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四川省成都市成华区某校2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题
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这是一份四川省成都市成华区某校2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题，共9页。试卷主要包含了一组数据等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间四边形PABC中，（ ）
A．B．C．D．
2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．四棱锥中，面ABCD，底面ABCD是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是（ ）
A．与互斥B．，
C．D．，为对立事件
6．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.6
7．一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）．
A．58或64B．58C．59或64D．59
8．如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若向量是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的一组基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
10．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的平均数为13B．数据的方差为12
C．D．
11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件．已知甲、乙、丙3类产品数量之比为1：2：3．现要用分层抽样的方法从中抽取120件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为______．
13．在三棱锥中，，，点M在OA上，，N为BC中点，则______．
14．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，则丙最终获胜的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
①一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
②已知，与、的夹角都是60°，并且，，．计算：与夹角的余弦值
16．（本小题满分15分）
某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．
①根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
②成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
③已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差．
17．（本小题满分15分）
溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛．在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
①分别求乙队总得分为3分与1分的概率；
②求甲队得分与乙队得分为1：2的概率．
18．（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，底面ABC中角B为直角，，侧面底面ABC．
①求证：；
②当，直线与平面ABC所成角为30°时，
（ⅰ）求证：平面平面；
（ⅱ）求二面角的正弦值.
19．（本小题满分17分）
将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
①求；
②当时，求的表达式；
③令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．
参考答案：
12．2013．14．
15．（1）；（2）．
（1）设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，两次取球的结果为，
即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个结果
其中两球编号和为6的结果有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个
所以取出的两个球编号之和为6的概率为．
（2）从6个球中任取3个球的不同结果有123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个.
其中3个球中最大编号为4的结果有124，134，234，共3个
所以取出的球最大编号为4的概率
16．（1）平均数为71，众数为75．
（2）88．
（3）平均数为76，方差为12．
（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，
平均数
由图可知，众数为75
以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分
（2）前4组的频率之和为
前5组的频率之和为，
第90%分位数落在第5组，设为x，则，解得．
“防溺水达人”的成绩至少为88分．
（3）的频率为0.15，的频率为0.30，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为76，方差为12．
17．（1），
（2）
【详解】（1）记“队总得分为3分”为事件A，“乙队总得分为1分”为事件B．
乙队得3分，即三人都回答正确，其概率
乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，
其概率
（2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分，
记“甲队总得分为1分”为事件C，“乙队总得分为2分”为事件D.
事件C即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错，
则，
事件D即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错，
则，
则甲队得分与乙队得分为1：2的概率
18．（1）证明见解析
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）因为，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
所以平面，
因为平面，所以，
由三棱柱性质得四边形是平行四边形，又因为，
所以是菱形，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以
（2）（ⅰ）当时，因为，
所以，所以，
由（1）平面，平面，所以，
因为，AB、平面ABC，所以平面ABC，
因为平面，所以平面平面ABC；
（ⅱ）因为平面ABC，平面ABC，
所以直线与平面ABC所成的角为，所以，
因为，且，，，故，
作交AC于D，
因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
所以平面，又平面，所以，
作交于E，连接BE，
因为，BD、平面BDE，所以平面BDE，
因为平面BDE，所以，
所以是二面角的平面角，
因为即，所以，
因为即，所以，
所以，
所以二面角的正弦值为
19．（1）
（2）
（3）
【详解】（1）当时，，即这个数中共有195个数字，
其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为
（2）当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，
个四位数组成，；
综上所述：
（3）当时，，
当时，，
当时，，即，
同理有，
由，可知，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由，关于k单调递增，
故当时，有最大值为，
又，所以当时的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
B
D
B
A
B
CD
ACD
题号
11
答案
ABD
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在空间四边形PABC中，（ ）
A．B．C．D．
2．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137 960 197 925 271 815 952 683 829 436 730 257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，三个元件，，正常工作的概率分别为，，，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．四棱锥中，面ABCD，底面ABCD是矩形，则在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为i”，其中；“点数不大于2”，“点数大于2”，“点数大于4”下列结论是判断错误的是（ ）
A．与互斥B．，
C．D．，为对立事件
6．甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（ ）
A．0.9B．0.8C．0.7D．0.6
7．一组数据：53，57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则（ ）．
A．58或64B．58C．59或64D．59
8．如图，平行六面体各棱长为1，且，动点P在该几何体内部，且满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若向量是空间的一个基底，向量，，那么可以与，构成空间的一组基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
10．若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的平均数为13B．数据的方差为12
C．D．
11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件．已知甲、乙、丙3类产品数量之比为1：2：3．现要用分层抽样的方法从中抽取120件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为______．
13．在三棱锥中，，，点M在OA上，，N为BC中点，则______．
14．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为，则丙最终获胜的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
①一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．
若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；
②已知，与、的夹角都是60°，并且，，．计算：与夹角的余弦值
16．（本小题满分15分）
某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．
①根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
②成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；
③已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差．
17．（本小题满分15分）
溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛．在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分．假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
①分别求乙队总得分为3分与1分的概率；
②求甲队得分与乙队得分为1：2的概率．
18．（本小题满分17分）
如图，在三棱柱中，底面ABC中角B为直角，，侧面底面ABC．
①求证：；
②当，直线与平面ABC所成角为30°时，
（ⅰ）求证：平面平面；
（ⅱ）求二面角的正弦值.
