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    上海市实验学校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷

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    上海市实验学校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷

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    这是一份上海市实验学校2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷,共11页。试卷主要包含了09等内容,欢迎下载使用。
    2024.09
    一、填空题(本大题共有8小题,每题5分)
    1.已知全集且,则_______.
    2.请写出一个条件,使得是它的一个必要非充分条件_______.
    3.用反证法证明命题“若,则,,都不为0”时,应假设_______.
    4.集合的所有元素之和为_______.
    5.已知关于的方程恰有一个实数解,则_______.
    6.若,则,就称为自倒集合,集合的所有非空子集中,自倒集合的个数为_______.
    7.设集合,其中元素均为有理数,集合,求_______.
    8.已知函数的定义域是使得解析式有意义的的集合,如果对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则实数的取值范围是_______.
    二、选择题(每题5分)
    9.已知全集,集合或,那么阴影部分表示的集合为( )
    A.B.C.或D.
    10.下列结论中不正确的是( )
    A.“”是“”的必要不充分条件
    B.在中,“”是“为直角三角形”的充要条件
    C.若,则“”是“,不全为0”的充要条件
    D.“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
    11.若是一个非空集合,是一个以的某些子集为元素的集合,且满足:
    (1);
    (2)对于的任意子集,,当且时,有;
    (3)对于的任意子集,.当且时,有,则称是集合的一个“-集合类”.例如:是集合的一个“-集合类”.已知,则所有含的“-集合类”的个数为( )
    A.9B.10C.11D.12
    12.设集合,集合,若的子集中任意两个元素之和不是整数的平方,则称为“破晓集”.那么使能分成两个交集为空集的“破晓集”的并集,且这两个破晓集的并集恰为时,的最大值是( )
    A.13B.14C.15D.16
    三、解答题(本大题满分40分)
    13.(本题满分12分)已知关于的一元二次方程.
    (1)实数为何值时,方程有两个不同的正根;
    (2)实数为何值时,方程有一个正根,一个负根;
    (3)实数为何值时,方程有一个根大于2,另一个根小于2;
    (4)实数为何值时,方程有一个根大于2,另一个根不大于0.
    14.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    关于的不等式组的整数解的集合为.
    (1)当时,求集合;
    (2)若集合,求实数的取值范围;
    (3)若集合中有2024个元素,求实数的取值范围.
    15.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    已知集合.
    (1)判断是否属于集合;
    (2)已知集合,证明:“”是“”的必要非充分条件;
    (3)求所有满足集合的偶数,并说明理由.
    四、附加题(本题满分20分)
    16.(本题满分10分)
    (1)设且互不相同时,中至少有一个小于;
    (2)设,求证中至少有一个不小于.
    17.(本题满分10分)
    已知集合,
    ,其中,定义,若,则称与正交.
    (1)若,写出中与正交的所有元素;
    (2)令,若,证明:为偶数;
    (3)若,且中任意两个元素均正交,分别求出时,中最多可以有多少个元素.
    2024-2025学年上海市实验学校高一年级上学期
    9月月考数学试卷
    2024.09
    一、填空题(本大题共有8小题,每题5分)
    1【答案】
    【解析】由题意知,集合,则.
    2.【答案】
    【解析】通过小范围推大范围即可得.
    3.【答案】假设,,至少有一个为0
    【解析】用反证法证明命题“若,则,,都不为0”时,
    假设正确的是:假设,,至少有一个为0.
    4.【答案】57
    【解析】由题意知集合为,则所有元素之和为57.
    5.【答案】1
    【解析】①(舍,此时解集为空集),
    ②(舍).
    6.【答案】15
    【解析】由题意知与与必须成组出现,则自倒集合的个数为.
    7.【答案】或
    【解析】观察具体的六个数,其中没有互为相反数,由此知的绝对值互不相等
    不妨设,则中最小的与次小的两个数分别是及,最大的与次大的两个数分别是及,
    从而必须有,
    于是,
    故,
    结合,只可能是,
    由此易知,或者,
    检验知,这两组解均满足问题的条件,故或.
