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2023-2024学年福建省福州市文博中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）
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这是一份2023-2024学年福建省福州市文博中学九年级（上）月考数学试卷（12月份），共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每题4分共40分）
1．下面的图形是用数学家的名字命名的，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．费马螺线
C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线
2．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．足球运动员射门一次，未射进
C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7D．明天会下雪
3．如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，，，则的长为（ ）
A．3B．4C．6D．9
5．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足，，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．B．C．2D．4
7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若点，，在反比例函数（）图像上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．D．
10．平面直角坐标系中，已知点，，其中．则下列函数的图象可能同时经过P，Q两点的是（ ）
A．B．
C．（）D．（）
二、填空题（共6小题，每题4分共24分）
11．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则________．
12．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式________．
13．如图，AB是的直径，CD是的弦，，垂足为点E，，，则________．
14．如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是________．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，且与反比例函数的图象相交于，C两点，已知点，则k的值为________．
16．如图，在中，，点D是所在平面内一点，且，BD交AC所在的直线于点E，当时，________．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解一元二次方程：
18．（8分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为时，求m的值及该方程的另一根．
19．（8分）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是_________；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由．
20．（8分）如图，P是等边三角形内的一点，且，，．
（1）尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转60°后所得到的（不要求写作法，但需保留作图痕迹）．
（2）求点P与点之间的距离及的度数．
21．（8分）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数（）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．
（1）设点M的坐标为，求反比例函数的解析式；
（2）若，求点M的坐标．
22．（10分）如图1，斜坡与水平面夹角，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线AC的距离为4米．
图1 图1
（1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
（2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越过这棵树．（）
23．（10分）如图1，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
图1 图2
（1）求证：平分；
（2）如图2，D交于点E，连接，，，求长．
24．（12分）已知：如图，在直角三角形中，，，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若E为AC的中点，求的值．
25．（14分）已知抛物线过点，，直线BP与抛物线的另一个交点为P，交y轴正半轴于点E，且面积为．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）过点E的任意一条直线与抛物线交于M，N两点，过点N作轴于点C，
①求证：平分；
②求证：M，A，C三点共线．
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
一、选择题（共10小题，每题4分共40分）
1．下面的图形是用数学家的名字命名的，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．科克曲线B．费马螺线
C．笛卡尔心形线D．斐波那契螺旋线
2．下列事件中，为必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．足球运动员射门一次，未射进
C．掷一枚骰子，向上一面的点数是7D．明天会下雪
3．如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，，，，则的长为（ ）
A．3B．4C．6D．9
5．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且满足，，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线经过和两点，则n的值为（ ）
A．B．C．2D．4
7．冠状病毒属的病毒是具有囊膜、基因组为线性单股正链的RNA病毒，是自然界广泛存在的一大类病毒，冠状病毒可感染多种哺乳动物、鸟类．在某次冠状病毒感染中，有2只动物被感染，后来经过两轮感染后共有242只动物被感染．若每轮感染中平均一只动物会感染x只动物，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．若点，，在反比例函数（）图像上，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，可得的估计值为（ ）
A．B．C．D．
10．平面直角坐标系中，已知点，，其中．则下列函数的图象可能同时经过P，Q两点的是（ ）
A．B．
C．（）D．（）
二、填空题（共6小题，每题4分共24分）
11．在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则________．
12．将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式________．
13．如图，AB是的直径，CD是的弦，，垂足为点E，，，则________．
14．如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是________．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在坐标原点，且与反比例函数的图象相交于，C两点，已知点，则k的值为________．
16．如图，在中，，点D是所在平面内一点，且，BD交AC所在的直线于点E，当时，________．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解一元二次方程：
18．（8分）已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当该方程的一个根为时，求m的值及该方程的另一根．
19．（8分）盒中有若干枚黑棋和白棋，这些棋除颜色外无其他差别，现让学生进行摸棋试验：每次摸出一枚棋，记录颜色后放回摇匀．重复进行这样的试验得到以下数据：
（1）根据表中数据估计从盒中摸出一枚棋是黑棋的概率是_________；（精确到0.01）
（2）若盒中黑棋与白棋共有4枚，某同学一次摸出两枚棋，请计算这两枚棋颜色不同的概率，并说明理由．
20．（8分）如图，P是等边三角形内的一点，且，，．
（1）尺规作图：作出将绕点A逆时针旋转60°后所得到的（不要求写作法，但需保留作图痕迹）．
（2）求点P与点之间的距离及的度数．
21．（8分）如图，中，，边OB在x轴上，反比例函数（）的图象经过斜边OA的中点M，与AB相交于点N，．
（1）设点M的坐标为，求反比例函数的解析式；
（2）若，求点M的坐标．
22．（10分）如图1，斜坡与水平面夹角，为了对这个斜坡上的绿地进行喷灌，在斜坡底端安装了一个喷头A，喷头A喷出的水柱在空中走过的曲线可以看成抛物线的一部分．如图2，当水柱与A水平距离为4米时，达到最高点D，D与水平线AC的距离为4米．
图1 图1
（1）在图2中建立平面直角坐标系，求水柱所在的抛物线的解析式（不需要写出自变量取值的范围）；
（2）若斜坡上有一棵高2.5米的树，它与喷头A的水平距离为2米，通过计算判断从A喷出的水柱能否越过这棵树．（）
23．（10分）如图1，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
图1 图2
（1）求证：平分；
（2）如图2，D交于点E，连接，，，求长．
24．（12分）已知：如图，在直角三角形中，，，D为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连接DG并延长交AE于F，若．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若E为AC的中点，求的值．
25．（14分）已知抛物线过点，，直线BP与抛物线的另一个交点为P，交y轴正半轴于点E，且面积为．
（1）求此抛物线解析式；
（2）求点P的坐标；
（3）过点E的任意一条直线与抛物线交于M，N两点，过点N作轴于点C，
①求证：平分；
②求证：M，A，C三点共线．
摸棋的次数n
100
200
300
500
800
1000
摸到黑棋的次数m
24
51
76
124
201
250
摸到黑棋的频率（精确到0.001）
0.240
0.255
0.253
0.248
0.251
0.250
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