2025届郑州市金水区数学九上开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份2025届郑州市金水区数学九上开学学业水平测试试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，菱形ABCD中，，AB=6，则（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）某服装加工厂计划加工400套运动服，在加工完160套后，采用了新技术，工作效率比原计划提高了20%，结果共有了18天完成全部任务．设原计划每天加工x套运动服，根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
3、（4分）如果有意义，那么实数x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≠2C．x≥2D．x≥-2
4、（4分）在中，若，则的度数是（ ）
A．B．110°C．D．
5、（4分）下面哪个点在函数y=2x+4的图象上（ ）
A．（2，1）B．（-2，1）C．（2，0）D．（-2，0）
6、（4分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，BO＝3，那么AC的长为（ ）
A．2B．C．3D．4
7、（4分）如图，将△ABC沿着水平方向向右平移后得到△DEF，若BC=3，CE=2，则平移的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8、（4分）下列属于菱形性质的是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角互补D．四个角都是直角
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）一组数据2，3，4，5，3的众数为__________.
10、（4分）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于、，连接、.若，.则图中阴影部分的面积为____________.
11、（4分）为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表所示：
则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为________________．
12、（4分）甲、乙两人进行跳高训练时，在相同条件下各跳5次的平均成绩相同．若=0.5，=0.4，则甲、乙两人的跳高成绩较为稳定的是______．
13、（4分）如图，直角边分别为3，4的两个直角三角形如图摆放，M，N为斜边的中点，则线段MN的长为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）（课题研究）旋转图形中对应线段所在直线的夹角（小于等于的角）与旋转角的关系．
（问题初探）线段绕点顺时针旋转得线段，其中点与点对应，点与点对应，旋转角的度数为，且．
（1）如图（1）当时，线段、所在直线夹角为______．
（2）如图（2）当时，线段、所在直线夹角为_____．
（3）如图（3），当时，直线与直线夹角与旋转角存在着怎样的数量关系？请说明理由；
（形成结论）旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角_____．
（运用拓广）运用所形成的结论求解下面的问题：
（4）如图（4），四边形中，，，，，，试求的长度．
15、（8分）已知a，b是直角三角形的两边，且满足，求此三角形第三边长.
16、（8分）计划建一个长方形养鸡场，为了节省材料，利用一道足够长的墙做为养鸡场的一边，另三边用铁丝网围成，如果铁丝网的长为35m．
（1）计划建养鸡场面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？
（2）能否建成的养鸡场面积为160m2？如果能，请算出养鸡场的长和宽；如果不能，请说明理由．
17、（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°,∠C=45°.
(1)求∠BAC的度数。
（2）若AC=2,求AD的长。
18、（10分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B（﹣3，5），点D在线段AO上，且AD＝2OD，点E在线段AB上，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）一个三角形的底边长为5，高为h可以任意伸缩．写出面积S随h变化的函数解析式_____．
20、（4分）如图，菱形的边长为2，点，分别是边，上的两个动点，且满足，设的面积为，则的取值范围是__．
21、（4分）如图，在ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=8，AB=5，则AE的长为__．
22、（4分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为(1，0)，(4，0)，将△ABC沿x轴向右平移，当C点落在直线y＝2x－6上时，线段BC扫过的区域面积为________．
23、（4分）函数中，自变量的取值范围是_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）某商品的进价为每件40元，售价每件不低于60元且不高于80元，当售价为每件60元时，每个月可卖出100件；经调查发现，每件商品每上涨1元，每月少卖出2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数）．
（1）求每个月的销售利润；（用含有x代数式表示）
（2）若每个月的利润为2250元，定价应为多少元？
25、（10分）如图，⊙O为ABC的外接圆，D为OC与AB的交点，E为线段OC延长线上一点，且EACABC.
（1）求证：直线AE是⊙O的切线；
（2）若D为AB的中点，CD3，AB8.
①求⊙O的半径；②求ABC的内心I到点O的距离.
