上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份上海市曹杨第二中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了10， 设等内容，欢迎下载使用。
一.填空题(本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)
1. 设.若为纯虚数(i为虚数单位)，则a=__________.
【答案】-2
【解析】
【分析】先将展开化简，然后根据纯虚数的概念来求解的值.
展开,
因为，所以原式可化为.
因为为纯虚数，所以实部，解得.
此时虚部，符合纯虚数的定义.
故答案为：-2
2. 函数的定义域为________.
【答案】.
【解析】
【分析】令即可求出的取值范围，从而可求出函数的定义域.
解：令，即，所以，
故答案为:.
3. 某校高三年级共有学生525名，其中男生294名，女生231名.为了解该校高三年级学生的体育锻炼情况，从中抽取50名学生进行问卷调查.若采用分层随机抽样的方法，则要抽取男生的人数为__________.
【答案】28
【解析】
【分析】由分层抽样的性质结合题意计算即可；
由题意可得，要抽取的男生人数为人.
故答案为：28.
4. 设，若圆的面积为，则__________．
【答案】3
【解析】
【分析】将圆化成标准方程得出半径，根据面积建立等式即可求解．
由题意得圆的标准方程为，
则圆的半径为，
圆的面积为，
解得：，
故答案为：．
5. 在无穷等比数列中，首项，公比，记，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】由题意求得，利用等比数列的求和公式求得，再利用数列极限的运算法则求得的值．
由题意可得，则，
，
故有，
故答案为：．
6. 设，，若函数，的最大值为1，但最小值不为，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性，可得-π3ω>-π2π2ω≥π2，求解可得结果.
详解】当时，，
由题意可知，-π3ω>-π23π2>π2ω≥π2，解得.
故答案为：.
7. 已知m为非零常数．若在的二项展开式中，的系数是的系数的8倍，则m=______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据二项式定理分别求出展开式中含的项，然后根据已知建立方程即可求解．
展开式中含的项为，含的项为，
所以由题意可得，解得.
故答案为：．
8. 设是曲线上一动点，则x+2y的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解极值点与端点值，比较即可求解.
由题意可得，令，则
令g'(x)=1-2sinx(0≤x≤π2)>0,则
令,则
故在单调递增，在单调递减
故
故答案：.
9. 设，，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先分别写出和时的表达式，再分别解这两种情况下的不等式，最后将解集合并.
当时,首先求出的表达式，
因为，根据，而，所以，则.
然后解不等式，即，移项得到.
对于二次函数，其判别式，
且二次项系数，所以恒成立，所以时不等式解为.
当时,求出的表达式，因为，根据的定义.
解不等式，即，移项得到，
因式分解得.解为，又，所以此时不等式解为.
故答案为：.
10. 已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得．
以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
因为等边的边长为6，
所以的内切圆圆心在上，半径，
则，，，，，
所以，，
所以，
所以当时，取得最小值．
故答案为：．
11. 若一个正整数的各位数码从左至右是严格增或严格减的，则称该数为“严格单调数”.在不大于4000的四位数中，“严格单调数”共有__________个.
【答案】112
【解析】
【分析】分成逐渐增大和逐渐减小两种情况，注意先选后排（“严格单调数”选出来不需要排，自动排列）.
先考虑从左往右逐渐增大的情况，因为不超过4000，所以分成千位数取值为1，2，3三种情况考虑：
若千位数为1，则后面百位，十位，个位数字比1大，
从剩下8个数字2,3,4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；
若千位数为2，则后面百位，十位，个位数字比2大，
则从剩下7个数字3,4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；
若千位数为3，则后面百位，十位，个位数字比3大，
则从剩下6个数字4,5,6,7,8,9中选3个不重复的从左到右依次增大，共有种选法；
再考虑从左往右逐渐减小的情况，因为不超过4000，所以千位数取值为3，则后面百位，十位，个位数字比3小，
则从剩下3个数字0,1,2中选3个不重复的从左到右依次减小，共有种选法；
所以一共有个.
