再从这5人中随机抽取2人,总共有10种可能，分别为:.
这2人成绩都在内的有,共3种.故所求概率为.
16. 已知的内角的对边分别为，向，
（1）求；
（2）若，求的面积的最大值
解：（1）即，
由正弦定理角化边得，即，
则,由于,则.
（2），，则，即，
由不等式知道，（当且仅当取最值），即.
由三角形面积公式知道，（当且仅当取最值）.
故的面积的最大值为.
17. 已知
（1）求的值；
（2）已知，求的值
解：（1），运用差角公式展开，
得，
化简得，，
两边平方，即，
则，
由于，则.
则.，联立解得，
则
（2），则，.
.
由于，，则，则.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，分别为棱的中点，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的大小．
解：（1）连接，如图，
由分别为棱的中点，
可得，
又，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，又，平面，
所以平面平面.
（2）因为平面平面，是两平面的交线，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，
以方向为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，
所以，
则，
设平面的法向量，
则，令，可得，
设平面的法向量为，
则，令，可得，
所以，即，
由图知，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的大小为.
19. 已知是指数函数，且过点是定义域为的奇函数
（1）求值；
（2）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围；
（3）若函数恰有2个零点，求实数的取值范围．
解：（1）设，函数过，代入，即，
解得，则.
定义域为R的奇函数，则，解得，
则，
由于，解得，则.
检验：，则满足题意.
则.
（2），即，
即存在，使得成立.
由于，越大，则由指数单调性知道越大，
则也变大，变小，变小.则在定义域内单调递减.
即存在，使得成立. 即存在，使得.
则对于，使得即可.
对于， ，则.
（3）恰有2个零点,即有两个不同根.
即有两个不同根. 由于是定义域为R的奇函数且单调递减，
则有两个不同根即可. 则有两个不同根即可.
令，q与x个数一一对应，转化为有两个不同正根即可.
满足，解得，即.
实数的取值范围为.