山东省淄博市桓台县实验中学2023-2024学年九年级上册期末数学试题(含解析)

这是一份山东省淄博市桓台县实验中学2023-2024学年九年级上册期末数学试题(含解析)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题有12小题，每小题4分，共48分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不得分）
1．在下列实数中，无理数是（ ）
A．B．1C．D．
2．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列关于这个几何体的说法正确的是（ ）
A．主视图的面积为5B．左视图的面积为3
C．俯视图的面积为3D．三种视图的面积都是4
3．已知一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.21×10﹣4B．2.1×10﹣4C．0.21×10﹣5D．2.1×10﹣5
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若一组数据x，3，1，6，3的中位数和平均数相等，则x的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．利用教材中的计算器依次按键如下：，则计算器显示的结果与下列各数中最接近的一个是（ ）
A．2.5B．2.6C．2.7D．2.8
7．在a2□4a□4的空格中，任意填上“＋”或“－”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是( )
A．B．C．D．
8．抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3）B．（﹣2，0）C．（﹣1，﹣3）D．（1，﹣3）
9．下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是菱形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
10．图①是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图②的正方体，则图①中正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（ ）
A．B．C．D．1
11．如图，在中，． 将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，则线段的长为（ ）

A．B．C．D．
12．将从1开始的自然数按以下规律排列成一个三角形数阵：
例如：第3行上的数字“6”可记作，第5行上的数字“19”可记作，则在这个数阵中的“2020”可记作 （ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13．若am=8，an=2，则am－2n的值是 ．
14．如果x2+mx+6＝（x﹣2）（x﹣n），那么m+n的值为 ．
15．如图，菱形ABCD，∠B=60°，AB=4，⊙O内切于菱形ABCD，则⊙O的半径为 ．
16．如图，已知矩形ABCD，AB＝8，AD＝4，E为CD边上一点，CE＝5，点P从B点出发，以每秒1个单位的速度沿着BA边向终点A运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒，则当t的值为 时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形．
17．如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共52分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
18．解方程：
19．如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．
(1)求证：△DAB≌△DCE
(2)求证：DA∥EC．
20．阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：
解：设，则y是x的二次函数．
，
∴抛物线开口向上．
又∵当时，，解得．
∴由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是 ；
(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．
21．某市为了解九年级学生的身体素质测试情况，随机抽取了该市九年级部分学生的身体素质测试成绩作为样本，按A（优秀），B（良好），C（合格），D（不合格）四个等级进行统计，并将统计结果绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次共调查了多少名学生？
（2）将条形统计图补充完整，并计算扇形统计图中“A”部分所对应的圆心角的度数．
（3）该市九年级共有8000名学生参加了身体素质测试，估计测试成绩在良好以上（含良好）的人数．
22．如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，点．
（1）求和的值；
（2）求的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量的取值范围．
23．已知抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于点A(1，0)和点B(5，0)，顶点为M．点C在x轴的负半轴上，且AC＝AB，点D的坐标为(0，3)，直线l经过点C、D．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线l在第三象限上的点，联结AP，且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tan∠CPA的值；
(3)在(2)的条件下，联结AM、BM，在直线PM上是否存在点E，使得∠AEM＝∠AMB？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．
(1)求⊙O的半径；
(2)点P为中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；
(3)在(2)的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握根据无理数是无限不循环小数．
【详解】解：A、是有理数，故A错误；
B、1是有理数，故B错误；
C、是有理数，故C错误；
D、是无理数，故D正确；
故选：D．
2．B
【分析】先得出这个几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图），再根据正方形的面积计算即可．
【详解】这个几何体的三视图如下：
A、从正面看，可以看到4个正方形，面积为4，此项错误
B、从左面看，可以看到3个正方形，面积为3，此项正确
C、从上面看，可以看到4个正方形，面积为4，此项错误
D、三种视图的面积不相同，此项错误
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图（主视图、左视图、俯视图），掌握三视图的相关概念是解题关键．
3．D
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：一粒大米的质量约为0.000021千克，这个数用科学记数法表示为2.1×10-5；
故选：D．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．D
【分析】按照积的乘方运算、完全平方公式、幂的乘方、平方差公式分别计算，再选择．
【详解】，故选项A不合题意；
，故选项B不合题意；
，故选项C不合题意；
，故选项D符合题意．
故选D．
【点睛】此题考查整式的运算，掌握各运算法则是关键，还要注意符号的处理．
5．A
【分析】根据平均数与中位数的定义分三种情况x≤1，1【详解】当x⩽1时,中位数与平均数相等,则得到： (x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去)；
当1解得x=2；
当3⩽x<6时,中位数与平均数相等,则得到： (x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去)；
当x⩾6时,中位数与平均数相等,则得到： (x+3+1+6+3)=3，
解得x=2(舍去).
