山西省朔州市怀仁市第一中学校2024-2025学年高二上学期第三次月考（10月）数学试题

这是一份山西省朔州市怀仁市第一中学校2024-2025学年高二上学期第三次月考（10月）数学试题，共11页。试卷主要包含了本卷主要考查内容等内容，欢迎下载使用。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效。
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册第一章~第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若方程表示圆，则实数m的取值范围为
A.B.C.D.
2.已知，则下列向量中与平行的是
A.B.C.D.
3.已知直线l的方向向量为，平面α的一个法向量为，若直线l//平面α，则a=
A.-7B.-3C.-1D.2
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，
A.-1B.0C.D.1
5.已知直线与圆相交于A，B两点，且，则k=
A.B.0或C.D.或0
6.在空间中，若向量，，共面，则m=
A.4B.2C.-3D.-6
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=BC，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的正弦值为
A.B.C.D.
8.已知直线与圆相交于P，Q两点，O为坐标原点，且OP⊥OQ，则实数b的所有取值之积为
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.若平面，平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是
A.，B.，
C.，D.，
10.过点作直线与圆相交于A，B两点，则
A.弦AB的长度的最小值为
B.当弦AB最短时弦所在的直线方程为
C.弦AB的长度的最小值为
D.当弦AB最短时弦所在的直线方程为
11.如图，点P是边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的表面上一个动点，则
A.当点P在侧面BB1C1C上时，四棱锥P-AA1D1D的体积为定值
B.存在这样的点P，使得
C.当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，点P的轨迹长度为
D.当时，点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面α内，且OM⊥α，为平面α内任意一点，则________.
13.已知直线，直线，若，则实数a的值为________.
14.在菱形ABCD中，∠A=60°，将△ABD沿对角线BD折起，若二面角A-BD-C为直二面角，则二面角A-BC-D的余弦值为________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy中，已知，，.
（1）在△ABC中，求AB边上的高所在的直线方程；
（2）若点P在直线BC上，且，求点P到直线AB的距离.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=AD=BD=AA1=2.
（1）求直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值；
（2）求点B1到平面ACD1的距离.
17.（本小题满分15分）
已知x，y是实数，且.
（1）求的最值；
（2）求的取值范围；
（3）求的最值.
18.（本小题满分17分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，AB//CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，O为BD的中点，BD=4，.
（1）证明：OP⊥平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值.
19.（本小题满分17分）
已知三点，，在圆C上.
（1）求圆C的标准方程；
（2）过原点O的动直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的轨迹W的方程；
（3）在（2）的条件下，若过点的直线m与曲线W有两个交点，求直线m的斜率的取值范围.
2024~2025学年上学期怀仁一中高二年级第三次月考·数学
参考答案、提示及评分细则
1.D 方程可化为，有，解得.
2.B 对于A，因为，所以A不正确；
对于B，因为，所以B正确；
对于C，因为，所以C不正确；
对于D，因为，所以D不正确.故选B.
3.D 由直线l∥平面α，可得，有，得.故选D.
4.B 由.
5.B 圆的圆心为，半径，因为直线与圆相交于A，B两点，且，所以圆心到直线的距离，即，解得或.故选B.
6.A 由向量共面，有，有，有解得故m的值为4.故选A.
7.A 由AP，AB，AD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2，点，，，，，，可得，，设异面直线BF与PE所成的角为，有，.
8.C 设P，Q两点的坐标分别为，，由直线与圆C相交，有，解得，联立方程消去y后整理为，有，，，由OP⊥OQ，有，可得实数b的所有取值之积为-3.
9.ACD 两个平面平行时，其法向量也平行，四个选项中，只有B项中的两个向量不平行，故选ACD项.
10.CD 圆C的圆心为，半径为.当AB⊥PC时，弦AB最短，此时最短弦长为
，即，此时弦AB所在的直线方程为.
