安徽省合肥市四十五中学2024年九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份安徽省合肥市四十五中学2024年九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共21页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（ ）
A．3 B．2 C． D．4
2、（4分）如图，菱形ABCD中，点M是AD的中点，点P由点A出发，沿A→B→C→D作匀速运动，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）直线y=x－1的图像经过的象限是
A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限
4、（4分）在平行四边形中，若，则下列各式中，不能成立的是（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图，CD是△ABC的边AB上的中线，且CD＝AB，则下列结论错误的是（ ）
A．AD＝BDB．∠A＝30°C．∠ACB＝90°D．△ABC是直角三角形
6、（4分）下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是( )
A．一组对边平行且相等，一个角是直角
B．对角线互相平分且相等
C．有三个角是直角
D．一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等
7、（4分）一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，则该不等式组的解集是（ ）
A．x＞1B．x≥1C．x＞3D．x≥3
8、（4分）下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的四边形是正方形
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣3，x2＝4，则m+n＝_____．
10、（4分）若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是________.
11、（4分）小明利用公式计算5个数据的方差，则这5个数据的标准差的值是_____．
12、（4分）若正比例函数的图象过点和点，当时，，则的取值范围为__________．
13、（4分）已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是__________．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分） (1)
(2)
15、（8分）在平行四边形中，连接、交于点，点为的中点，连接并延长交于的延长线于点．
（1）求证：为的中点；
（2）若，，连接，试判断四边形的形状，并说明理由．
16、（8分）有一个等腰三角形的周长为。
（1）写出底边关于腰长的函数关系式；
（2）写出自变量的取值范围。
17、（10分）如图，已知的三个顶点坐标为，，.
（1）将绕坐标原点旋转，画出旋转后的，并写出点的对应点的坐标 ；
（2）将绕坐标原点逆时针旋转，直接写出点的对应点Q的坐标 ；
（3）请直接写出：以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标 .
18、（10分）如图，在四边形中，，，，为的中点，连接.
（1）求证：四边形是菱形；
（2）连接，若平分，，求的长.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是 ．
20、（4分）用反证法证明命题“三角形中至少有两个锐角”，第一步应假设_____．
21、（4分）如图，□ABCD与□DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为_______°．
22、（4分）写出在抛物线上的一个点________．
23、（4分）在直角梯形中，，如果，，，那么对角线__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2020的直角顶点的坐标为_____．
25、（10分）如图，在四边形ABCD中，，E为BD中点，延长CD到点F，使．
求证：
求证：四边形ABDF为平行四边形
若，，，求四边形ABDF的面积
26、（12分）如图，四边形是正方形，是边所在直线上的点，，且交正方形外角的平分线于点.
（1）当点在线段中点时（如图①），易证，不需证明；
（2）当点在线段上（如图②）或在线段延长线上（如图③）时，（1）中的结论是否仍然成立？请写出你的猜想，并选择图②或图③的一种结论给予证明.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
利用中位线定理，得到DE∥AB，根据平行线的性质，可得∠EDC=∠ABC，再利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到DF=DB，进而求出DF的长．
【详解】
在△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∴∠EDC=∠ABC．
∵BF平分∠ABC，
∴∠EDC=2∠FBD．
在△BDF中，∠EDC=∠FBD+∠BFD，
∴∠DBF=∠DFB，
∴FD=BD=BC=×6=1．
故选：A．
考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定于性质．三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．
2、D
【解析】
根据菱形的性质及三角形面积的计算公式可知当点P在BC边上运动时△APM的高不度面积不变，结合选项马上可得出答案为D
【详解】
解：当点P在AB上运动时，可知△APM的面积只与高有关，而高与运动路程AP有关，是一次函数关系；当点P在BC上时，△APM的高不会发生变化，所以此时△APM的面积不变；
当点P在CD上运动时，△APM的面积在不断的变小，并且它与运动的路程是一次函数关系
综上所述故选：D．
本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围．
3、C
【解析】
直线y=x-1与y轴交于（0，-1）点，且k=1＞0，y随x的增大而增大，
∴直线y=x-1的图象经过第一、三、四象限．故选C．
4、D
【解析】
由于平行四边形中相邻内角互补，对角相等，而∠A和∠C是对角可以求出∠C，∠D和∠B与∠A是邻角故可求出∠D和∠B，由此可以分别求出它们的度数，然后可以判断了．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，∠A+∠B=180°
而∠A=50°，
∴∠C=∠A=50°,∠B=∠D =130°，
∴D选项错误，
故选D.
本题考查平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补；熟练运用这个性质求出其它三个角是解决本题的关键.
5、B
【解析】
根据中线的定义可判断A正确;根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等腰三角形等边对等角可判断C和D正确；根据已知条件无法判断B是否正确.
