广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

这是一份广东省广州市番禺中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知，则（ ）
A.B.C.D.
2.函数的定义域是（ ）
A.B.C.D.
3.函数是（ ）
A.最小正周期为的奇函数B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数D.最小正周期为的偶函数
4.若函数是定义在上的奇函数，，，则（ ）
A.2B.0C.60D.62
5.已知空间向量，，则在上的投影向量坐标是（ ）
A.B.C.D.
6.在正四面体中，过点作平面的垂线，垂足为点，点满足，则（ ）
A.B.
C.D.
7.在空间直角坐标系中，若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
AB.C.或D.与斜交
8.已知向量，，且平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，则实数的值为（ ）
A.或B.或1C.或2D.
二、多选题（每小题6分）
9.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，，若，则二面角的大小可能为（ ）
A.B.C.D.
10.随机抽取8位同学对2024年数学新高考|卷的平均分进行预估，得到一组样本数据如下：97，98，99，100，101，103，104，106，则下列关于该样本的说法正确的有（ ）
A.均值为101B.极差为9
C.方差为8D.第60百分位数为101
11.已知空间中三点，，，则（ ）
A.与是共线向量
B.与向量方向相同的单位向量坐标是
C.与夹角的余弦值是
D.在上的投影向量的模为
三、填空题（每小题5分）
12.已知是定义在上的奇函数，当时，，当时，，则_______.
13.已知向量，，，若，，共面，则_______.
14已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______.
四、解答题（五个大题共77分）
15.（本题13分）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求.
（2）若，，求的周长.
16（本题15分）某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“书法”、“诗词”、“理学”三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立.2015年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“书法”、“诗词”、“理学”三个社团的概率依次为、、，已知三个社团他都能进入的概率为，至少进入一个社团的概率为，且.
（1）求与的值；
（2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“理学”社的同学增加校本选修学分3分.求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数不低于4分的概率.
17.（本题15分）如图，在以，，，，，为顶点的六面体中（其中平面），四边形是正方形，平面，，且平面平面.
（1）设为棱的中点，证明：，，，四点共面；
（2）若，求六面体的体积.
18.（本题17分）一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间，，，分成5组，得到图所示的频率分布直方图.
（1）求图中的值；并估计该水果店过去200天苹果日销售量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）若一次进货太多，水果不新鲜，进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求）.请问，每天应该进多少水果？
（3）在日销售量为苹果中用分层抽样方式随机抽6个苹果，再从这6苹果中随机抽取2个苹果，求抽取2个苹果都来自日销售量在的概率.
19（本题17分）（2022年新高考天津数学高考真题）直三棱柱中，，，为的中点，为的中点，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
高二数学9月月考试题参考答案
一、单选题（每小题5分共40分）
1.A2.A3.A
4.A【详解】由题意，所以的周期为4，且关于直线对称，
而，
所以.
5.B【详解】因为空间向量，，
所以，，，
则在上的投影向量坐标是：.
6.B【详解】在正四面体中，
因为平面，所以是的中心，连接，
则，
所以
.
7.C【解析】由可得，所以或，即可得正确选项.
【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，
因为，所以，所以或.
8.B【详解】因为，所以，，，
因为平面，平面，若平面与平面的夹角的余弦值为，
所以，化简得，解得或1.
二、多选题（每小题6分共18分）
9.BC【详解】二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
二面角的大小可能为或.
10.ABD【详解】A选项，均值为，A正确；
B选项，极差为，B正确；
C选项，方差为，C错；
D选项，因为，故从小到大，选择第5个数作为第60百分位数，即101.
11.BD【详解】由已知，，，
，因此与不共线，A错；
，所以与向量方向相同的单位向量坐标是，B正确；，，，C错；
在上的投影是，所以投影向量的模为，D正确.
三、填空题（每小题5分共15分）
12.【详解】令，则，所以.
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以，，所以.
13.【详解】由题意得，存在，使得，即，
故解得，.
14.【详解】由，得，解得，
又，得，解得，所以与夹角为钝角，实数的取值范围为且.
四、解答题（五个大题共77分）
15.（本题13分）【解析】（1）由可得，即，由于，故，解得.
（2）由题设条件和正弦定理
，
又，，则，进而，得到，于是，，
由正弦定理可得，，即，
解得，，故的周长为.
16.（本题15分）【详解】（1）依题，解得.
（2）由题令该新同学在社团方面获得本选修课学分的分数为，
获得本选修课学分分数不低于4分为事件A，
则；；.
故.
17.（本题15分）【详解】（1）连接，由四边形是正方形，故，
又平面，平面，故，
由，，平面，故平面，
又为棱的中点，，故，
又平面平面，平面平面，平面，
故平面，故，所以，，，四点共面；
（2）设与交于点，连接，则，
又平面，平面，则平面，
又因为六面体，则平面平面，
又平面，故，则四边形为矩形，
则，且平面，又，故，
则.
18（本题17分）【详解】（1）由直方图可得，样本落在，，，的频率分别为，，0.2，0.4，0.3，
由，解得.
则样本落在，，，频率分别为0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，
所以，该苹果日销售量的平均值为：
.
（2）为了能地满足顾客的需要，即估计该店苹果日销售量的分位数.依题意，日销售量不超过90kg的频率为，则该店苹果日销售量的分位数在，所以日销售量的分位数为.所以，每天应该进95kg苹果.
（3）由日销售量为，的频率分别为0.2，0.4知，
抽取的苹果来自日销售量中的有2个，不妨记为，，
来自日销售量为的苹果有4个，不妨记为，，，，
任意抽取2个苹果，有，，，，，，，，，，，，，，，共有15个基本事件，其中2个苹果都来自日销售
中的有6个基本事件，由古典概型可得.
19.（本题17分）【解析】（1）证明：在直三棱柱中，平面，且，则以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、、、、，则，
易知平面的一个法向量为，则，故，
平面，故平面.
（2），，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，.
因此，直线与平面夹角的正弦值为.
（3），，
设平面的法向量为，则，
取，可得，则，
因此，平面与平面夹角的余弦值为.