26、（12分）如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
(1)求∠APB的度数；
(2)如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
利用菱形的性质可求，在30°直角三角形中利用勾股定理可求BD的一半长，则BD可求．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，设AC与BD交于点O，
，，
，，
故选：D．
本题主要考查了菱形的性质，解决菱形中线段的长度一般借助菱形的对角线互相垂直，在直角三角形中求解．
2、B
【解析】
试题分析：由设原计划每天加工x套运动服，得采用新技术前用的时间可表示为：天，采用新技术后所用的时间可表示为：天。根据关键描述语：“共用了18天完成任务”得等量关系为：采用新技术前用的时间+采用新技术后所用的时间=18。从而，列方程。故选B。
3、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出x的取值范围．
【详解】
由题意可知：x+2≥0，
∴x≥-2
故选D．
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件．
4、B
【解析】
根据平行四边形的对角相等，邻角之和为180°，即可求出该平行四边形各个内角的度数．
【详解】
画出图形如下所示：
则∠A+∠B=180°，
又∵∠A−∠B=40°，
∴∠A=110°,∠B=70°，
∴∠C=∠A=110°.
故选B
此题考查平行四边形的性质，解题关键在于画出图形
5、D
【解析】
将四个选项中的点分别代入解析式，成立者即为函数图象上的点．
【详解】
A、将（2，1）代入解析式y=2x+4得，2×2+4=8≠1，故本选项错误；
B、将（-2，1）代入解析式y=2x+4得，2×（-2）+4=0≠1，故本选项错误；
C、将（2，0）代入解析式y=2x+1得，2×2+4=8≠0，故本选项错误；
D、将（-2，0）代入解析式y=2x+1得，2×（-2）+4=0，故本选项正确；
故选D．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入解析式，解析式成立者即为正确答案．
6、D
【解析】
首先利用勾股定理计算AO长，再根据平行四边形的性质可得AC长．
【详解】
∵AC⊥AB，AB＝，BO＝3，
∴AO==2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝4，
故选：D．
此题考查平行四边形的性质，解题关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
7、A
【解析】
根据图形可得：线段BE的长度即是平移的距离，
又BC=3，EC=2，
∴BE=3−2=1.
故选A.
8、B
【解析】
根据菱形的对角线的特征，内角的特征，对称性来判断即可．
【详解】
A. 矩形的对角线平分、相等，故A选项错误；
B. 菱形的对角线平分、相等，故B选项正确；
C. 矩形的对角互补，故C选项错误；
D. 矩形的四个角都是直角，故D选项错误；
故选：B.
此题考查菱形的性质，解题关键在于掌握菱形的性质
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1.
【解析】
众数又是指一组数据中出现次数最多的数据，本题根据众数的定义就可以求解．
【详解】
本题中数据1出现了2次，出现的次数最多，所以本题的众数是1．
故答案为1．
众数是指一组数据中出现次数最多的数据．
10、
【解析】
由矩形的性质可证明S△DFP＝S△PBE，即可求解．
【详解】
解：作PM⊥AD于M，交BC于N．
则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×5＝5，
∴S阴＝5＋5＝10，
故答案为：10.
本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△DFP＝S△PBE．
11、1，1．
【解析】
本题考查统计的有关知识，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．
【详解】
数据1出现了3次最多，这组数据的众数是1，
共10个数据，从小到大排列此数据处在第5、6位的数都为1，故中位数是1．
故答案为：1，1．
本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
12、乙
【解析】
根据在平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩越稳定即可得出结论．
【详解】
解：∵0.5＞0.4
∴S甲2＞S乙2，则成绩较稳定的同学是乙．
故答案为：乙．
此题考查的是利用方差做决策，掌握方差越小，数据越稳定是解决此题的关键．
13、
【解析】
根据勾股定理求出斜边长,根据直角三角形的性质得到CM=,CN=,∠MCB=∠ECN,∠MCE=∠NCD,根据勾股定理计算即可.
【详解】
解:如图
连接CM、CN,由勾股定理得,
AB=DE=,
△ABC、△CDE是直角，三角形,M,N为斜边的中点,
CM=CN=,∠MCB=∠ECN,∠MCE=∠NCD,
∠MCN=,
MN=.
因此, 本题正确答案是:.
本题主要考查三角形的性质及计算，灵活做辅助线是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）90°；（2）60°；（3）互补，理由见解析；相等或互补；（4）.
