山东省六校2024-2025学年高一上学期第一次联合教学质量测评数学试卷（原卷及解析版）

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注意事项：
1．答题前，先将自已的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合的交集、并集运算求解.
【详解】因为，
所以，
故选：C
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行判断.
【详解】因为“”的否定是“”.
故选：C
3. 已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由，得到，构造不等式求解即可.
【详解】因为，所以，又，
所以解得：
故选：D
4. 已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则所有符合条件的的值之和是（ ）
A. 15B. 19C. 21D. 26
【答案】A
【解析】
【分析】令，结合二次函数的图象以及题意得到和，再根据，即可求解.
【详解】设，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线，
根据题意可得：，解得：，
解集中有且仅有5个整数，则这5个整数必为，
结合二次函数的对称性可得：，即，
解得：，
又，，
即符合题意的的值之和.
故选：A.
5. 已知，则最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】化简，根据基本不等式求出的最小值.
【详解】，
因为，所以，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
则，即的最小值是5.
故选：C.
6. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出，图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成集合，写出结果即可.
【详解】，由图知道阴影部分表示中把中去掉后剩下元素组成的集合.
即图中阴影部分表示的集合为.
故选：A.
7. 已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是（ ）
A. 或B.
C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据方程的两根都大于2，分析函数的图象特征列出不等式组求解即可.
【详解】根据题意，二次函数的图象与轴的两个交点都在2的右侧，
根据图象可得，即，
解得.
故选：B.
8. 定义运算：.若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由定义运算将所求不等式化简，再结合一元二次含参不等式恒成立问题求解即可；
【详解】由题意可变形为
，
即，
化简可得恒成立，
所以恒成立，
化简可得，
解得，
所以实数的取值范围为，
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设正实数满足，则（ ）
A. 的最小值为B. 的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可.
【详解】对于A，因为正实数，满足，
所以，
当且仅当且，即，时等号成立，故A正确；
对于B，，
则，当且仅当时等号成立，故B正确；
对于C，，，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故C错误；
对于D，由，可得，
当且仅当时等号成立，故D正确.
故选：ABD.
10. 若非空集合满足：，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】运用集合与集合之间的关系，结合交并运算逐个判断即可.
【详解】由得，由得，所以
，B正确；
，A正确；
，C错误；
，D正确．
故选:ABD．
11. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数．三三数之，剩二．五五数之，剩三；七七数之，剩二．问：物几何？”现有如下表示：已知，，若，则下列选项中符合题意的整数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】直接将各选项的数字变形判断即可.
【详解】对A，，满足的描述，所以，符合；
对B，，不满足的描述，则，不符合；
对C，，满足的描述，，符合；
对D，，不满足的描述，则，不符合.
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设集合，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】联立方程求出二次函数图象的交点，即可得出集合A,B的交集.
【详解】由，解得或，
所以，
故答案为：
13. 已知，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的性质可求的取值范围.
【详解】设，
则，故，
因为，则，
故即，
故答案为：.
14. 已知正实数，满足，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正实数，满足，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）求；
（2）定义，求.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出或，再根据交集定义计算即可；
（2）根据集合新定义得出集合即可.
【小问1详解】
因为，
则或
又，所以或
小问2详解】
由于，
所以
16. 已知集合，，.
（1）当时，求，.
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】（1）确定集合，，再求，.
（2）由确定集合，的包含关系，再求参数的取值范围.
【小问1详解】
当时，. ，
所以，；
【小问2详解】
，
①当A=∅时，只需，即，此时.
②当A≠∅时，要满足，只需要，即.
综上，的取值范围是或.
17. 解答下列各题.
（1）若，求的最小值.
（2）若正数满足，
①求的最小值.
②求的最小值.
【答案】（1）7； （2）①36；②.
【解析】
【分析】（1）将变形为，后由基本不等式可得答案；
（2）①由基本不等式结合可得答案；②由可得，后由基本不等式可得答案.
【小问1详解】
由题.
当且仅当，即时取等号；
【小问2详解】
①由结合基本不等式可得：
，又为正数，
则，当且仅当，即时取等号；
②由可得，
则.
当且仅当，又，
即时取等号.
18. 已知二次函数.
（1）若二次函数的图象与轴相交于两点，与轴交于点，且的面积为3，求实数的值；
（2）若关于不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）或
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）令得两点的坐标分别为，令得点的坐标为，
代入三角形面积公式列式计算即可.
（2）由题意化为恒成立，利用判别式法列不等式组求解即可.
（3）根据和、、分类讨论解不等式即可.
【小问1详解】
令，则有，得两点的坐标分别为，
令，得点的坐标为，
故的面积为，解得或.
【小问2详解】
不等式可化为，
若不等式恒成立，则必有解得，
故若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.
【小问3详解】
不等式可化为，
①当时，不等式的解集为或，
②当时，不等式的解集为，
③当时，不等式的解集为，
④当时，不等式的解集为．
19. 已知二次函数
（1）若的解集为，解关于的不等式；
（2）若且，求的最小值；
（3）若，且对任意，不等式恒成立，求的最小值．
【答案】（1）不等式的解集为.
（2）的最小值为；
（3）的最小值为.
【解析】
【分析】（1）由条件可得是方程的解，由此可求，结合一元二次不等式解法求的解集；
（2）由已知可得，结合基本不等式求结论；
（3）由条件可得，由此可得，换元并结合基本不等式可求其最小值.
【小问1详解】
由已知的解集为，且，
所以是方程的解，
所以，，
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
故不等式的解集为.
【小问2详解】
因为，
所以
因为，所以，
由基本不等式可得，
当且仅当时等号成立，
即当且仅当， 时等号成立；
所以的最小值为；
【小问3详解】
因为对任意，不等式恒成立，
所以，，
所以，，
，
令，则，，
所以，
当且仅当，时等号成立，
即当且仅当，时等号成立，
所以的最小值为.