安徽省安庆市九一六校2024年九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】

这是一份安徽省安庆市九一六校2024年九年级数学第一学期开学学业质量监测试题【含答案】，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）若点A(2，3)在函数y=kx的图象上，则下列各点在此丽数图象上的是（ ）
A．(1，)B．(2，-3)C．(4，5)D．(-2，3)
2、（4分）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学参加某区“中华魂”主题教育演讲比赛的相关数据：根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加市级比赛，应该选择
A．甲B．乙C．丙D．丁
3、（4分）如图，长方形的高为，底面长为 ，宽为，蚂蚁沿长方体表面，从点到（点 见图中黑圆点）的最短距离是（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）将直线y＝﹣7x+4向下平移3个单位长度后得到的直线的表达式是（ ）
A．y＝﹣7x+7B．y＝﹣7x+1C．y＝﹣7x﹣17D．y＝﹣7x+25
5、（4分）下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）下列成语所描述的事件为随机事件的是（ ）
A．守株待兔B．水中捞月C．瓮中捉鳖D．拔苗助长
7、（4分）如图是一个平行四边形，要在上面画两条相交的直线，把这个平行四边形分成的四部分面积相等，不同的画法有（ ）
A．1种B．2种C．4种D．无数种
8、（4分）如图，第一个图形中有4个“”，第二个图形中有7个“”，第三个图形中有11个“”，按照此规律下去，第8个图形中“”的个数为（ ）.
A．37B．46C．56D．67
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数等于___________.
10、（4分）如图，在中，，，分别是，的中点，在的延长线上，，，，则四边形的周长是____________．
11、（4分）一个不透明的布袋中放有大小、质地都相同四个红球和五个白球，小敏第一次从布袋中摸出一个红球后放回布袋中，接看第二次从布袋中摸球，那么小敏第二次还是摸出红球的可能性为_____．
12、（4分）一组数据为5，7，3，，6，4. 若这组数据的众数是5，则该组数据的平均数是______.
13、（4分）如图是小强根据全班同学喜爱四类电视节目的人数而绘制的两幅不完整的统计图，则喜爱“体育”节目的人数是_____人．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC上，点F在AD上，BE=DF，求证：AE=CF．
15、（8分）在四边形中，是边上一点，点从出发以秒的速度沿线段运动，同时点从出发，沿线段、射线运动，当运动到，两点都停止运动．设运动时间为（秒）：
（1）当与的速度相同，且时，求证：
（2）当与的速度不同，且分别在上运动时（如图1），若与全等，求此时的速度和值；
（3）当运动到上，运动到射线上（如图2），若的速度为秒，是否存在恰当的边的长，使在运动过程中某一时刻刚好与全等，若存在，请求出此时的值和边的长；若不存在，请说明理由．
16、（8分）解方程：（1）(2x+1)2=(x-1)2;（2）x2+4x-7=0
17、（10分）为了宣传2018年世界杯，实现“足球进校园”的目标，任城区某中学计划为学校足球队购买一批足球，已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元．
（1）求A，B两种品牌的足球的单价．
（2）学校准备购进这两种品牌的足球共50个，并且B品牌足球的数量不少于A品牌足球数量的4倍，请设计出最省钱的购买方案，求该方案所需费用，并说明理由．
18、（10分）甲乙两车分别从A．B两地相向而行,甲车出发1小时后乙车出发,并以各自速度匀速行驶,两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶,如图所示是甲乙两车之间的距离S(千米)与甲车出发时间t(小时)之间的函数图象，其中D点表示甲车到达B地，停止行驶。
(1)A、B两地的距离___千米；乙车速度是___；a=___.
(2)乙出发多长时间后两车相距330千米?