所以x的值为2.
故选A.
【点睛】此题考查中位数，算术平均数，解题关键在于分三种情况x≤1，16．B
【分析】此题考查了估算无理数的大小，求出选项中各数的平方，与7比较即可．
【详解】解：∵，
∴最接近的一个是2.6．
故选B．
7．A
【分析】先利用树状图展示所有4种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占2种，然后根据概率的概念计算即可．
【详解】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果数，其中可以构成完全平方式占2种，
所以可以构成完全平方式的概率=．
故选A．
【点睛】题目主要考查列表法与树状图法求概率及完全平方式，熟练掌握列表法或树状图法是解题关键．
8．D
【详解】试题分析：原抛物线的顶点坐标为(-2,-3)，向右平移三个单位后顶点纵坐标不变，横坐标加3，所以平移后抛物线的顶点坐标是（1，-3）．故选D
9．D
【详解】试题解析：对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
故选D.
点睛：菱形的判定方法有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四条边都相等的四边形是菱形.
10．B
【分析】将图1折成正方体，然后判断出、在正方体中的位置关系，从而可得到之间的距离．
【详解】解：将图1折成正方体后点和点为同一个面的正方形的对角线两个端点，
故．
故选：B．
【点睛】本题主要考查的是勾股定理，解题的关键是掌握展开图折成几何体，判断出点和点在几何体中的位置关系．
11．D
【分析】由折叠的性质可知，，，，，，则，，由，可得，由，可求，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，，，， ，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
解得，
由勾股定理得，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
12．A
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给数的排列特点，找到每组数之间的规律是解题的关键．通过观察所给数阵可得奇数行的第一个数，偶数行的最后一个数是，由2025所在的位置推导出2020的位置即可．
【详解】解：奇数行的第一个数，偶数行的最后一个数是，
∵452=2025，
∴2025是第45行第一个数，
∴2020是第45行的第6个数，
∴数阵中的“2020”可记作．
故选：A．
13．2
【分析】逆用同底幂的除法法则和幂的乘方法则可以得到解答．
【详解】解：．
故答案为2．
【点睛】本题考查整数指数幂的运算，熟记同底幂的除法法则和幂的乘方法则并灵活运用是解题关键．
14．-2
【分析】把(x-2)(x-n)展开，之后利用恒等变形得到方程，即可求解m、n的值，之后可计算m+n的值．
【详解】解：∵（x﹣2）（x﹣n）＝x2﹣（2+n）x+2n，
∴m＝﹣（2+n），2n＝6，
∴n＝3，m＝﹣5，
∴m+n＝﹣5+3＝﹣2．
故答案为﹣2．
【点睛】本题考查了因式分解的十字相乘法，我们可以直接套用公式即可求解.
