江苏省盐城市东台市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份江苏省盐城市东台市第一中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：审题人：
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题纸的指定位置填涂答案选项．）
1. 经过，两点的直线的倾斜角是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】知道两点坐标，通过坐标求出直线斜率，然后得到倾斜角的值.
∵两点的横坐标均为，
∴斜率不存在，
故倾斜角为：
故选：C
2. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
联立求出交点，再由垂直关系得出所求直线方程.
联立，解得，.
设与直线垂直的直线方程是
将，代入方程，解得
故所求方程为
故选：D.
3. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（）
A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，从而得到点在圆上.
因为圆的圆心为，半径为，且直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，即，
所以点坐标满足圆的方程，
所以点在圆上，
故选:A
4. 已知圆，圆，则两圆的公切线有（）
A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆心之间的距离判断两圆的位置关系，从而确定公切线条数.
圆的圆心坐标为半径为1，圆的圆心坐标为半径为7，
两圆圆心距离为，小于两圆半径之差，
圆与圆的位置关系为内含，没有公切线.
故选：A.
5. 若直线与直线交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合斜率、倾斜角之间的关系分析求解.
因为直线恒过点，
直线与坐标轴的交点分别为，
直线斜率，此时倾斜角为；
直线的斜率不存在，此时倾斜角为；
所以直线的倾斜角的取值范围是.
故选：B.
6. 著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事体．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两点间距离公式可将问题转化为轴上一点到点与点的距离之和的最小值，当三点共线时，进而即得.
，
则可看作轴上一点到点与点的距离之和，即，
则可知当三点共线时，取得最小值，
即.
故选：A.
7. 已知两点，，若直线上存在点满足，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据，求出点P的轨迹是圆，再由点P在直线上，由圆心到直线的距离不大于半径求解.
设，则，
因为，
所以，则点P的轨迹是以原点为圆心，以1为半径的圆，
又点P在直线上，
则圆心到直线的距离不大于半径，
即，
解得，
故选：C
8. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设可得以为直径的圆的方程，两圆方程相减，可得其公共弦，化为，由可得结果.
设是圆的切线，
是圆与以为直径的两圆的公共弦，
可得以为直径的圆的方程为
， ①
又 ， ②
①-②得，
化为，
由，
可得总满足直线方程，
即过定点，故选B.
【点睛】探索曲线过定点的常见方法有两种：①可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ② 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.
二、多项选择题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 直线经过点，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程可能是（）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】分截距均为和截距均不为两种情况讨论，分别计算可得.
当直线在两坐标轴上的截距均为时，直线的方程为，即；
当直线在两坐标轴上的截距均不为时，设直线的方程为，
则，解得，所以直线方程为，即；
所以直线的方程可能是或.
故选：AC
10. 下列说法不正确的是（）
A. 平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率
B. 不经过原点的直线都可以用方程表示
C. “直线与直线互相垂直”是“”的充分不必要条件
D. 直线的倾斜角的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A，根据斜率的定义，可得答案；对于B，根据截距式方程，结合反例，可得答案；
对于C，根据充分条件与必要条件的定义，结合垂直直线的性质，可得答案；
对于D，根据直线方程写出斜率，利用斜率与倾斜角的关系建立方程，可得答案.
对于A，当直线垂直于轴时，直线斜率不存在，故A错误；
对于B，当不经过原点的直线垂直于任意一条坐标轴时，其中一个不存在，故B错误；
对于C，由直线与直线互相垂直，则，解得a=-1或，
所以“直线与直线互相垂直”是“”的不充分条件；
当a=-1时，易知直线与直线互相垂直，
所以“直线与直线互相垂直”是“”的必要条件；
故C错误；
对于D，由，则其斜率为，
设其倾斜角为，则，解得，故D正确；
故选：ABC.
11. 设直线与圆，则下列结论正确的为（）
A.可能将的周长平分
B. 若直线与圆相切，则
C. 当时，圆上有且仅有2个点到直线的距离都等于1
D. 若直线与圆交于两点，则面积的最大值为2
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，根据圆的对称性，可得当直线平分圆的周长时，直线所过的点，结合题意，可得答案；
对于B，利用直线与圆相切的性质，求得直线与圆心的距离与半径，建立方程，可得答案；
对于C，求得直线与圆心的距离与半径进行比较，可得答案；
对于D，求得弦心距与弦长，利用函数思想，可得答案
对于A，当直线过圆心时，圆的周长会被平分，由圆，则圆心为原点，半径，
由直线恒过0,4且斜率存在，则直线不可能过原点，故A错误；
对于B，由，则其一般式方程为，
圆与直线相切，可得，解得，故B正确；
对于C，由，则直线，其一般式为，
圆心到直线的距离d=0-0+41+1=22>2，由，故C正确；
对于D，圆心到直线的距离，
令，则，
弦，
的面积，
则，整理可得，
当时，，故D正确.
故选：BCD.
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，计15分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上．）
12. 已知，则P点关于直线的对称点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用先求垂足，把点关于直线对称转化为点关于垂足对称，即可用中点坐标公式求解.