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）为了鼓励学生课外阅读，学校公布了“阅读奖励”方案，并设置了“赞成、反对、无所谓”三种意见，现从学校所有2400名学生中随机征求了100名学生的意见，其中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，估计全校持“赞成”意见的学生人数约为______．
20、（4分）判断下列各式是否成立：
=2； =3； =4； =5
类比上述式子，再写出两个同类的式子_____、_____，你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律_____,
21、（4分）如图在△ABC中,AH⊥BC于点H,在AH上取一点D,连接DC，使DA=DC,且∠ADC=2∠DBC,若DH=2,BC=6,则AB=_________________。
22、（4分）如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得，则的度数等于___________.
23、（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，OC=2，则点B的坐标是_______．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知等腰三角形ABC的底边BC＝20cm，D是腰AB上一点，且CD＝16cm，BD＝12cm．
(1)求证：CD⊥AB；
(2)求该三角形的腰的长度．
25、（10分）已知关于x的一元二次方程总有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若此方程的两根均为正整数，求正整数m的值.
26、（12分）某超市销售一种成本为40元千克的商品,若按50元千克销售,一个月可售出500千克,现打算涨价销售,据市场调查,涨价x元时,月销售量为m千克,m是x的一次函数,部分数据如下表：

观察表中数据,直接写出m与x的函数关系式：_______________：当涨价5元时,计算可得月销售利润是___________元；
当售价定多少元时,会获得月销售最大利润，求出最大利润．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
由点A的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征逐一验证四个选项中的点是否在该函数图象上即可得出结论．
【详解】
将A（2，3）代入y=kx，得：3=2k，
∴k=，
∴一次函数的解析式为y=x．
当x=1时，y=×1=，
∴点（1，）在函数y=的图象上；
当x=2时，y=×2=3，
∴点（2，-3）不在函数y=的图象上；
当x=4时，y=×4=6，
点（4，5）不在函数y=的图象上；
当x=-2时，y=×（-2）=-3，
点（-2，3）不在函数y=的图象上．
故选：A．
考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数图象上点的坐标特征逐一验证四个选项中的点是否在该函数图象上是解题的关键．
2、A
【解析】
根据表格中的数据可知，甲、丙的平均成绩较好，再根据方差越小越稳定即可解答本题．
【详解】
由平均数可知，甲和丙成绩较好，
甲的方差小于丙的方差，故甲发挥稳定.
故选A
本题考查方差、算术平均数，解答本题的关键是明确平均数和方差的意义．
3、D
【解析】
分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
详解：根据题意可能的最短路线有6条，重复的不算，可以通过三条来计算比较.（见图示）
根据他们相应的展开图分别计算比较：
图①:；
图②:；
图③:.
∵.
故应选D.
点睛：考查了轴对称-最短路线问题，本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．
4、B
【解析】
根据一次函数的图象平移的法则即可得出结论．
【详解】
解：直线y＝﹣7x+4向下平移3个单位长度后得到的直线的表达式是y＝﹣7x+4﹣3＝﹣7x+1．
故选B．
考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解答此题的关键．
5、A
【解析】
根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】
A、不是中心对称图形，故此选项正确；
B、是中心对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
此题主要考查了中心对称图形，关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6、A
【解析】
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】
解：A、是随机事件，故A符合题意；
B、是不可能事件，故B不符合题意；
C、是必然事件，故C不符合题意；
D、是不可能事件，故D不符合题意；
故选A．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
7、D
【解析】
利用平行四边形为中心对称图形进行判断．
【详解】
解：∵平行四边形为中心对称图形，
∴经过平行四边形的对称中心的任意一条直线可把这个平行四边形分成的四部分面积相等．
故选：D．
本题考查的是中心对称，掌握平行四边形是中心对称图形以及中心对称图形的性质是解题的关键．
8、B
【解析】
设第n个图形有an个“•”（n为正整数），观察图形，根据给定图形中“•”个数的变化可找出变化规律“an=+1（n为正整数）”，再代入n=8即可得出结论．
【详解】
设第n个图形有an个“•”（n为正整数）．
观察图形，可知：a1=1+2+1=4，a2=1+2+3+1=7，a3=1+2+3+4+1=11，a4=1+2+3+4+5+1=16，…，
∴an=1+2+…+n+（n+1）+1=+1（n为正整数），
∴a8=+1=1．
故选：B．
考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“•”个数的变化找出变化规律“an=+1（n为正整数）”是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、30°
【解析】
根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【详解】
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=75°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，
∴∠CAC′=∠BAB′=30°．
故答案为：30°．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10、1
【解析】
根据勾股定理先求出BC的长，再根据三角形中位线定理和直角三角形的性质求出DE和AE的长，进而由已知可判定四边形AEDF是平行四边形，从而求得其周长．
【详解】
解：在Rt△ABC中，
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10，
∵E是BC的中点，
∴AE=BE=5，
∴∠BAE=∠B，
∵∠FDA=∠B，
∴∠FDA=∠BAE，
∴DF∥AE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC=3，
∴四边形AEDF是平行四边形
∴四边形AEDF的周长=2×（3+5）=1．
故答案为：1．
本题考查三角形中位线定理的运用，熟悉直角三角形的性质、等腰三角形的判定以及平行四边形的判定．熟练运用三角形的中位线定理和直角三角形的勾股定理是解题的关键．
11、.