【详解】
解：∵CD是△ABC的边AB上的中线，
∴AD=BD，故A选项正确；
又∵CD＝AB，
∴AD=CD=BD，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCD，
，故C选项正确；
∴△ABC是直角三角形，故D选项正确；
无法判断∠A＝30°，故B选项错误；
故选：B.
本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理.熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解决此题的关键.
6、D
【解析】
利用矩形的判定定理：①有三个角是直角的四边形是矩形可对C作出判断；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形及有一个角是直角的平行四边形是矩形，可对A作出判断；利用对角线互相平分的四边形是平行四边形，及对角线相等的平行四边形是矩形，可对B作出判断；即可得出答案.
【详解】
解：A.∵ 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，且此四边形有一个角是直角，
∴此四边形是矩形，故A不符合题意；
B、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∵此四边形的对角线相等，
∴此四边形是矩形，故B不符合题意；
C、有三个角是直角的四边形是矩形，故C不符合题意；
D、一组对边平行，另一组对边相等，且对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故D符合题意；
故答案为：D
此题考查了矩形的判定，矩形的判定方法有：有一个角是直角的平行四边形是矩形；三个角都是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形，熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键．
7、C
【解析】
试题解析：一个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图，
则该不等式组的解集是x＞1．
故选C．
考点：在数轴上表示不等式的解集．
8、A
【解析】
逐一对选项进行分析即可.
【详解】
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故该选项正确；
B. 对角线相等且平分的四边形是矩形,故该选项错误；
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形,故该选项错误；
D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形,故该选项错误.
故选：A.
本题主要考查真假命题，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、-1
【解析】
根据根与系数的关系得出-3+4=-m，-3×4=n，求出即可．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程x2+mx+n＝0的两个实数根分别为x1＝﹣3，x2＝4，
∴﹣3+4＝﹣m，﹣3×4＝n，
解得：m＝﹣1，n＝﹣12，
∴m+n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题考查了根与系数的关系的应用，能根据根与系数的关系得出-3+4=-m，-3×4=n是解此题的关键．
10、9
【解析】
设多边形的边数为n，先根据多边形的内角和求出多边形的边数，再根据周长即可求出边长.
【详解】
设多边形的边数为n，由题意得
(n－2)·180°=900°
解得n=7，
则它的边长是63÷7=9.
本题考查的是多边形的内角和，解答的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：(n－2)·180°.
11、
【解析】
先根据平均数的定义求出，再代入公式求出方差，然后求出方差的算术平方根即标准差的值．
【详解】
解：根据题意知，，
则，
．
故答案为．
本题考查了标准差：样本方差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度．也考查了平均数与方差，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12、
【解析】
根据点A和点B的坐标关系即可求出正比例函数的增减性，然后根据增减性与比例系数的关系列出不等式，即可求出m的取值范围．
【详解】
解：∵正比例函数的图象过点和点，且时，，
∴该正比例函数y随x的增大而减小
∴
解得：
故答案为：
此题考查的是正比例函数的增减性，掌握正比例函数的增减性与比例系数的关系是解决此题的关键．
13、
【解析】
直接根据关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数进行解答即可．
【详解】
解：关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为．
故答案为：．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）x1＝−3，x2＝3；（2）x1＝，x2＝1．
【解析】
（1）先移项得到2x（x＋3）−6（x＋3）＝0，然后利用因式分解法解方程；
（2）先把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【详解】
解：（1）2x（x＋3）−6（x＋3）＝0，
（x＋3）（2x−6）＝0，
x＋3＝0或2x−6＝0，
所以x1＝−3，x2＝3；
（2）
2x2＋3x−5＝0，
（2x＋5）（x−1）＝0，
2x＋5＝0或x−1＝0，
所以x1＝，x2＝1．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
15、证明步骤见解析
【解析】
(1)根据平行四边形的性质再结合已知得到△AEF≌△DEC,即可解题,
(2)先证明四边形ACDF是平行四边形,再证明△BCF是等边三角形,即可解题.
【详解】
解(1)在平行四边形中,AB∥CD,
∴∠FAD=∠CDA,AB=CD
∵点为的中点
∴AE=DE,∠AEF=∠DEC,
∴△AEF≌△DEC
∴AF=CD,
∴AB=AF,即为的中点
(2)由(1)知AF=2AB,AF平行且等于CD
∴四边形是平行四边形,
又∵,
∴AF=AD,
∴△BCF是等边三角形,
∴FC=AD,
∴平行四边形是矩形
本题考查了平行四边形的性质,矩形的判定,等边三角形的判定,属于简单题,熟悉各种图形的判定定理是解题关键.
16、（1）； （2）
【解析】
（1）等腰三角形的两个腰是相等的，根据题中条件即可列出腰长和底边长的关系式．
（2）根据2腰长的和大于底边长及底边长为正数可得自变量的取值．
【详解】
（1）∵等腰三角形的两腰相等，周长为30，
∴2x+y=30，
∴底边长y与腰长x的函数关系式为：y=-2x+30；
（2）∵两边之和大于第三边，
∴2x＞y，
∴x＞，
∵y＞0，
∴x＜1，
x的取值范围是：7.5＜x＜1．
本题主要考查对于一次函数关系式的掌握以及三角形性质的应用，判断出等腰三角形腰长的取值范围是解决本题的难点．
17、（1）；（2）；（3）或或.
