上海市实验学校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷
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这是一份上海市实验学校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷,共11页。试卷主要包含了09等内容,欢迎下载使用。
2024.09
一、填空题(本大题共有8小题,每题5分)
1.已知全集且,则_______.
2.请写出一个条件,使得是它的一个必要非充分条件_______.
3.用反证法证明命题“若,则,,都不为0”时,应假设_______.
4.集合的所有元素之和为_______.
5.已知关于的方程恰有一个实数解,则_______.
6.若,则,就称为自倒集合,集合的所有非空子集中,自倒集合的个数为_______.
7.设集合,其中元素均为有理数,集合,求_______.
8.已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合,如果对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则实数的取值范围是_______.
二、选择题(每题5分)
9.已知全集,集合或,那么阴影部分表示的集合为( )
A.B.C.或D.
10.下列结论中不正确的是( )
A.“”是“”的必要不充分条件
B.在中,“”是“为直角三角形”的充要条件
C.若,则“”是“,不全为0”的充要条件
D.“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
11.若是一个非空集合,是一个以的某些子集为元素的集合,且满足:
(1);
(2)对于的任意子集,,当且时,有;
(3)对于的任意子集,.当且时,有,则称是集合的一个“-集合类”.例如:是集合的一个“-集合类”.已知,则所有含的“-集合类”的个数为( )
A.9B.10C.11D.12
12.设集合,集合,若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方,则称为“破晓集”.那么使能分成两个交集为空集的“破晓集”的并集,且这两个破晓集的并集恰为时,的最大值是( )
A.13B.14C.15D.16
三、解答题(本大题满分40分)
13.(本题满分12分)已知关于的一元二次方程.
(1)实数为何值时,方程有两个不同的正根;
(2)实数为何值时,方程有一个正根,一个负根;
(3)实数为何值时,方程有一个根大于2,另一个根小于2;
(4)实数为何值时,方程有一个根大于2,另一个根不大于0.
14.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
关于的不等式组的整数解的集合为.
(1)当时,求集合;
(2)若集合,求实数的取值范围;
(3)若集合中有2024个元素,求实数的取值范围.
15.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
已知集合.
(1)判断是否属于集合;
(2)已知集合,证明:“”是“”的必要非充分条件;
(3)求所有满足集合的偶数,并说明理由.
四、附加题(本题满分20分)
16.(本题满分10分)
(1)设且互不相同时,中至少有一个小于;
(2)设,求证中至少有一个不小于.
17.(本题满分10分)
已知集合,
,其中,定义,若,则称与正交.
(1)若,写出中与正交的所有元素;
(2)令,若,证明:为偶数;
(3)若,且中任意两个元素均正交,分别求出时,中最多可以有多少个元素.
2024-2025学年上海市实验学校高一年级上学期
9月月考数学试卷
2024.09
一、填空题(本大题共有8小题,每题5分)
1【答案】
【解析】由题意知,集合,则.
2.【答案】
【解析】通过小范围推大范围即可得.
3.【答案】假设,,至少有一个为0
【解析】用反证法证明命题“若,则,,都不为0”时,
假设正确的是:假设,,至少有一个为0.
4.【答案】57
【解析】由题意知集合为,则所有元素之和为57.
5.【答案】1
【解析】①(舍,此时解集为空集),
②(舍).
6.【答案】15
【解析】由题意知与与必须成组出现,则自倒集合的个数为.
7.【答案】或
【解析】观察具体的六个数,其中没有互为相反数,由此知的绝对值互不相等
不妨设,则中最小的与次小的两个数分别是及,最大的与次大的两个数分别是及,
从而必须有,
于是,
故,
结合,只可能是,
由此易知,或者,
检验知,这两组解均满足问题的条件,故或.
8.【答案】或
【解析】给出的函数分子分母都是二次三项式,对应的图像都是开口向上的抛物线,若分子分母对应的方程是同解方程,
则,解得,此时函数的值为,
若分子分母对应的方程不是同解方程,要保证对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则需要分子分母的判别式均小于0,即,
解①得;解②得,
所以的范围是,
当时,函数化为,函数定义域为,分母恒大于0,分子的判别式小于0,分子恒大于0,函数值恒正,
综上,对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则实数的取值范围是或.