【解析】
小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为，第二次从布袋中摸出一个红球的概率为，据此可得两次摸出的球都是红球的概率．
【详解】
∵小敏第一次从布袋中摸出一个红球的概率为，第二次从布袋中摸出一个红球的概率为，
∴两次摸出的球都是红球的概率为：×=．
故答案为：．
本题主要考查了概率的计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
12、5
【解析】
首先根据众数的定义：是一组数据中出现次数最多的数值，即可得出，进而可求得该组数据的平均数.
【详解】
解：根据题意，可得
则该组数据的平均数为
故答案为5.
此题主要考查众数的理解和平均数的求解，熟练掌握，即可解题.
13、1
【解析】
试题分析：根据喜爱新闻类电视节目的人数和所占的百分比，即可求出总人数；根据总人数和喜爱动画类电视节目所占的百分比，求出喜爱动画类电视节目的人数，进一步利用减法可求喜爱“体育”节目的人数．
5÷1%=50（人），
50×30%=15（人），
50﹣5﹣15﹣20=1（人）．
故答案为1．
考点：条形统计图；扇形统计图.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、见解析
【解析】
根据平行四边形性质得出AD∥BC，且AD=BC，推出AF∥EC，AF=EC，根据平行四边形的判定推出四边形AECF是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE=CF．
本题考查了平行四边形的性质和判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
15、（1）见解析；（2）的速度为3，t的值为2；（3）的长为时，两三角形全等
【解析】
（1）根据SAS即可证明△EBP≌△PCQ．
（2）正确寻找全等三角形的对应边，根据路程，速度，时间的关系即可解决问题．
（3）分两种情形分别构建方程组即可解决问题．
【详解】
（1）由题意：BP=CQ=1×2=2（cm），
∵BC=8cm，BE=6cm，
∴PC=8-2=6（cm），
,,,,
（2）设的速度为，
则，
分两种情况：
①当时，，
即，解得，（舍去）
② 当时，，
即，解得，
Q的速度为3，t的值为2.
（3）设，则，
分两种情况：
①当时，，
即，解得，
②，
即，解得
故：当的长为时，两三角形全等．
本题考查了全等三角形的判定和性质，路程，速度，时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
16、 (1)x1=0，x2=-2；（2）x1=-2+，x2=-2-.
【解析】
分析：（1）用直接开平方法求解即可；（2）根据求根公式：计算即可.
详解：（1）∵(2x+1)2=(x-1)2,
∴2x+1=x-1或2x+1=-(x-1),
∴2x-x=-1-1或2x+1=-x+1,
∴2x-x=--1或2x+1=-x+1,
∴x=-2或x=0，
即x1=0，x2=-2；
（2）x2+4x-7=0
∵a=1,b=4,c=-7,
∴x= ,
∴x1=-2+，x2=-2-.
