2025届浙江省宁波市四校九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】

这是一份2025届浙江省宁波市四校九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，中，，，将绕点逆时针旋转得到，若点的对应点落在边上，则旋转角为（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）对角线相等且互相平分的四边形是（ ）
A．一般四边形B．平行四边形C．矩形D．菱形
3、（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在边DC上，且，点N是边AC上一动点，则线段的最小值为
A．8
B．
C．
D．10
4、（4分）已知，则下列不等式一定成立的是( )
A．B．
C．D．
5、（4分）若一组数据的方差是3，则的方差是（ ）
A．3B．6C．9D．12
6、（4分）下列计算正确的是（ ）
A．＝﹣3B．C．5×5＝5D．
7、（4分）在△ABC中，若底边长是a，底边上的高为h，则△ABC的面积，当高h为定值时，下列说法正确的是( )
A．S，a是变量；，h是常量
B．S，a，h是变量；是常量
C．a，h是变量；S是常量
D．S是变量；，a，h是常量
8、（4分）某校规定学生的平时作业，期中考试，期末考试三项成绩分别是按30%、30%、40%计人学期总评成绩，小明的平时作业，期中考试，期末考试的英语成绩分别是93分、90分、96分，则小明这学期的总评成绩是（ ）
A．92B．90C．93D．93.3
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）分式方程有增根，则的值为__________。
10、（4分）如图，∠A=90°，∠AOB=30°，AB=2，△可以看作由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的，则点与点B的距离为_______.
11、（4分）已知圆锥的侧面积为6兀,侧面展开图的圆心角为60º，则该圆锥的母线长是________。
12、（4分）若关于x的方程产生增根，那么 m的值是______．
13、（4分）已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，且y随x的增大而减小，请写出符合上述条件的一个解析式：_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某校八年级同学参加社会实践活动，到“庐江农民创业园”了解大棚蔬菜生长情况．他们分两组对西红柿的长势进行观察测量，分别收集到10株西红柿的高度，记录如下(单位：厘米)
第一组：32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
第二组：51 56 44 46 40 53 37 47 50 46
根据以上数据，回答下列问题：
(1)第一组这10株西红柿高度的平均数是 ，中位数是 ，众数是 ．
(2)小明同学计算出第一组方差为S12＝122.2，请你计算第二组方差，并说明哪一组西红柿长势比较整齐．
15、（8分）为积极响应“弘扬传统文化”的号召，某学校组织全校1200名学生进行经典诗词诵读活动，并在活动之后举办经典诗词大赛，为了解本次系列活动的持续效果，学校团委在活动启动之初，随机抽取40名学生调查“一周诗词诵背数量”，根据调查结果绘制成的统计图如图所示.
大赛结束后一个月，再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”，绘制成统计表如下：
请根据调查的信息分析：
（1）求活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数；
（2）估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数；
（3）选择适当的统计量，至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据，评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
16、（8分）化简：
（1）2ab﹣a2+（a﹣b）2
（2）
17、（10分）（1）计算并观察下列各式：
第个： ；
第个： ；
第个：；
······
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律．
（2）猜想：若为大于的正整数，则；
（3）利用（2）的猜想计算；
（4）拓广与应用．
18、（10分）在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）函数中，自变量x的取值范围是___________．
20、（4分）如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E、F分别是BD、CD的中点，则EF＝_____．
21、（4分）分解因式：______________。
22、（4分）计算· (a≥0)的结果是_________.
23、（4分）如图，函数y＝3x和y＝kx+6的图象相交于点A(a，3)，则不等式3x≤kx+6的解集为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在OA，OC上.
(1)给出以下条件；①OB＝OD，②∠1＝∠2，③OE＝OF，请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO；
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下，添加AE＝CF，求证：四边形ABCD是平行四边形．
25、（10分）我市某校为了创建书香校园，去年购进一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等．
（1）文学书和科普书的单价各多少钱？
（2）今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变，该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书，问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书？
26、（12分）如图，AC是正方形ABCD的对角线，点O是AC的中点，点Q是AB上一点，连接CQ，DP⊥CQ于点E，交BC于点P，连接OP，OQ；
求证：(1)△BCQ≌△CDP；(2)OP=OQ.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
先根据等腰三角形的性质求得∠ABC=∠C=70°，继而根据旋转的性质即可求得答案.
【详解】
∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=×140°=70°，
∵△EBD是由△ABC旋转得到，
∴旋转角为∠ABC=70°，
故选C．
本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
2、C
【解析】
由对角线互相平分，可得此四边形是平行四边形；又由对角线相等，可得是矩形；
【详解】
∵四边形的对角线互相平分，
∴此四边形是平行四边形；
又∵对角线相等，
∴此四边形是矩形；
故选B.
