重庆市渝高中学校2024-2025学年高三上学期第一次月考阶段测试数学试卷

这是一份重庆市渝高中学校2024-2025学年高三上学期第一次月考阶段测试数学试卷，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1．知集合,则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，则等于（ ）
A．或 B． C． D．
3．函数的部分图象大致为（ ）
A． B． C． D．
4．“曲线恒在直线的上方”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率．函数的图象在处的曲率为（ ）
A． B． C． D．
6．若存在，使不等式成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．在中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,则外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
8．已知函数的定义域为,函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（ ）
A．函数的一个对称中心为 B．
C．函数为周期函数，且一个周期为4 D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．已知展开式中各项二项式系数之和为128，则（ ）
A． B．展开式的各项系数之和是
C．展开式中第4项和第5项的二项式系数最大 D．展开式中无常数项
10．已知函数的最小正周期为π，则（ ）
A．的最大值为2
B．在上单调递增
C．的图象关于点中心对称
D．的图象可由的图象向右平移个单位得到
11．设A,B是两个随机事件，且，则（ ）
A． B．A与B相互独立 C． D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12．函数则__________．
13．已知函数的部分图像如图所示，其中，则__________．
14．设的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其面积为S,已知．则__________；S的最大值为__________
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（第（1）问7分，第（2）问6分，共13分）
已知函数的最大值为2．
（1）求a的值，并求的最小正周期；
（2）求在上的单调递区间．
16．（第（1）问6分，第（2）问9分，共15分）
已知函数．
（1）若,求曲线在处的切线方程；
（2）若,且当时，恒成立，求m的取值范围．
17．（第（1）问6分，第（2）问9分，共15分）
2024年6月25日14时07分，嫦娥六号返回器准确着陆于内蒙古自治区四子王旗预定区域，工作正常，标志着探月工程嫦娥六号任务取得圆满成功，实现了世界首次月球背面采样返回．某学校为了了解学生对探月工程的关注情况，随机从该校学生中抽取了一个容量为90的样本进行调查，调查结果如下表：
（1）完成上述列联表，依据该统计数据，能否有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关？
（2）为了激发同学们对探月工程的关注，该校举办了一次探月知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择：
方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级；
方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级．
已知振华同学答对这4个问题的概率分别为，振华同学回答这4个阿腿正确与否相互独立，则振华选择哪种方案晋级的可能性更大？
附：
18．（第（1）问5分，第（2）问5分，第（3）问7分，共17分）
的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．
（1）求角A的大小；
（2）若,求的面积；
（3）若角C为钝角，求的取值范围．
19．（第（1）问3分，第（2）问5分，第（3）问9分，共17分）
己知函数与函数,其中．
（1）求的单调区间；
（2）若,求a的取值范围；
（3）若曲线与x轴有两个不同的交点，求证：曲线与曲线共有三个不同的交点．
命题人：肖辉 审题人：吕利娟
高2025届高三（上）第一学月阶段测试
数学参考答案
8．【解】对于A,因为为奇函数，所以,即,
所以,所以,所以函数的图象关于点对称，所以A正确，
对于B,在中，令,得,得,
因为函数为偶函数，所以,所以,所以,令,则,所以,得,所以B正确，
对于C,因为函数的图象关于点对称，,所以,所以,所以4不是的周期，所以C错误，
对于D,在中令,则,令,则,因为,所以,因为,所以,所以D正确，故选：C
11．【解】对于A,由，即，得，选项A正确；
对于B,由,故，且，
故,所以A与B相互独立，选项B正确；对于C，由，选项C正确；
对于D,因为A与B相互独立，所以A与与B相互独立，
所以；，即，选项D错误．故选：ABC．
15．【解】（1）
3分
所以,
因为函数的最大为2，所以,
解得 7分
所以，因此最小正周期为； 7分
（2）由得,
所以的单调递增区间为， 10分
又，取，
得在上的单调递增区间为 13分
16．【解】（1）当时，, 2分
由题意可得，,切线斜率, 4分
故曲线在处的切线方程,即， 6分
（2） 8分
①若，则对任意的，则函数在上单调递减，则只要，解可得，，不合题意，舍去； 11分
②若,当时，，当时，,
故函数在上单调递减，在上单调递增，
故只要,解得 14分
综上可得，m的范围为 15分
17．【解】（1）列联表如下：
2分
, 5分
能有99%的把握认为该校学生对探月工程的关注与性别有关 6分
（2）记这4个问题为a,b,c，d,记振华答对a,b,c,d的事件分别记为A,B,C,D,
分别记按方案一、二晋级的概率为, 8分
则
， 11分
， 14分
因为,振华选择方案一晋级的可能性更大 15分
18．【解】（1）由和正弦定理得，,
因, 2分
则有,因,则， 4分
又，故 5分
（2）由余弦定理，,代入得，, 7分
因,则有,即得, 9分,
故的面积 10分
（3）由正弦定理，可得， 11分
因,代入化简得： 13分
因C为钝角，故由可得， 14分
则，即，故的取值范围是 17分
19．【解】（1）的定义域为：，
又已知， 1分
所以时，单调递减；时，单调递增； 3分
（2）由题意：,即, 4分
若，不等式恒成立， 5分
若,即， 6分
令，
当时，单调递增，当时，单调递减，
故，故a的值范围为； 8分
（3）曲线与x轴有两个不同的交点，即函数有两个不同的零点,
不妨令，由（2）知，a的取值范围为，
且由得，
同理得曲线与曲线共有两个不同的交点, 11分
下面证明这两条曲线还有一个交点，
令，
令,则,令,
则恒成立，则单调递增，又,
令,得，
故存在，使得在上单调递减，在单调递增，
，
故有两个零点, 14分
令，即有且只有两个极值点为，
所以在上单调增，在上单调减，在上单调增，
又，若，
由得与题设矛盾，所以， 16分
同理不可能在同一单调区间，，
故有,
所以在间存在唯一的使得，即两条曲线还有一个交点，
故曲线与曲线共有三个不同的交点 17分关注
不关注
合计
男生
55
60
女生
合计
75
0.1
0.05
0.025
0.01
0.001
k
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
C
D
A
A
C
ACD
ACD
题号
11
12
13
14
答案
ABC
2
1
关注
不关注
合计
男生
55
5
60
女生
20
10
30
合计
75
15
90