北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

这是一份北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共10小题，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，集合，则（ ）
A.B.C.D.
2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是（ ）
A.B.C.D.
3.设且，则“”是“”成立的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知平面向量，满足，，且，则（ ）
A.12B.4C.D.2
5.若，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知函数的部分图象如图所示，则的值是（ ）
A.B.1C.D.
7.在中，若，，，则的面积是（ ）
A.1B.C.D.
8.已知函数，则不等式的解集是（ ）
A.B.
C.D.
9.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递减，若，且满足，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
10.八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（ ）
图1 图2
①；
②；
③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
A.4B.3C.2D.1
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.
11.函数的定义域是______.
12.设等差数列的前的和为，若，则______.
13.在中，点，满足，，若，则______，______.
14.已知函数，若将其图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称，则的最小值为______.
15.已知函数给出下列四个结论：
①当时，存在唯一的零点；
②当时，存在最小值；
③当时，对任意，，；
④的零点个数为，则函数的值域为；
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（本小题13分）已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当时，求函数的最值及取得最值时自变量的值
17.（本小题14分）设的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）再从以下三组条件中选择一组条件作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.
第①组条件：，；
第②组条件：边上的高，；
第③组条件：，.
18.（本小题14分）设函数.
（1）若，求的值.
（2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值.
条件①：；条件②：；条件③：在区间上单调递减.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计
19.（本小题14分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
（1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
（2）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场数，求的分布列和数学期望；
（3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.
甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系.
20.（本小题15分）
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）设函数，求的单调区间；
（3）判断极值点的个数，并说明理由.
21.（本小题15分）
已知数集，若对任意的，，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质.
（1）分别判断数集与数集是否具有性质，并说明理由；
（2）若数集具有性质.
①当时，证明，且，，成等比数列；
②证明：.
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级10月考试（参考答案）
一.选择题
二.填空题
11. 12.24 13.， 14.， 15.①④
16.（1）
所以，函数的最小正周期为.
解不等式，得，
因此，函数的单调递减区间为；
（2）当时，.
当，即时，函数有最大值，最大值为.
当，即时，函数有最小值，且最小值为.
17.（1）因为，所以由正弦定理得，
又因为，所以，所以，显然，则，
又因为，所以.
（2）若选①，由余弦定理得，即，即，
解得或3，不符合题意；
若选②，因为边上的高，所以，则，
由余弦定理得，即，即，
解得，（舍去），故唯一，符合题意，
此时的面积；
若选③，因为知道角，，边，所以唯一，符合题意，
因为，，所以，
由正弦定理得，
则，
此时的面积.
18.解：（1）因为，，
所以，因为，所以.
（2）因为，，，
所以，，，所以的最大值为1，最小值为.
若选条件①：因为的最大值为1，最小值为，
所以无解，故条件①不能使函数存在；
若选条件②：因为在上单调递增，且，
所以，所以，，
所以，又因为，所以，
所以，，所以，，因为，所以.
所以，；
若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得最小值，即.以下与条件②相同.
19.（1）设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则.
（2）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，所以的所有可能取值为，，.
，，
所以的分布列为
所以.
（3）由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为，还需要进行6场比赛，而甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，所以
，，
故.
20.（1）由题意知，定义域为，所以，
所以直线的斜率，，
所以切线方程为，即.
（2）由（1）知，所以，
令，即；解得或，
当，，当，，当，，所以在，单调递增，在单调递减.
（3）2个极值点，理由如下：
由（2）知当时，在区间上单调递增，
，
所以存在唯一，使；
当时，在区间上单调递减，
，
所以存在唯一，使；
当时，，，
所以
所以在区间无零点；
综上，当，，
当，，当，，
所以当时，取到极小值；当时，取到极大值；
故有2个极值点.
21.（1）数集具有性质，不具有性质，理由如下：
因为，，，，，都属于数集，所以具有性质；
因为，都不属于数集，所以不具有性质.
（2）①当时，，.
因为，所以，，所以与都不属于，
因此，，所以.
因为，且，所以，
且，所以，所以，，成等比数列.
（2）因为具有性质，所以，至少有一个属于，
因为，所以，，因此，.
因为，所以，
故当时，，，，
又因为，
则，，，，，
可得，
所以.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
C
A
C
B
A
D
C
D
C
0
1
2
1
8
2
15
15
5