点睛：本题主要考查的知识点是一元二次方程的解法－直接开平方法和求根公式法．熟练掌握直接开平方法和求根公式法是解答本题的关键，本题属于一道基础题，难度适中．
17、（1）A品牌的足球的单价为40元，B品牌的足球的单价为100元（2）当a＝10，即购买A品牌足球10个，B品牌足球40个，总费用最少，最少费用为4400元
【解析】
（1）设A品牌的足球的单价为x元，B品牌的足球的单价为y元，根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元；购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”列二元一次方程组求解可得；
（2）设购进A品牌足球a个，则购进B品牌足球（50﹣a）个，根据“B品牌足球的数量不少于A品牌足球数量的4倍”列不等式求出a的范围，再由购买这两种品牌足球的总费用为40a+100（50﹣a）＝﹣60a+5000知当a越大，购买的总费用越少，据此可得．
【详解】
解：（1）设A品牌的足球的单价为x元，B品牌的足球的单价为y元，
根据题意，得：
解得：
答：A品牌的足球的单价为40元，B品牌的足球的单价为100元．
（2）设购进A品牌足球a个，则购进B品牌足球（50﹣a）个，
根据题意，得：50﹣a≥4a，
解得：a≤10，
∵购买这两种品牌足球的总费用为40a+100（50﹣a）＝﹣60a+5000，
∴当a越大，购买的总费用越少，
所以当a＝10，即购买A品牌足球10个，B品牌足球40个，总费用最少，最少费用为4400元．
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目中蕴含的相等关系和不等关系，并据此列出方程或不等式．
18、（1）560千米；100；；（2）乙出发0.5小时或3.5小时后两车相距330千米.
【解析】
（1）根据图象，甲出发时的S值即为A、B两地间的距离；先求出甲车的速度，然后设乙车的速度为xkm/h，再利用相遇问题列出方程求解即可；然后求出相遇后甲车到达B地的时间，再根据路程=速度×时间求出两车的相距距离a即可；
（2）设直线BC的解析式为S=kt+b（k≠0），利用待定系数法求出直线BC的解析式，再令S=330，求出t的值，减去1即为相遇前乙车出发的时间；设直线CD的解析式为S=k t+b（k≠0），利用待定系数法求出直线CD的解析式，再令S=330，求出t的值，减去1即为相遇后乙车出发的时间．
【详解】
(1)t=0时，S=560，
所以，A. B两地的距离为560千米；
甲车的速度为：(560−440)÷1=120km/h，
设乙车的速度为xkm/h，
则(120+x)×(3−1)=440，
解得x=100；
相遇后甲车到达B地的时间为：(3−1)×100÷120= 小时，
所以,a=(120+100)× 千米；
(2)设直线BC的解析式为S=k t+b (k≠0)，
将B(1,440),C(3,0)代入得，
，
解得 ，
所以，S=−220t+660，
当−220t+660=330时，解得t=1.5，
所以，t−1=1.5−1=0.5；
直线CD的解析式为S=k t+b (k≠0)，
点D的横坐标为 ，
将C(3,0),D( )代入得，
，
解得 ，
所以,S=220t−660(3⩽t⩽ )
当220t−660=330时，解得t=4.5，
所以，t−1=4.5−1=3.5，
答：乙出发0.5小时或3.5小时后两车相距330千米.
此题考查一次函数的应用，解题关键在于结合函数图象进行解答.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
先求出100名学生中持“赞成”意见的学生人数所占的比例，再用总人数相乘即可．
【详解】
解：∵100名学生中持“反对”和“无所谓”意见的共有30名学生，
∴持“赞成”意见的学生人数=100-30=70名，
∴全校持“赞成”意见的学生人数约=2400×=1（名）．
故答案为：1．
本题考查的是用样本估计总体，先根据题意得出100名学生中持赞成”意见的学生人数是解答此题的关键．
20、
【解析】
类比上述式子，即可两个同类的式子，然后根据已知的几个式子即可用含n的式子将规律表示出来．
【详解】
，
用字母表示这一规律为： ，
故答案为：，.