15．
【分析】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，根据切线性质，可知，平分，由已知条件∠B=60°解得，再由直角三角形所对的直角边等于斜边的一半，解得AO的长，进而解得BO的长，最后又由三角形面积公式解即可．
【详解】设AB和BC上的切点分别为E、F，连接OA、OE、OB、OF，则，
内切于菱形ABCD，
平分
同理得
故答案为：
【点睛】本题考查切线的性质、解直角三角形、菱形的性质、三角形的面积等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
16．2或
【分析】根据矩形的性质得出CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，求出AP＝8﹣t，DE＝3，由勾股定理求出AE＝5，PE2＝EF2＋PF2＝42＋（5﹣t）2，分为两种情况：①当AE＝PE时，②当AP＝PE时，求出即可．
【详解】根据题意得：BP＝t，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，
∴CD＝AB＝8，BC＝AD＝4，
∴AP＝8﹣t，DE＝DC﹣CE＝8﹣5＝3，
由勾股定理得：AE＝＝5，
过E作EF⊥AB于F，
则∠EFA＝∠EFB＝90°，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴四边形BCEF是矩形，
∴BF＝CE＝5，BC＝EF＝4，
∴PF＝5﹣t，
由勾股定理得：PE2＝EF2＋PF2＝42＋（5﹣t）2，
①当AE＝PE时，52＝42＋（5﹣t）2，
解得：t＝2，t＝8，
∵t＝8不符合题意，舍去；
②当AP＝PE时，（8﹣t）2＝42＋（5﹣t）2，
解得：t＝，
即当t的值为2或时，△PAE是以PE为腰的等腰三角形，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的判定，勾股定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
17．
【分析】连接AC，作点D关于y轴的对称点D'，作点A关于y轴的对称点A'，过点D'作D'E⊥CA'交于点E，则D'E为所求；由对称性可知A'（3，0），D'（﹣1，0），CO＝4，A'O＝3，CA'＝5，由∠A'A'C的正弦值可得，即可求出D'E＝；
【详解】解：连接AC
y＝ ﹣ x﹣4与x轴交点A（﹣3，0）、B（5，0），点C（0，﹣4），
∴sin∠ACO＝ ，
作点D关于y轴的对称点D'，作点A关于y轴的对称点A'，过点D'作D'E⊥CA'交于点E，则D'E为所求；
由对称性可知，∠ACO＝∠OCA'，
∴sin∠OCA'＝，
∴PC＝PE，
再由D'P＝DP，
∴PC+PD的最小值为D'E，
∵A'（3，0），D'（﹣1，0），
∴A'D'＝4，CO＝4，A'O＝3，
∴CA'＝5，
∴
∴D'E＝；
故答案为: ；
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
18．无解
【分析】解分式方程的一般步骤：先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要进行检验．
【详解】解：，
两边同乘得，
解这个方程得，
经检验是增根，所以原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，解方程是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分．
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）证明：∵△DAC和△DBE都是等边三角形，∴DA=DC，DB=DE，∠ADC=∠BDE=60°，∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB，即∠ADB=∠CDE，
在△DAB和△DCE中，
,
∴△DAB≌△DCE（SAS）；
（2）∵△DAB≌△DCE，∴∠A=∠DCE=60°，
∵∠ADC=60°，∴∠DCE=∠ADC，
∴DA∥EC．
20．(1)
(2)画图见解析，的解集是：或
【分析】此题主要考查了二次函数与一元二次方程．
（1）直接利用即得出对应的x的范围；
（2）画出的函数图象，进而得出答案．
【详解】（1）解：由函数图象得：一元二次不等式的解集是：；
故答案为：；
（2）解：设，则y是x的二次函数．
，
∴抛物线开口向上．
又∵当时，，解得．
∴由此得抛物线的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当或时，．
的解集是：或．
21．（1）500人
（2）72°，图见解析
（3）4800（人）
【详解】试题分析：（1）用B等级人数÷B等级人数所占百分比即可算出总人数；
（2）用总人数减去A、B、D三等级人数可得C等级人数，将360°乘以A等级人数占被调查人数百分比可得；
（3）用样本中良好（A、B两等级）等级人数占被调查人数百分比乘以总人数8000可得．
试题解析：（1）此次共调查学生=500（人），
答：此次共调查了500名学生；
（2）C等级人数为：500﹣100﹣200﹣60=140（人），
A等级对应扇形圆心角度数为：×360°=72°，
补全条形图如图：
（3）估计测试成绩在良好以上（含良好）的人数为：8000×=4800（人），
答：估计测试成绩在良好以上（含良好）的约有4800人．
考点：条形统计图和扇形统计图的综合运用
22．（1）-1；（2）7.5；（3）x＞1或﹣4＜x＜0
【分析】（1）把点坐标分别代入反比例函数，一次函数，求出、的值，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出的值，即可得出答案；
（2）求出直线与轴的交点的坐标，分别求出和的面积，然后相加即可；
（3）根据、的坐标结合图象即可得出答案．
【详解】解：（1）把点分别代入反比例函数，一次函数，
得，，
解得，，
点也在反比例函数的图象上，
；
（2）如图，设直线与轴的交点为，
当时，，
，
；
（3），，
根据图象可知：当或时，一次函数值大于反比例函数值．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积，一次函数的图象等知识点，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，解题的关键是利用数形结合思想求解．
23． （1）；（2） ；（3）E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.