故答案：112.
12. 设椭圆的左、右焦点分别为、，直线l经过点，且与Γ交于P、Q两点．若，且，则Γ的长轴长的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用数形结合，设PF2=t,(t>1)，根据椭圆性质，表示出直角三角形三边，利用勾股定理建立等式，再利用基本不等式求最值．
设PF2=t,(t>1)，根据椭圆的性质，则，
，则，，
即，，
整理得：，
当且仅当：，即时，取等号，
为最小值，
故长轴长的最小值，
故答案为：．
二.选择题(本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分)
13. 已知，则“ (k∈Z)，是“”的（）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】分别判断当时的值，以及当时的取值情况.
判断充分性
当时，根据余弦函数的性质，.
所以由能推出，充分性成立.
判断必要性
当时，，满足的不只是，还有情况.
所以由不能推出，必要性不成立.
是的充分非必要条件.
故选：A.
14. 若，且，则必有（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，构造函数，，进而利用导数研究函数的单调性，奇偶性，结合函数性质求解即可.
解：因为，且，
所以，，
令，，
由于，
所以，为偶函数，
因为，当时，，
所以函数在上单调递增，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以.
故选：B
15. 在四棱锥中，底面是边长为的正方形，且，，则该四棱锥的高是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意作图，根据四棱锥的几何性质，利用勾股定理，建立方程，可得答案.
由题意，作平面，垂足为，在平面内，作，
垂足为，取的中点为，连接，如下图所示：
设，
在中，，则，，
在中，，
在中，，
在正方形中，易知，，则，
在中，，在中，，
则，解得.
故选：B.
16. 已知定义在上的函数满足:对任意，都有.若函数的零点个数为有限的n(n∈N)个，则n的最大值是（）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设函数的零点为，结合题设可得，进而求解.
由题意，对任意，都有，
设函数的零点为，
则，即，
所以，即，
设，
则函数为开口向上，对称轴为，且，，
所以函数在上有2个零点，
即函数的零点个数最多为2个.
故选：B.
三.解答题(本大题共有5题，满分78分)
17. 如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1的圆锥，下部是一个底面半径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合.设P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是圆弧AB的中点.
（1）若圆锥的侧面积是圆柱的侧面积，求该几何体的体积；
（2）若圆锥的高为1，求直线PB1与平面PAC所成角的大小.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据圆锥侧面积是圆柱侧面积的求出圆锥的高，再计算几何体的体积.
（2）涉及线面角的概念，线面角是直线与平面所成的角，可通过向量法求解.先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再求出直线的方向向量，最后根据向量夹角公式求出线面角.
【小问1详解】
设圆锥的母线长为，圆锥的高为.
已知圆锥底面半径，圆柱底面半径，圆柱高.
圆锥侧面积，圆柱侧面积.
因为圆锥的侧面积是圆柱的侧面积，所以，解得.
根据圆锥的母线，底面半径，由勾股定理可得圆锥的高.
圆锥体积.
圆柱体积.
该几何体的体积.
【小问2详解】
因为圆锥的高为，底面半径为，所以圆锥的母线长.
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.
则，，，.
，，.
设平面的法向量.
则，令，则，，所以.
设直线与平面所成角为.
则.
所以直线与平面所成角.