【解析】
（1）通过作辅助线如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，可以通过旋转性质得到AB=CD，OA=OC，BO=DO，证明△AOB≌△COD，进而求得∠B=∠D得∠BFE=∠EOD=90°
（2）通过作辅助线如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，同（1）得∠BFE=∠EOD=60°
（3）通过作辅助线如图3，直线与直线所夹的锐角与旋转角互补， 延长，交于点通过证明得，再通过平角的定义和四边形内角和定理，证得；
形成结论：通过问题（1）（2）（3）可以总结出旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补；
（4）通过作辅助线如图：将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，可得，进一步得到△BDF是等边三角形，，再利用勾股定理求得.
【详解】
（1）解：（1）如图1，延长DC交AB于F，交BO于E，
∵α=90°
∴∠BOD=90°
∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=90°
故答案为：90°
（2）如图2，延长DC交AB于F，交BO于E，
∵α=60°
∴∠BOD=60°
∵线段AB绕点O顺时针旋转得线段CD，
∴AB=CD，OA=OC，BO=DO
∴△AOB≌△COD（SSS）
∴∠B=∠D
∵∠B=∠D，∠OED=∠BEF
∴∠BFE=∠EOD=60°
故答案为：60°
（3）直线与直线所夹的锐角与旋转角互补，
延长，交于点
∵线段绕点顺时针旋转得线段，
∴，，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴直线与直线所夹的锐角与旋转角互补；
形成结论：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角相等或互补；
（4）将绕点顺时针旋转，使得与重合，得到，连接，延长，交于点，
∴旋转角为，
∴，，，
∴△BDF是等边三角形，
∵，，
∴，
∴.
本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键．
15、3或
【解析】
分析：先把右边的项移到左边，，根据完全平方公式变形为,根据算术平方根的非负性和偶次方的非负性列方程求出a、b的值，然后分两种情况利用勾股定理求第三边的长.
详解：由=8b-b2-16，
得-8b+b2+16=0，
得+(b-4)2=0.
又∵≥0，且(b-4)2≥0，
∴a-5=0，b-4=0，
∴a=5，b=4，
当a、b为直角边时，
第三边=；
当a为斜边时，
第三边=；
点睛：本题考查了算术平方根的非负性，偶次方的非负性，完全平方公式，勾股定理及分类讨论的数学思想. 分两种情况求解是正确解答本题的关键.
16、（1）养鸡场的长和宽各为15m、10m或20m、7.5m；（2）不能，理由见解析．
【解析】
（1）设养鸡场垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为（35－2x）米，根据矩形面积公式即可列出方程，解方程即得结果；
（2）若能建成，仿（1）题的方法列出方程，再根据一元二次方程的根的判别式检验即可得出结论．
【详解】
解：（1）设养鸡场垂直于墙的一边长为x米，根据题意，得：
=150，解得：，，
当时，==15；
当时，==20；
答：养鸡场的长和宽各为15m、10m或20m、7.5m．
（2）不能．理由如下：
若能建成，设养鸡场垂直于墙的一边长为y米，则有=160，即，
∵，
∴此方程无解，所以无法建成面积为160m2的养鸡场．
本题是一元二次方程的应用问题，主要考查了矩形的面积、一元二次方程的解法和根的判别式等知识，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系列出方程是解题的关键．
17、 (1)∠BAC=75°
(2)
AD=.
【解析】
试题分析：（1）根据三角形内角和定理，即可推出∠BAC的度数；
（2）由题意可知AD=DC，根据勾股定理，即可推出AD的长度．
（1）∠BAC=180°-60°-45°=75°；
（2）∵AD⊥BC，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠C=45°，
∴∠DAC=45°，
∴AD=DC，
∵AC=2，
考点：本题主要考查勾股定理、三角形内角和定理
点评：解答本题的关键是根据三角形内角和定理推出AD=DC．
18、（﹣3，2）
【解析】
先作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．根据矩形的性质及题意得到直线CD′的解析式，即可得到答案.