由直线，可知其斜率为，则与直线垂直的直线斜率为,
则过点与直线垂直的直线方程为：，整理得，
联立方程组：，解得，即过点作直线垂线的垂足为，
根据对称性可知，两点的中点就是，所以可求得点，
故答案为：.
13. 两条平行直线和间的距离为，则的值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】两直线平行则斜率相等，则求出参数的值，再将两直线整理成系数相同的方程后代入平行线距离公式即可得到距离的值.
∵两直线平行，∴，即，∴，
直线整理为：，
∴.
故答案为：
14. 已知圆，从点向圆作两条切线，切点分别为，，若，则点的轨迹方程为______；点到直线的最大距离为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】在中，求得，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，求解方程即可，结合点到直线的距离公式，即可求得到直线的最大距离.
从点向圆作两条切线，且，
所以在中，，，所以，
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
故的轨迹方程为：，
因为点到直线的距离为，
所以点到直线的最大距离为.
故答案为：；
四、解答题：（本大题共5小题，共77分，请在答题纸指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知的三个顶点为，，.
（1）求边上的高AD的直线方程；
（2）求过点B且与A、C距离相等的直线方程.
【答案】（1）
（2）和.
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）利用两定点到直线距离相等的特性，分情况求解即可.
【小问1】
由点B、C的坐标，得直线的斜率，
由，得直线的斜率，
由点斜式方程得直线的方程为，整理得，
所以边上的高AD的直线方程为.
【小问2】
由点A、C的坐标，得线段的中点E坐标为，
显然点A，C到直线的距离相等，而直线轴，于是直线的方程为；
又点A，C到与直线平行的直线的距离也相等，而直线轴，此时所求直线方程为，
所以过点B且与A、C距离相等的直线方程为和.
16. 已知圆的圆心在轴上，且经过点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，设的中点为，求出的坐标，求出直线的斜率，由直线的点斜式方程分析可得答案，设圆的标准方程为，由圆心的位置分析可得的值，进而计算可得的值，据此分析可得答案；
（2）设为的中点，结合直线与圆的位置关系，分直线的斜率是否存在两种情况讨论，综合即可得答案.
解：（1）设的中点为，则，
由圆的性质得，
所以，得，
所以线段的垂直平分线方程是，
设圆的标准方程为，其中，半径为，
由圆的性质，圆心在直线上，化简得，
所以圆心，，
所以圆的标准方程为；
（2）由（1）设为中点，则，得，
圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，的方程，此时，符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程，即，
由题意得，解得；
故直线的方程为，
即；
综上直线的方程为或.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆方程的综合应用，属于基础题.
17. 已知圆．
（1）若满足，求的取值范围；
（2）若直线与圆交于不同两点，当为锐角时，求的取值范围；
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将所求代数式转换为直线方程，利用直线与圆有交点来建立不等关系，得到范围.
（2）联立直线方程与圆的方程得到关于的二次方程，利用韦达定理得出和的值，已知夹角为锐角，借助向量数量积为正数建立不等关系，得出范围.
【小问1】
，令，即
直线与圆有公共点，
圆心到直线的距离小于等于半径，即
解得或．即
【小问2】
设的坐标分别为，，
将直线代入，整理，得，
，，
，即，
当为锐角时，
，解得，
又，或．
故的取值范围为．
18. 已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于两点，为坐标原点.
（1）求点的坐标；
（2）当点到直线的距离最大时，求直线的方程；
（3）当取得最小值时，求的面积.
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）把直线的方程可化为，联立方程组，即可求解；
（2）当时，点到直线的距离最大，结合，求得，即可求得直线的方程；
（3）分别求得和，得到，结合基本不等式，得到，分类讨论，即可求得的面积.
【小问1】
解：直线的方程可化为，
令，解得，即点的坐标为.
【小问2】
解：当时，点到直线的距离最大，
此时直线的斜率与直线的斜率满足，
因为，所以，即，
所以直线的方程为，即.
【小问3】
解：令，可得，所以；
令，可得，所以，且，
可得，
所以
当且仅当时，等号成立，
当时，直线的方程为，此时，
可得的面积为；
当时，直线的方程为，此时，
可得的面积为，
综上可得，的面积为或
19. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，．点满足，设点所构成的曲线为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求点的轨迹的方程；
（3）过作两条互相垂直的直线，与点的轨迹分别交于和四点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）7
【解析】
【分析】（1）点Px,y，利用两点距离表示关系，并化简即可；
（2）设点，Px0,y0，由，由表示出，代入点的轨迹方程即可得出答案；
（3）设圆心到直线，的距离分别为，则，表示出四边形面积，由基本不等式即可得出答案.
【小问1】
设点Px,y，点满足，
所以可得，
化简可得．
【小问2】
设点，Px0,y0，
由（1）点满足方程：
，，
即，，
代入上式消去可得轨迹方程为．
【小问3】
设圆心到直线，的距离分别为，则，
，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，四边形面积的最大值为7．