考查矩形的判定，常见的判定方法有：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
3、D
【解析】
要使DN＋MN最小，首先应分析点N的位置．根据正方形的性质：正方形的对角线互相垂直平分．知点D的对称点是点B，连接MB交AC于点N，此时DN＋MN最小值即是BM的长．
【详解】
解：根据题意，连接BD、BM，则BM就是所求DN＋MN的最小值，

在Rt△BCM中，BC＝8，CM＝6
根据勾股定理得：BM＝ ，
即DN＋MN的最小值是10；
故选：D．
本题考查了轴对称问题以及正方形的性质，难点在于确定满足条件的点N的位置：利用轴对称的方法．然后熟练运用勾股定理．
4、C
【解析】
根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解：A、因为， 不知道是正负数或者是0，不能得到，则A选项的不等式不成立；
B、因为，则，所以B选项的不等式不成立；
C、因为，则，所以C选项的不等式成立；
D、因为，则，所以D选项的不等式不成立．
故选C．
本题考查了不等式的性质，解题的关键是知道不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．
5、D
【解析】
先根据的方差是3，求出数据的方差，进而得出答案．
【详解】
解：∵数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是3，
∴数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是4×3＝12；
∴数据的方差是12；
故选：D．
本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数时，平均数也加这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数时，平均数也乘以这个数，方差变为这个数的平方倍．
6、D
【解析】
根据二次根式的性质对A进行判断；根据二次根式的加减运算对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
A、原式＝3，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝25，所以C选项错误；
D、原式＝＝2，所以D选项正确．
故选D．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
7、A
【解析】
因为高h为定值，所以h是不变的量，即h是常量，所以S，a是变量，，h是常量．
故选A.
8、D
【解析】
小明这学期总评成绩是平时作业、期中练习、期末考试的成绩与其对应百分比的乘积之和．
【详解】
解：小明这学期的总评成绩是93×30%+90×30%+96×40%=93.3（分）
故选：D．
本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、3
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x-1）（x+1）把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解．
【详解】
解：∵分式方程有增根，
∴x-1=0，x+1=0，
∴x1=1，x1=-1．
两边同时乘以（x-1）（x+1），原方程可化为x（x+1）-（x-1）（x+1）=m，
整理得，m=x+1，
当x=1时，m=1+1=3，
当x=-1时，m=-1+1=0，
当m=0时，方程为=0，
此时1=0，
即方程无解，
∴m=3时，分式方程有增根，
故答案为：m=3.
本题考查对分式方程的增根，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解题关键．
10、1
【解析】
【分析】根据图形旋转的性质可得出△AOB≌△A′OB′，再由全等三角形的性质可得出∠A′OB′=30°，AB=1，再根据全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△A′OB，由全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】连接A′B，
∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的，
∴△AOB≌△A′OB′，
∴OA=OA′，∠A′OA=60°，
∵∠AOB=30°，
∴∠A′OB=30°，
在△AOB与△A′OB中，
，
∴△AOB≌△A′OB，
∴A′B=AB=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
11、6
【解析】
根据扇形的面积计算公式:，把相应数值代入即可．
【详解】
解：设母线长为r，圆锥的侧面展开后是扇形，侧面积=6π，
∴r=6cm，
故答案是6cm．
本题考查了圆锥的计算，利用了扇形的面积公式求解，解题的关键是牢记圆锥的有关公式，难度不大．
12、1
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程有增根得到x-2=0，将x=2代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】
分式方程去分母得：x−1=m+2x−4，
由题意得：x−2=0，即x=2，
代入整式方程得：2−1=m+4−4，
解得：m=1.
故答案为：1.
此题考查分式方程的增根，解题关键在于掌握分式方程中增根的意义.
13、
【解析】
试题解析：∵一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴，
∴b＞0，
∵y随x的增大而减小，
∴k＜0，
例如y=-x+1（答案不唯一，k＜0且b＞0即可）．
考点：一次函数图象与系数的关系．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)47，49.5，60；(2)第二组西红柿长势比较整齐.
【解析】
（1）根据平均数的计算公式进行计算求出第一组这10株西红柿高度的平均数，再根据中位数和众数的定义即可得出答案；
（2）先求出第二组方差，再根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【详解】
解：(1)平均数：(32＋39＋45＋55＋60＋54＋60＋28＋56＋41)＝47，
中位数：49.5
众数：60
故答案为：47，49.5，60；
(2)第二组数据的平均数为：47，
S22＝(16＋81＋9＋1＋49＋36＋100＋0＋9＋1)＝30.2
因为S12＞S22，
所以，第二组西红柿长势比较整齐.
本题考查方差的定义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．也考查了平均数，中位数与众数．熟练掌握方差公式是解决本题的关键.
