山西省名校2024-2025学年高二上学期10月联合考试数学试卷

这是一份山西省名校2024-2025学年高二上学期10月联合考试数学试卷，共11页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知，直线，已知集合，，，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册第一章至第二章2.4.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知向量，.若，则（ ）
A.4B.C.8D.
2，将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则（ ）
A.B.C.D.
3，若直线：与直线：垂直，且直线：与直线：垂直，则（ ）
A.1B.C.2D.
4.若点在圆：的外部，则的取值范围为（ ）
A.B.
C.D.
5.在山西的某个旅游景点内有刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃.某游客从中随机选择3种品尝，则该游客选择了油炸糕和莜面品尝的概率为（ ）
A.B.C.D.
6.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵中，，，，，分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足的有（ ）
A.0个B.1个C.2个D.3个
7.在四面体中，为的外心，底面，，，，则四面体外接球的表面积为（ ）
A.B.C.D.
8.已知，直线：，过点作的垂线，垂足为，则点到轴的距离的最小值为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.
9.已知集合，，，则（ ）
A.B.C.D.
10.已知一组数据为1，，，3，4，，1，1，3，2，其中，则（ ）
A.这组数据的中位数不可能为3
B.当这组数据的众数为1时，
C.当时，这组数据的方差为1.25
D.当这组数据的平均数为2.2时，的最小值为
11.已知四棱柱的底面是边长为6的菱形，平面，，，点满足，其中，则（ ）
A.当为底面的中心时，
B.当时，长度的最小值为
C.当时，长度的最大值为6
D.当时，为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.若复数满足，则的虚部为______，______.
13.已知在正四棱台中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______.
14.已知函数.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，求；
（2）若，，求的面积.
16.（15分）
如图，在正六棱柱中，为的中点.设，，.
（1）用，，表示向量，；
（2）若，求的值.
17.（15分）
已知圆经过点，，.
（1）求圆的标准方程；
（2）若一条光线从点射向直线，经该直线反射后经过圆上的点，求该光线从点到点的路线长的最小值.
18.（17分）
如图，已知，，，四点均在直径为6的球的球面上，，，，，，直线与平面所成的角为，点在线段上运动.
（1）证明：平面.
（2）设平面与平面的夹角为，求的最大值.
19.（17分）
过点作斜率分别为，的直线，，若（），则称直线，是定积直线或定积直线.
（1）已知直线：（），直线：，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由.
（2）在中，为坐标原点，点与点均在第一象限，且点在二次函数的图象上.若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标.
（3）已知直线与是定积直线，设点到直线，的距离分别为，，求的取值范围.
2024—2025学年山西名校十月联合考试
高二数学参考答案
1. D 根据题意可得，解得.
2. A 易得.
3. B 由得.
4. D 根据题意可得解得或.
5. B 将刀削面、油炸糕、糖火烧、炕馍、莜面这5种传统小吃分别设为，，，，，
根据题意可得该游客从中随机选择3种品尝的所有情况有，，，，，，，，，，共10种，
其中该游客选择了油炸糕和莜面品尝的情况有3种，故所求概率为.
6. C 设，以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（图略），
则.在图①中，，，，则，，
所以，满足；在图②中，，，，
则，，所以，满足；
在图③中，，，，则，，
所以，不满足.
7. C 设四面体的外接球为球，其半径为，外接圆的半径为.
由正弦定理得，则.
由，，得，解得，
所以球的表面积为.
8. B 由，得.
令解得即过定点，所以点在以为直径的圆上，
其中圆心，半径为.因为圆心到轴的距离为4，
所以点到轴的距离的最小值为.
9. AC 由题意得，
，所以，A，C正确，B，D错误.
10. BCD 当时，这组数据的中位数为3，A错误.
当这组数据的众数为1时，若，则这组数据的众数为3，这与这组数据的众数为1矛盾，
所以，B正确.当时，，，，，C正确.
当这组数据的平均数为2.2时，，则，
当且仅当，即时，等号成立，D正确.
11. BCD 连接，.设与交于点，
则.
当为底面的中心时，.
因为，所以，，所以，A错误.
当时，点在平面内，则长度的最大值为6，
长度的最小值即到平面的距离.设到平面的距离为，
则，
解得，B，C均正确.因为，
所以在底面上，且，则，
得，D正确.
12.； 依题意得，
则的虚部为，.
13. 依题意得，
设异面直线与所成的角为，因为，
所以
.
14. 因为的定义域为，
，
所以为奇函数.因为函数在上单调递增，
函数在上单调递增，
所以在上单调递增.
因为为奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以不等式即为，则.
因为，所以，即.
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即的取值范围是.
15.解：（1）因为，所以.
因为，
所以，
则或（舍去），所以.
因为，所以.
（2）由（1）得.
因为，所以，解得，
所以，，，
所以.
故的面积为.
16.解：（1）.
（2）由题意易得，，
则
.
17.解：（1）设圆的标准方程为（）.
代入，，的坐标，得
解得所以圆的标准方程为.
（2）设点关于直线对称的点的坐标为，
则
解得即.
由（1）可得圆的圆心为，半径，
则该光线从点到点的路线长的最小值为.
18.（1）证明：由题意可知为球的直径，所以，.
又因为，所以，
，所以平面，
平面，所以，
，所以平面.
（2）解：如图，以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系.
根据题意可得，，，
则，，
所以，，，，
，，
则，，，
设平面的法向量为，
则取.
设（），
则.
设平面的法向量为，
则取.
.
令，，，
则，
当，即，时，取得最大值，最大值为.
19.解：（1）由题意可得，
由得
故存在点，使得，是定积直线，且.
（2）设直线的斜率为（），则直线的斜率为，直线的斜率为.
依题意得，得，即或.
直线的方程为，因为点在直线上，所以.
因为点在第一象限，所以，解得或（舍去），，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
由得即点的坐标为.
（3）设直线：，直线：，其中，
则
，
，当且仅当，即时，等号成立，
所以，即，故的取值范围为.