【详解】
如图，作点D关于直线AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E′．此时△DCE′的周长最小．
∵四边形AOCB是矩形， B（﹣3，5），
∴OA＝3，OC＝5，
∵AD＝2OD，
∴AD＝2，OD＝1，
∴AD′＝AD＝2，
∴D′（﹣5，0），∵C（0，5），
∴直线CD′的解析式为y＝x+5，
∴E′（﹣3，2）．
本题考查矩形的性质和求一元一次方程，解题的关键是掌握矩形的性质和求一元一次方程.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
直接利用三角形面积求法得出函数关系式．
【详解】
解：∵一个三角形的底边长为5，高为h可以任意伸缩，
∴面积S随h变化的函数解析式为：S＝h•5＝h．
故答案为S＝h．
此题主要考查了函数关系式，正确记忆三角形面积是解题关键．
20、．
【解析】
先证明为正三角形，根据直角三角形的特点和三角函数进行计算即可解答
【详解】
菱形的边长为2，，
和都为正三角形，
，，
，而，
，
；
，，
，
即，
为正三角形；
设，
则，
当时，最小，
，
当与重合时，最大，
，
．
故答案为．
此题考查等边三角形的判定与性质和菱形的性质，解题关键在于证明为正三角形
21、1
【解析】
由基本作图得到，平分，故可得出四边形是菱形，由菱形的性质可知，故可得出的长，再由勾股定理即可得出的长，进而得出结论．
【详解】
解：连结，与交于点，
四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
，，．
，
在中，，
．
故答案为：1．
本题考查的是作图基本作图，熟知平行四边形的性质、勾股定理、平行线的性质是解决问题的关键．
22、5
【解析】
解：如图所示．∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=1．
∵∠CAB=90°，BC=3，∴AC=4，∴A′C′=4．
∵点C′在直线y=4x﹣6上，∴4x﹣6=4，解得 x=3．
即OA′=3，∴CC′=3﹣1=4，∴S▱BCC′B′=4×4=5 （cm4）．
即线段BC扫过的面积为5cm4．故答案为5．
23、
【解析】
根据被开方式是非负数列式求解即可.
【详解】
依题意，得，
解得：，
故答案为：．
本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）﹣2x2+300x﹣8800；（2）若每个月的利润为2250元，定价应为65元．
【解析】
（1）设每件商品的售价为x元（x为正整数），则每个月可卖出[100-2（x-60）]件，根据销售利润=每件的利润×销售数量，即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合每个月的利润为2250元，即可得出关于x的一元二次方程，解之取大于等于60小于等于80的值即可得出结论．
【详解】
（1）设每件商品的售价为x元（x为正整数），则每个月可卖出[100﹣2（x﹣60）]件，
∴每个月的销售利润为（x﹣40）[100﹣2（x﹣60）]＝﹣2x2+300x﹣8800；
（2）根据题意得：﹣2x2+300x﹣8800＝2250，
解得：x1＝65，x2＝85（不合题意，舍去）．
答：若每个月的利润为2250元，定价应为65元．
本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据数量关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
25、（1）见解析；（2）①⊙O的半径；②ABC的内心I到点O的距离为.
【解析】
（1）连接AO，证得EACABC=,，则EAO=EAC+CAO=，从而得证；
（2）①设⊙O的半径为r,则OD=r-3，在△AOD中，根据勾股定理即可得出②作出ABC的内心I，过I作AC,BC的垂线，垂足分别为F,G.设内心I到各边的距离为a，由面积法列出方程求解可得答案．
【详解】
(1)如图，连接AO
则EACABC=.
又∵AO=BO,
∴ACO=CAO=
∴EAO=EAC+CAO=AOC +=
∴EA⊥AO
∴直线AE是⊙O的切线；
（2）①设⊙O的半径为r,则OD=r-3，
∵D为AB的中点，
∴OC⊥AB，ADO=，AD=4
∴,即
解得
②如下图，
∵D为AB的中点，
∴
且CO是的平分线，则内心I在CO上，连接AI,BI,过I作AC,BC的垂线，垂足分别为F,G.
易知DI=FI=GI,设其长为a.由面积可知：
即
解得
∴
∴ABC的内心I到点O的距离为
本题考查了圆的切线的判定，垂径定理，圆周角定理等知识，是中考常见题．
26、 (1)∠APB＝90°； (2)△APB的周长是24cm.
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB即可；
（2）求出AD=DP=5，BC=PC=5，求出DC=10=AB，即可求出答案．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，
∴∥ ,∥， ，
∴ ，
又∵和分别平分和，
∴ ，
∴ ；
（2） ∵平分，∥ ，
∴ ，
∴ ，同理： ，
∴ ，
在中， ， ∴ ，
∴△的周长.
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
尺码（厘米）
25
25.5
26
26.5
27
购买量（双）
1
2
3
2
2