15、 (1)6;(2) 930人;(3) 经典诗词诵背系列活动效果好,理由见解析
【解析】
（1）根据中位数的定义进行解答，即中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；
（2）用总人数乘以大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首（含6首）以上的人数所占的百分比即可；
（3）根据活动初的平均数、中位数与活动后的平均数、中位数进行比较，即可得出答案．
【详解】
（1）∵把这些数从小到大排列，最中间的数是第20和21个数的平均数，则中位数是（首）；
（2）根据题意得：
（人），
估计大赛后一个月该校学生一周诗词背6首（含6首）以上的人数为930人．
（3）①活动初40名学生平均背诵首数为（首），
活动1个月后40名学生平均背诵首数为（首）；
②活动初学生一周诗词诵背数量中位数为6，活动一个月后学生一周诗词诵背数量中位数为7；
根据以上数据分析，该校经典诗词诵背系列活动效果好．
考查条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
16、（1）b2；（2）．
【解析】
（1）利用完全平方公式展开，然后再合并同类项即可；
（2）利用分式的基本性质通分，约分，然后再根据同分母的分式的加法法则计算即可．
【详解】
（1）原式＝ ；
（2）原式＝
．
本题主要考查整式的加减及分式的加减运算，掌握去括号，合并同类项的法则和分式的基本性质是解题的关键．
17、 (1)、、；(2)； (3)； (4)
【解析】
(1)根据多项式乘多项式的乘法计算可得；
(2)利用(1)中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差；
(3)将原式变形为，再利用所得规律计算可得；
(4)将原式变形为，再利用所得规律计算可得．
【详解】
(1)第1个：；
第2个：；
第3个：；
故答案为：、、；
(2)若n为大于1的正整数，
则，
故答案为：；
(3)
，
故答案为：；
(4)
，
故答案为：．
本题考查了多项式乘以多项式以及平方差公式，观察等式发现规律是解题关键．
18、
【解析】
首先过点A作AD⊥BC，根据Rt△ADC和Rt△ABD的勾股定理分别求出CD和BD的长度，从而得出BC的长度
【详解】
过点A作AD⊥BC，则△ADC和△ABD为直角三角形
∵∠C=30° AC=4cm ∴AD=2cm CD=cm
根据Rt△ABD的勾股定理可得：BD=cm
∴BC=BD+CD=（）cm
本题考查直角三角形的勾股定理，解题关键在于能够构造出直角三角形.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、且．
【解析】
根据二次根式的性质以及分式的意义，分别得出关于的关系式，然后进一步加以计算求解即可.
【详解】
根据二次根式的性质以及分式的意义可得：，且，
∴且，
故答案为：且．
本题主要考查了二次根式的性质与分式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
20、1
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得BC=AD=8，又由点E、F分别是BD、CD的中点，利用三角形中位线的性质，即可求得答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=8，
∵点E、F分别是BD、CD的中点，
∴EF=BC=×8=1．
故答案为1.
此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质．熟练掌握相关性质是解题关键.
21、4x（x+1）（x-1）
【解析】
4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).
故答案为4x(x+1)(x-1).
22、4a
【解析】
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.
【详解】
=
=
=4a，
故答案为4a.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.
23、x≤1
【解析】
先利用正比例函数解析式确定点坐标，然后利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】
解：把代入得，解得，则，
根据图象得，当时，．
故答案为：
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
试题分析：（1）选取①②，利用ASA判定△BEO≌△DFO；也可选取②③，利用AAS判定△BEO≌△DFO；还可选取①③，利用SAS判定△BEO≌△DFO；
（2）根据△BEO≌△DFO可得EO＝FO，BO＝DO，再根据等式的性质可得AO＝CO，根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论．
试题解析：
证明：（1）选取①②，
∵在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO（ASA）；
（2）由（1）得：△BEO≌△DFO，
∴EO＝FO，BO＝DO，
∵AE＝CF，
∴AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
点睛：此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形．
25、（1）文学书和科普书的单价分别是8元和1元．（2）至多还能购进466本科普书．
【解析】
（1）设文学书的单价为每本x元，则科普书的单价为每本（x+4）元，依题意得：
，
解得：x=8，
经检验x=8是方程的解，并且符合题意．
∴x+4=1．
∴购进的文学书和科普书的单价分别是8元和1元．
②设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书．依题意得
550×8+1y≤10000，
解得，
∵y为整数，
∴y的最大值为466
∴至多还能购进466本科普书．
26、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
(1)根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件；
(2)根据(1)得到BQ=PC，然后连接OB，根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件，然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题．
【详解】
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD，
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP⊥CQ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
在△BCQ和△CDP中，

∴△BCQ≌△CDP；
(2)连接OB，
由(1)△BCQ≌△CDP可知：BQ=PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵点O是AC中点，
∴BO=AC=CO，∠4=∠ABC=45°=∠PCO，
在△BOQ和△COP中，

∴△BOQ≌△COP，
∴OQ=OP.
解答本题要充分利用正方形的特殊性质．注意在正方形中的特殊三角形的应用，利用它们构造证明全等三角形的条件，然后通过全等三角形的性质解决问题．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
1
3
5
6
10
15