此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于找到规律.
21、
【解析】
如图，过点B作BE∥DH，并在BE上取BE=2DH，连接ED，EC．并取BE的中点K，连接DK，根据垂直的定义得到∠DHC=90°，由平行线的性质得到∠EBC=90°．由线段垂直平分线的性质得到BK=DH．推出四边形DKBH为矩形，得到DK⊥BE，根据等腰三角形的性质得到DE=DB，∠EDB=2∠KDB，通过△EDC≌△BDA，得到AB=CE，根据勾股定理得到，于是得到结论．
【详解】
解：如图，过点B作BE∥DH，并在BE上取BE=2DH，连接ED，EC．并取BE的中点K，连接DK，
∵DH⊥BC于H，
∴∠DHC=90°，
∵BE∥DH，
∴∠EBC=90°，
∵∠EBC=90°，
∵K为BE的中点，BE=2DH，
∴BK=DH．
∵BK∥DH，
∴四边形DKBH为矩形，DK∥BH，
∴DK⊥BE，∠KDB=∠DBC，
∴DE=DB，∠EDB=2∠KDB，
∵∠ADC=2∠DBC，
∴∠EDB=∠ADC，
∴∠EDB+∠EDA=∠ADC+∠EDA，即∠EDC=∠BDA，
在△EDC、△BDA中，
，
∴△EDC≌△BDA，
∴AB=CE，
∴，
∴AB=．
本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理的运用．关键是根据已知条件构造全等三角形．
22、30°
【解析】
根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
【详解】
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=75°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°-2∠ACC′=180°-2×75°=30°，
∴∠CAC′=∠BAB′=30°．
故答案为：30°．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
23、（2，2）．
【解析】
解：过点B作DE⊥OE于E，
∵矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，
∴∠CAO=30°．
又∵OC=2，∴AC=1．∴OB=AC=1．
又∵∠OBC=∠CAO=30°，DE⊥OE，∠CBA=90°，∴∠OBE=30°．
∴OE=2，BE=OB·cs∠OBE=2．
∴点B的坐标是（2，2）．
故答案为：（2，2）．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见解析；（2）
【解析】
试题分析：根据勾股定理的逆定理直接证明即可.
设腰长为x，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可.
试题解析：
（1）∵BC＝20cm，CD＝16cm，BD＝12cm，满足，
根据勾股定理逆定理可知，∠BDC＝90°，即CD⊥AB；
（2）设腰长为x，则，由上问可知，
即：，解得：腰长.
点睛：勾股定理的逆定理：如果三角形中，两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
25、（1）当m≠0和3时，原方程有两个不相等的实数根；（2）可取的正整数m的值分别为1.
【解析】
（1）利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m≠0且△=[-（m+3）]2-4×m×3=（m-3）2＞0，从而可得到m的范围；
（2）利用求根公式解方程得到x1=1，x2=，利用此方程的两根均为正整数得到m=1或m=3，然后利用（1）的范围可确定m的值．
【详解】
解:(1)由题意得：m≠0且>0，
∴当m≠0和3时，原方程有两个不相等的实数根.
(2)∵此方程的两根均为正整数,即，
解方程得，.
∴可取的正整数m的值分别为1.
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
26、 (1),6750;(2)70元,最大利润为9000元．
【解析】
（1）根据表格数据得出m与x的函数关系式，将x=55代入求出即可；
（2）根据总利润=每千克利润×数量列出函数关系式求解即可．
【详解】
解：设m与x的函数关系式为,
由题意可得,,
解得,,
则m与x的函数关系式为,
当时,,
则月销售利润是元；
故答案为；6750；
解：设月销售的利润为y元,由题意可得,
,
因此,当时,,
此时,售价为元,
所以,当售价定为70元时,会获得月销售最大利润,最大利润为9000元．
此题主要考查了一次函数的应用，以及二次函数的应用，得出二次函数解析式是解题关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
乙
丙
丁
平均数分
90
80
90
80
方差