【解析】
（1）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；
（2）根据题意作出图形，即可根据直角坐标系求出坐标；
（3）根据平行四边形的性质作出图形即可写出.
【详解】
解：（1）旋转后的图形如图所示，点的对应点Q的坐标为：；
（2）如图点的对应点的坐标；
（3）如图以、、为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标为：
或或
此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知图形的旋转作图及平行四边形的性质.
18、（1）详见解析；（2）
【解析】
（1）由，，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；
（2）可证AB＝BC，由勾股定理可求出．
【详解】
（1）∵为中点，∴；
∵，∴；
∵，∴四边形是平行四边形.
∵，为的中点，∴.
∴平行四边形是菱形 .
（2）∵平分，∴；
∵，∴，
∴，∴；
在中，，，．
本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、50°．
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可：
【详解】
∵MN是AB的垂直平分线，∴AD="BD." ∴∠A=∠ABD.
∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°.
∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°.
∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，
解得∠A=50°．
故答案为50°．
20、同一三角形中最多有一个锐角 ．
【解析】
熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【详解】
用反证法证明同一三角形中至少有两个锐角时，第一步应假设同一三角形中最多有一个锐角，
故答案为：同一三角形中最多有一个锐角．
本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
21、
【解析】
∵□ABCD与□DCFE的周长相等，且有公共边CD，
∴AD＝DE，∠ADE＝∠BCF＝60°＋70°＝130°．
∴．
22、（0，﹣4）(答案不唯一）
【解析】
把（0，﹣4）点的横坐标代入函数式，比较纵坐标是否相符，即可解答．
【详解】
将（0，﹣4）代入，
得到 ，
故（0，﹣4）在抛物线上，
故答案为：（0，﹣4）.
此题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键在于把点代入解析式.
23、
【解析】
过点D作交BC于点E，首先证明四边形ABED是矩形，则，进而求出EC的长度，然后在含30°的直角三角形中求出DE的长度，最后利用勾股定理即可求出BD的长度．
【详解】
过点D作交BC于点E，
∵，
，
．
，
，
∴四边形ABED是矩形，
，
．
，
，
，
，
．
故答案为：．
本题主要考查矩形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的判定及性质，含30°的直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8076，0）
【解析】
先利用勾股定理求得AB的长，再找到图形变换规律为：△OAB每连续3次后与原来的状态一样，然后求得△2020的横坐标，进而得到答案.
【详解】
∵A（-3，0），B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
∴△ABC的周长=3+4+5=12，
图形变换规律为：△OAB每连续3次后与原来的状态一样，
∵2020÷3=673…1，
∴△2020的直角顶点是第673个循环组后第一个三角形的直角顶点，
∴△2020的直角顶点的横坐标=673×12=8076，
∴△2020的直角顶点坐标为（8076，0）
故答案为：（8076，0）.
本题主要考查图形的变换规律，勾股定理，解此题的关键在于准确理解题意找到题中图形的变化规律.
25、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．
【解析】
（1）先根据两直线平行内错角相等得出，再根据E为BD中点，和对顶角相等，根据AAS证出≌，从而证出；
（2）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，得出四边形ABCD是平行四边形，证出，，在结合已知条件，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，从而证出结论；
（3）根据平行四边形的对角相等得出，再根据得出，根据勾股定理得出，从而得出四边形ABDF的面积；
【详解】
证明，
，
，，
≌，
；
由可知，，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
，
，，
四边形ABDF为平行四边形；
四边形ABDF为平行四边形，
，AF=BD=2,
，，
，
，
，
根据勾股定理可得： ，
四边形ABDF的面积．
本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识点，熟练掌握相关的知识是解题的关键．
26、（1）见解析；（2）成立，理由见解析.
【解析】
（1）图①在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，证明△AME≌△BCF，从而可得到AE=EF；
（2）图②在AB上取一点M，使AM=EC，连接ME，证明△AME≌△BCF，从而可得到AE=EF；图③在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，然后证明△ANE≌△ECF，从而可得到AE=EF．
【详解】
解：在上取一点，使，连接.
∴.
∴.
∴.
∵是外角的平分线，
∴.
∴.
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
（2）图②结论：.图③结论：.
图②证明：如图②，在上取一点，使，连接.
∴.
∴.
∴.
∵是外角的平分线，
∴.
∴.
∴.
∵，，
∴.
∴.
∴.
图③证明：如图③，在的延长线上取一点，使，连接.
∴.
∴.
∵四边形是正方形，
∴.
∴.
∴.
∴.
∴.
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、正方形的性质的应用等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分