二、选择题(每题5分)
9.【答案】B
【解析】由Venn图可知,阴影部分的元素为属于当不属于的元素构成,所以用集合表示为,则,则,故选:B.
10.【答案】B
【解析】对于A选项,,
所以“”是“”的必要不充分条件,A选项正确;
对于B选项,充分性:若,则为直角,
所以为直角三角形,充分性成立;
必要性:若为直角三角形,
则“为直角”或“是直角”或“为直角”,
所以“”或“”或“”,
即必要性不成立.
因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件,B选项错误.
对于C选项,充分性:因为,若,则,
所以不成立,所以、不全为0,充分性成立;
必要性:若、不全为0,则,必要性成立.
因此“”是“、不全为0”的充要条件,C选项正确;
对于D选项,充分性:取,则为无理数,但为有理数,即充分性不成立;
必要性:若为无理数,则是无理数,必要性成立.
所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件,D选项正确;
故选:B.
11.【答案】D
【解析】依题意知,中至少含有这几个元素:,将它看成一个整体;
剩余的、、、、;
①、、、、5个中添加0个的集合为,1种,
②、、、、5个中添加1个的集合为,共3种,
③、、、、5个中添加2个的集合共3种,即、;、;、3种添加方式,
④、、、、5个中添加3个的集合共4种,即、、;、、;、、;、、,4种添加方式,
⑤、、、、5个中添加4个的集合共0种,
⑥、、、、添加5个的集合共1种,
综上含的“——集合类”的个数为12种.
故选:D.
12.【答案】B
【解析】假设当时,能分成两个不相交的“破晓集”的并集,设和是两个不相交的“破晓集”使得,
不妨设,则由于,所以,即,
同理可得,可推出,当,这与为“破晓集”矛盾.再证满足要求.
当时,,可以分成2个“破晓集”的并集,
事实上,只要取,
则和都是“破晓集”,且,
当时,集合中除整数外,剩下的数组成集合,可以分为2个“破晓集”的并:.
当时,集合中除整数外,剩下的数组成集合,
可以分为2个“破晓集”的并:.
最后,集合中的数分母都是无理数,它与中的任何其他数的和都不是整数,
因此令,则和是不相交的“破晓集”,且,故的最大值为14,选B.
三、解答题(本大题满分40分)
13.【答案】(1);(2);(3);(4)
【解析】(1)由题意知.
(2)由题意知.
(3)由题意知.
(4)由题意知.
14.【答案】(1);(2);(3)
【解析】(1)当时不等式组为,可化为,解得,满足条件的整数不存在,所以.
(2)由解得或,
因为有唯一整数解,
且的两根为和,
令,解得,
综上,所求的取值范围是.
(3)当时,,所以,解得.
当时,,
所以,解得.
所以实数的取值范围是.
15.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
【答案】(1)8,9属于,10不属于;(2)见解析;(3)见解析
【解析】(1)由于,所以,
由于,所以,
假设,
则,且,
由于,所以或,显然均无整数解,
所以;
(2)证明:集合,则恒有,所以,即一切奇数都属于;
又,所以的充分非必要条件是,
(3)集合成立,
①当和同为奇数和偶数时,均为偶数,所以为4的倍数,
②当和一奇一偶时,和均为奇数,
所以为奇数,
综上所述:所有满足集合的偶数为.
四、附加题(本题满分20分)
16.【答案】(1)见解析;(2)见解析;
【解析】(1)假设均大于等于,
则,
因为且互不相同,所以,
故,
当且仅当,即时,等号成立,
故,这与均大于等于矛盾,
故假设不成立,则且互不相同时,中至少有一个小于.
(2)取依次为1,2,3
有
比较上式两边的系数,得,
所以,
所以.
17.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】(1)中所有与正交的元素为
;
(2)对于,存在,
其中,使得,令,;
当时,;当时,,
那么为偶数;
(3)8个,2个
时,不妨设,
在考虑时,共有四种互相正交的情况,
即,分别与搭配,可形成8种情况,
时,中最多可以有8个元素;
时,不妨设(14个1),(7个1,7个-1),
则与正交,令且它们互相正交,设、、相应位置数字都相同的共有个,除去这列除外,
,相应位置数字都相同的共有个,,相应位置数字都相同的共有个,
则,同理,
可得,由于,
可得矛盾.
任意三个元素都不正交,综上,时,中最多可以有2个元素.