山东省泰安市宁阳县第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第一部分（选择题 共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知点关于z轴的对称点为B，则等于（ ）
A. B. C. 2D.
2. 以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ）
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
3. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（ ）
A. ，3B. ，2C. 1，3D. ，2
5. 直线一个方向向量为（ ）
A. B. −3,2C. 2,3D.
6. 在所有棱长均为2平行六面体中，，则的长为（ ）
A. B. C. D. 6
7. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在正方体表面上运动，且满足，点轨迹的长度是（ ）．
A. B.
C. D. 4a
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知直线，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线l恒过定点
B. 当m＝1时，直线l的倾斜角为
C. 当m＝0时，直线l的斜率不存在
D 当m＝2时，直线l与直线AB垂直
10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的最小值为D. 的最大值为4
11. 已知四面体满足，，则（ ）
A. 直线与所成的角为
B. 直线与所成角为
C. 点为直线上动点，到距离的最小值为
D. 二面角平面角的余弦值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 直线的倾斜角的取值范围是_________．
13. 在正方体中，点E是上底面的中心，若，则实数________．
14. 在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF 上移动，且CM和BN 的长度保持相等，记，当MN的长最小时，平面MNA与平面MNB夹角的正弦值为_______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚.
15. 已知平面内两点，．
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
16. 如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点.

（1）证明：平面.
（2）求与平面所成角的正弦值.
17. 已知直线．
（1）求证：直线经过一个定点；
（2）若直线交轴的正半轴于点，交轴的正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
18. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为2的等边三角形，，是线段的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
（1）求证：；
（2）若，求三棱台的体积；
（3）若到平面的距离为，求的值．