11.ACD 对于选项A，由点P到侧面ADD1A1的距离相等，故四棱锥P-AA1D1D的体积为定值，故A选项正确；
对于选项B，这样的点P不在正方体的表面上，故B选项错误；
对于选项C，①当点P在侧面BB1C1C，侧面CC1D1D上时（不包括正方形A1B1C1D1的边界），过点P作平面ABCD的垂线，垂足为H，连AH，在Rt△APH中，由，可得；②当点P在上底面A1B1C1D1上时，过点P作平面ABCD的垂线，垂足为M，若，必有PM=AM，又由PM=AB，有AM=AB，A1P=AB，此时点P的轨迹是以A1为圆心，2为半径的四分之一圆，点P的轨迹长度为；③当点P在侧面AA1D1D，AA1BB上时，点P在线段AB1，AD1上符合题意，此时点P的轨迹长为；由上知点P的轨迹长度为，故C选项正确；
对于选项D，①当P在底面ABCD上时，点P的轨迹为以A为圆心，为半径的圆与底面ABCD的交线，记圆与CD相交于点P1，与BC交于点P2，有，可得∠DAP1=30°，∠P1AP2=30°，则点P的轨迹与底面ABCD的交线长为；②当点P在侧面BB1C1C上时，，可得点P的轨迹与侧面BB1C1C的交线为以点B为圆心，为半径的四分之一圆，交线长为.由对称性可知，点P的轨迹长度为，故D选项正确.
12.4 由题知，根据可知，是平面的一个法向量，则，所以，整理可得.
13.1 ①当时，直线，直线，此时；②当时，若，必有，解得，经检验可知当时，直线l1和l2重合；当时，直线l1和l2平行.综上知，实数a的值为1.
14. 设菱形ABCD边长为2，，则OB=1，，折起后∠AOC是二面角A-BD-C的平面角，∴∠AOC=90°.以点O为原点，OB，OC，OA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，那么，.设平面ABC的一个法向量为.则即，令，得，又平面BCD的一个法向量为，得，故二面角A-BC-D的余弦值为.
15.解：（1）直线AB：，即，直线AB的斜率为-1，2分
所以边AB上的高所在直线的斜率为1，4分
所以边AB上的高所在的直线方程为，整理得；6分
（2）直线BC：，即，8分
AB的中点为，所以AB的垂直平分线所在的直线方程为，9分
因为P为AB垂直平分线与直线BC的交点，所以
解得，11分
所以P到直线AB的距离为.13分
16.解：连接AC，BD相交于点O，连接A1C1，B1D1相交于点O1，
由AB=AD=BD=2，可得△ABD为等边三角形，
又由O为BD的中点，可得AC⊥BD，，OB=OD=1，2分
因为AO=OC，A1O1=O1C1，所以OO1//AA1，
又因为AA1⊥平面ABCD，所以OO1⊥平面ABCD，4分
由上知OA，OB，OO1两两垂直，以O为坐标原点，OA，OB，OO1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
有，，，，，，，6分
设平面ACD1的法向量为，
由，，有
取x=0，y=2，z=1，可得平面ACD1的一个法向量为，8分
（1）由，
有，，，9分
有，10分
故直线BD1与平面ACD1所成角的正弦值为；11分
（2）由，有，12分
可得点B1到平面ACD1的距离为.15分
17.解：（1）设，化为，
可知直线与圆有交点，2分
有，解得，
可得的最小值为1，最大值为21；4分
（2）设，化为，
可知直线与圆有交点，6分
有，解得或，
故的取值范围为；9分
（3）的几何意义为坐标原点到圆上任意一点的距离，11分
圆的圆心到坐标原点的距离为，13分
故的最小值为，最大值为.15分
18.（1）证明：如图，连接OC，
在Rt△BCD中，由BD=4可得OC=2，
∵，OB=OD=2，
∴OP⊥BD，，3分
∵OP=1，OC=2，，，
∴OP⊥OC，5分
∵OP⊥BD，OP⊥OC，BD，，，
∴OP⊥平面ABCD；7分
（2）解：由（1）和等腰三角形BCD可知，OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
可得，，，，，
又由，有，可得点A的坐标为，9分
设平面PBC的法向量为，
由，，有
取，，，可得平面PBC的一个法向量为.12分
设平面PAD的法向量为，
由，，有取，，，可得平面PAD的一个法向量为.15分
由，，，可得平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.17分
19.解：（1）设圆C的一般方程为，
将三点代入圆C的一般方程，有解得4分
可得圆C的一般方程为，
可得圆C的标准方程为.5分
（2）设直线l的方程为，点A，B的坐标分别为，，点P的坐标为.
若直线l与圆C相交，有，解得，
联立方程消去y后整理为，
有，.8分
可得点P的横坐标和纵坐标分别为，，两式相除可得，
代点P的横坐标有，整理为，有.
又由，有，
综上知点P的轨迹W的方程为.11分
（3）设直线m的方程为，整理为.
当直线m与圆相切时，有，解得.
将代入圆的方程，有，解得，
两点，所在直线的斜率为.15分
由（2）可知轨迹W为以点为圆心，1为半径的圆在的一部分，
若直线m与轨迹W有两个交点，可得直线m的斜率的取值范围为.17分