【详解】试题分析：（1）把A、B两点带入抛物线解析式，求得a、b的值，即可得到抛物线解析式；
（2）由AC=AB且点C在点A的左侧，及线段CP是线段CA、CB的比例中项，可得CP=，
由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似，可得△CPA∽△CBP，由此∠CPA= ∠CBP.
过P作PH⊥x轴于H，易得PH=4，H（-7，0），BH=12. 由于P（-7，-4），可求；
（3）分两种情况：点E在M左侧和点E在M右侧讨论即可.
试题解析：（1）∵ 抛物线与x轴交于点A（1，0），B（5，0），
∴,
解得
∴ 抛物线的解析式为 .
（2）∵ A（1，0），B（5，0），
∴ OA=1，AB=4.
∵ AC=AB且点C在点A的左侧，
∴ AC=4 .
∴ CB=CA+AB=8.
∵ 线段CP是线段CA、CB的比例中项，
∴ .
∴ CP=.
又 ∵ ∠PCB是公共角，
∴ △CPA∽△CBP .
∴ ∠CPA= ∠CBP.
过P作PH⊥x轴于H.
∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，
∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°
∴ PH=CH=CP=4，
∴ H（-7，0），BH=12，
∴ P（-7，-4），
∴ ，
tan∠CPA=.
（3） ∵ 抛物线的顶点是M（3，-4），
又 ∵ P（-7，-4），
∴ PM∥x轴 .
当点E在M左侧， 则∠BAM=∠AME.
∵ ∠AEM=∠AMB，
∴ △AEM∽△BMA.
∴,
∴.
∴ ME=5，∴ E（-2，-4）.
过点A作AN⊥PM于点N，则N（1，-4）.
当点E在M右侧时，记为点，
∵ ∠AN=∠AEN，
∴ 点与E 关于直线AN对称，则（4，-4）.
综上所述，E的坐标为（-2，-4）或（4，-4）.
点睛：本题主要考查二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，证得△AEM∽△BMA是解题的关键.
24．(1)⊙O的半径为；(2)；(3)．
【分析】(1)若连接OB，则△BCO是一个含30°角的直角三角形，△AOB是底角为30°的等腰三角形，可得∠OBC=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OB；
(2) 连接OP，设AB与QP交于点M，根据题中条件证得∠QPO=∠A=30°，再根据特殊角的三角函数值求得OQ；
(3)可在Rt△PCQ中解决，分别计算出两条直角边，即可求出tan∠PCA的值．
【详解】(1)连接OB，如图
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠A=30°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∴∠OBC=30°，
在Rt△OBC中，，
即，
解得，
即⊙O的半径为；
(2)连接OP，设AB与QP交于点M，
∵点P为的中点，
∴OP⊥AB，
∴∠QPO+∠PMB=90°，
∵PQ⊥AC，
∴∠A+∠AMQ=90°，
又∵∠AMQ=∠PMB，
∴∠QPO=∠A=30°，
在Rt△OPQ中，，
即，
∴
(3)在Rt△OBC中，
∵，∠OBC=30°，∠ACB=90°
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.