19．（本小题满分17分）
将连续正整数从小到大排列构成一个数，为这个数的位数．例如：当时，此数为123456789101112，共有15个数字，则．现从这个数中随机取一个数字，为恰好取到0的概率．
①求；
②当时，求的表达式；
③令为这个数中数字9的个数，为这个数中数字0的个数，，，求当时的最大值．
参考答案：
12．2013．14．
15．（1）；（2）．
（1）设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，两次取球的结果为，
即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），
（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个结果
其中两球编号和为6的结果有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个
所以取出的两个球编号之和为6的概率为．
（2）从6个球中任取3个球的不同结果有123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个.
其中3个球中最大编号为4的结果有124，134，234，共3个
所以取出的球最大编号为4的概率
16．（1）平均数为71，众数为75．
（2）88．
（3）平均数为76，方差为12．
（1）一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05，
平均数
由图可知，众数为75
以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分
（2）前4组的频率之和为
前5组的频率之和为，
第90%分位数落在第5组，设为x，则，解得．
“防溺水达人”的成绩至少为88分．
（3）的频率为0.15，的频率为0.30，
所以的频率与的频率之比为
的频率与的频率之比为
设内的平均成绩和方差分别为，，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为76，方差为12．
17．（1），
（2）
【详解】（1）记“队总得分为3分”为事件A，“乙队总得分为1分”为事件B．
乙队得3分，即三人都回答正确，其概率
乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，
其概率
（2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分，
记“甲队总得分为1分”为事件C，“乙队总得分为2分”为事件D.
事件C即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错，
则，
事件D即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错，
则，
则甲队得分与乙队得分为1：2的概率
18．（1）证明见解析
（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）因为，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
所以平面，
因为平面，所以，
由三棱柱性质得四边形是平行四边形，又因为，
所以是菱形，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，所以
（2）（ⅰ）当时，因为，
所以，所以，
由（1）平面，平面，所以，
因为，AB、平面ABC，所以平面ABC，
因为平面，所以平面平面ABC；
（ⅱ）因为平面ABC，平面ABC，
所以直线与平面ABC所成的角为，所以，
因为，且，，，故，
作交AC于D，
因为平面平面ABC，平面平面，平面ABC，
所以平面，又平面，所以，
作交于E，连接BE，
因为，BD、平面BDE，所以平面BDE，
因为平面BDE，所以，
所以是二面角的平面角，
因为即，所以，
因为即，所以，
所以，
所以二面角的正弦值为
19．（1）
（2）
（3）
【详解】（1）当时，，即这个数中共有195个数字，
其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为
（2）当时，这个数由n个1位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，个两位数组成，则；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，个三位数组成，；
当时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，
个四位数组成，；
综上所述：
（3）当时，，
当时，，
当时，，即，
同理有，
由，可知，19，29，39，49，59，69，79，89，90，
所以当时，，
当时，，当时，，
当时，，
由，关于k单调递增，
故当时，有最大值为，
又，所以当时的最大值为．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
D
B
D
B
A
B
CD
ACD
题号
11
答案
ABD
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