18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．设向量，，已知．
（1）求角A的大小；
（2）设D为边上一点，且，若，，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据建立等式，利用正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求解；
（2）在中，由余弦定理求得，再次使用余弦定理求得，利用诱导公式进行求解．
【小问1详解】
，即．
在中，由正弦定理得，
即．
由于B为三角形内角，故，上式即．
由于A为三角形内角，解得．
【小问2详解】
在中，由余弦定理得，
故．
再由余弦定理，得．
因此．
19. 企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成，生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x万台时，每万台产品的销售收入为万元，其中．
（1）若甲企业独家经营，其研发成本为60万元，求甲企业能获得利润的最大值；
（2）若乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．试问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假设甲企业按照原先最大利润的产量生产，并未因乙的加入而改变）
（3）由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益，因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整…，最终双方达到动态平衡(在对方当前产量不变的情况下，己方达到利润最大)，求动态平衡时，两企业各自的产量．
【答案】（1）1965万元
（2）万台
（3）30万台
【解析】
【分析】（1）设甲企业生产该产品产量万台，获得的利润为，则，再结合二次函数的性质即可求出的最大值．
（2）设乙企业生产该产品产量万台，获得的利润为，则，再结合二次函数的性质即可求出的最大值．
（3）设甲、乙企业的产量分别为，万台，各自获得的利润分别为，，则，，利用导数求出，均取得最大值时，的值即可．
小问1详解】
设甲企业的产量为x万台，利润为万元，
则．
故当且仅当时，取最大值1965．
因此当甲企业的产量为45万台时，其获得的利润取最大值1965万元．
【小问2详解】
设乙企业的产量为x万台，利润为万元，
则
故当且仅当时，取最大值．
因此当乙企业的产量为万台时，其获得的利润取最大值万元．
【小问3详解】
设甲、乙企业的产量分别为，万台，各自获得的利润分别为，，
则，
，
动态平衡时，，均取得最大值，
则，，解得，
即动态平衡时，甲、乙企业各自的产量是万台．
20. 已知双曲线的离心率，左顶点，过C的右焦点F作与x轴不重合的直线l，交C于P、Q两点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）求证：直线、的斜率之积为定值；
（3）设，试问：在x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据得出和，再结合即可求解；
（2）设直线，联立双曲线的方程消元，设Px1,y1、Qx2,y2，利用韦达定理建立等式，表示出直线、的斜率之积，通过化简即可求解；
（3）利用条件找到，设，根据计算得出，再利用（2）的等式化简得出，即可证明．
【小问1详解】
设双曲线的半焦距为c．
由题意知．
故，
因此．
【小问2详解】
由题意知．设直线，
与双曲线方程联立得．
设Px1,y1、Qx2,y2，则，
故直线、的斜率之积为
．
【小问3详解】
由题意知，得．
设，则．
即．
由于，上式即，解得．
利用(*)式，得，
因此存在定点满足题目要求．
21. 给定函数y=fx，若点P是曲线y=fx的两条互相垂直的切线的交点，则称点P为函数y=fx的“正交点”.记函数y=fx的所有“正交点”组成的集合为M.
（1）若，求证：；
（2）若，求证：函数y=fx的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线的方程；
（3）设，，记函数y=fx的图像上所有点组成的集合为N.若，求a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）假设存在，求导，利用导数的几何意义推出矛盾即可；
（2）设“正交点”是曲线y=fx在与处切线的交点，求出切线方程即可求出交点坐标，再由切线互相垂直求出即可求解；
（3）设曲线y=fx在处的切线经过点P，则有，代入整理解出，再由两条切线垂直得到并设整理后结合二次函数求解即可；
【小问1详解】
由题意知函数y=fx的定义域，且.
对任意的，都有，因此.
【小问2详解】
设“正交点”是曲线y=fx在与处切线的交点.
由于，故曲线y=fx在与处的切线方程
分别为与.
将两直线方程联立，解得.
由于曲线y=fx在与处的切线互相垂直，有，即.
因此为定值，即点P在定直线上.
【小问3详解】
即过曲线y=fx上任意一点
均无法作曲线y=fx的两条互相垂直的切线.
设曲线y=fx在处的切线经过点P，则有.
将代入上式，并移项整理、因式分解得，
解得或.当两条切线垂直时，有，
整理得，题目条件即上述关于的方程无解.
令，则，
且关于m的方程在区间上无解.
令，则的对称轴为，
因此在区间上无零点即，
解得.
【点睛】关键点点睛：本题全部三问的关键点是理解题意，结合导数、反证法等相关知识解答，以达到转化的目的.