新疆乌鲁木齐市第十三中学 2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试题

这是一份新疆乌鲁木齐市第十三中学 2024-2025学年上学期第一次月考九年级数学试题，共12页。试卷主要包含了如图，四边形内接于，是的直径等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。考试时不能使用计算器。
2.答题前，考生须将自己的姓名、准考证号、座位号填写在指定的位置上。
3.选择题的每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在问卷上。非选择题必须使用0.5毫米的黑色字迹的签字笔在答题卡上书写，字体工整，笔迹清楚。
4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。超出答题区域或在其它题的答题区域内书写的答案无效。在草稿纸、问卷上答题无效。
一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分）每题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将选项的代号字母填在答卷的相应位置处.
1.下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
2.关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A.图象的开口向下B.当时，随的增大而减小
C.图象顶点坐标为D.图象的对称轴为直线
3.关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A.B.C.且D.且
4.已知抛物线（，，为常数，）的顶点坐标为，与轴的交点在轴上方，下列结论正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.某厂一月份生产某机器200台，计划二、三月份共生产1800台.设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是（ ）
A.B.
C.D.
6.如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接.当点，，在同一条直线上时，下列结论不正确的是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，四边形内接于，是的直径.若，，，则的长为（ ）
A.3B.C.4D.5
8.如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（ ）
A.B.C.D.
9.已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有
（ ）
①；②抛物线的顶点坐标为；
③；④若，则.
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）把答案直接填在答题卡的相应位置处.
10.已知点与点关于原点对称，则__________.
11.已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：________（填“”、“”或“”）.
12.如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则__________°.
13.如图，在一块长为36米，宽为25米的矩形空地上修建三条宽均为米的笔直小道，其余部分（即图中阴影部分）改造为草坪，若草坪的面积为840平方米，根据题意可列方程___________.
14.如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线对称轴上动点，则取最小值时，点坐标是__________.
15.如图，中，，把绕点顺时针旋转到的位置，交直线于点.若，，当线段的长为_______时，是等腰三角形。
三、解答题（本大题共8小题，共90分）解答时应在答题卡的相应位置处写出文字说明、证明过程或演算过程.
16.（12分）解方程：（1）（2）.
17.（10分）如图，在直角坐标平面内，点的坐标为.
（1）图中点点的坐标是________；点关于原点对称的点的坐标是________；点关于轴对称的点的坐标是________；
（2）在图中画出绕着点逆时针旋转后的；
（3）在轴上是否存在点，使得的面积等于的面积，若存在，求出点的坐标。
18.（10分）已知关于的方程.
（1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一根；
（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根。
19.（10分）如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接.
（1）若.则的度数为
（2）若，，求的长。
20.（10分）如图，已知是的直径，点是上一点，连结，，点为的中点，连结交于点.
（1）求证：；
（2）若，，求长.
21.（12分）如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示.若设矩形小花园边的长为，面积为.
（1）与之间是的数关系（填“一次”或“二次”）
（2）求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）
（3）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
22.（12分）如图，在，，该三角形的三个顶点均在坐标轴上.二次函数过，，.
（1）求二次函数的解析式
（2）点为该二次函数第一象限上一点，是否存在点，使的面积为4，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由。
23.（14分）阅读下面材料，并解决问题：

图① 图② 图③
（1）观察猜想：如图①等边内有一点，若点到顶点、、的距离分别为3,4,5，求的度数.为了解决本题，我们可以将绕顶点旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段、、转化到一个三角形中，从而求出________.
（2）操作探究：请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题。已知如图②，中，，，、为上的点且，求证：
（3）能力提升：如图③，在中，，，，点为内一点，连接，，，且，求的值.
2024-2025-1初三第一次月考
数学（答案）
一、选择题
二、填空题
10. 3 11. 12. 13.. 14. 15. 6或5或
三、解答题
16.（12分）解：（1），
；
（2），，
，.
17.（10分）解：（1）由的位置可得：，
点关于原点对称的点的坐标是，
点关于轴对称的点的坐标是
（2）如图即为所画的三角形，（画图2分，结论1分）
（3）
设，
，
解得：或，
或
18.（10分）解：（1）设方程的另一个根为，
则由根与系数的关系得：，，
解得：，，
即，
方程的另一个根为；
（2），
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
（2），，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，，，
，
.
20.（10分）（1）证明：连接，是中点，，
，，
是圆的直径，，，
；
（2）解：设圆的半径是，，，
，，
，，，
，
，.
21.（12分）解：（1）二次
（2），
，
，
与之间的函数关系式为；
（3）由（2）知，，
，
当时，有最大值，最大值为437.5，
答：当时，小花园的面积最大，最大面积是.
22.（12分）解：（1）将，，代入，
，解得
抛物线的解析式为；
（2）设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
过点作轴交于点，
设，则，
，
，
当时，的面积为4
此时.
23.解：（1）；
（2）如图2，把绕点逆时针旋转得到，
由旋转的性质得，，，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，，
，由勾股定理得，，
即.
（3）如图3，将绕点顺时针旋转至处，连接，
在中，，，，
，，
绕点顺时针方向旋转，得到，
，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
、、、四点共线，
在中，，
.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
B
D
C
B
D
C
B
B