    8.【答案】或
    【解析】给出的函数分子分母都是二次三项式,对应的图像都是开口向上的抛物线,若分子分母对应的方程是同解方程,
    则,解得,此时函数的值为,
    若分子分母对应的方程不是同解方程,要保证对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则需要分子分母的判别式均小于0,即,
    解①得;解②得,
    所以的范围是,
    当时,函数化为,函数定义域为,分母恒大于0,分子的判别式小于0,分子恒大于0,函数值恒正,
    综上,对于定义域内的任意实数,函数值均为正,则实数的取值范围是或.
    二、选择题(每题5分)
    9.【答案】B
    【解析】由Venn图可知,阴影部分的元素为属于当不属于的元素构成,所以用集合表示为,则,则,故选:B.
    10.【答案】B
    【解析】对于A选项,,
    所以“”是“”的必要不充分条件,A选项正确;
    对于B选项,充分性:若,则为直角,
    所以为直角三角形,充分性成立;
    必要性:若为直角三角形,
    则“为直角”或“是直角”或“为直角”,
    所以“”或“”或“”,
    即必要性不成立.
    因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件,B选项错误.
    对于C选项,充分性:因为,若,则,
    所以不成立,所以、不全为0,充分性成立;
    必要性:若、不全为0,则,必要性成立.
    因此“”是“、不全为0”的充要条件,C选项正确;
    对于D选项,充分性:取,则为无理数,但为有理数,即充分性不成立;
    必要性:若为无理数,则是无理数,必要性成立.
    所以“为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件,D选项正确;
    故选:B.
    11.【答案】D
    【解析】依题意知,中至少含有这几个元素:,将它看成一个整体;
    剩余的、、、、;
    ①、、、、5个中添加0个的集合为,1种,
    ②、、、、5个中添加1个的集合为,共3种,
    ③、、、、5个中添加2个的集合共3种,即、;、;、3种添加方式,
    ④、、、、5个中添加3个的集合共4种,即、、;、、;、、;、、,4种添加方式,
    ⑤、、、、5个中添加4个的集合共0种,
    ⑥、、、、添加5个的集合共1种,
    综上含的“——集合类”的个数为12种.
    故选:D.
    12.【答案】B
    【解析】假设当时,能分成两个不相交的“破晓集”的并集,设和是两个不相交的“破晓集”使得,
    不妨设,则由于,所以,即,
    同理可得,可推出,当,这与为“破晓集”矛盾.再证满足要求.
    当时,,可以分成2个“破晓集”的并集,
    事实上,只要取,
    则和都是“破晓集”,且,
    当时,集合中除整数外,剩下的数组成集合,可以分为2个“破晓集”的并:.
    当时,集合中除整数外,剩下的数组成集合,
    可以分为2个“破晓集”的并:.
    最后,集合中的数分母都是无理数,它与中的任何其他数的和都不是整数,
    因此令,则和是不相交的“破晓集”,且,故的最大值为14,选B.
    三、解答题(本大题满分40分)
    13.【答案】(1);(2);(3);(4)
    【解析】(1)由题意知.
    (2)由题意知.
    (3)由题意知.
    (4)由题意知.
    14.【答案】(1);(2);(3)
    【解析】(1)当时不等式组为,可化为,解得,满足条件的整数不存在,所以.
    (2)由解得或,
    因为有唯一整数解,
    且的两根为和,
    令,解得,
    综上,所求的取值范围是.
    (3)当时,,所以,解得.
    当时,,
    所以,解得.
    所以实数的取值范围是.
    15.(本题满分14分,第1小题6分,第2小题8分)
    【答案】(1)8,9属于,10不属于;(2)见解析;(3)见解析
    【解析】(1)由于,所以,
    由于,所以,
    假设,
    则,且,
    由于,所以或,显然均无整数解,
    所以;
    (2)证明:集合,则恒有,所以,即一切奇数都属于;
    又,所以的充分非必要条件是,
    (3)集合成立,
    ①当和同为奇数和偶数时,均为偶数,所以为4的倍数,
    ②当和一奇一偶时,和均为奇数,
    所以为奇数,
    综上所述:所有满足集合的偶数为.
    四、附加题(本题满分20分)
    16.【答案】(1)见解析;(2)见解析;
    【解析】(1)假设均大于等于,
    则,
    因为且互不相同,所以,
    故,
    当且仅当,即时,等号成立,
    故,这与均大于等于矛盾,
    故假设不成立,则且互不相同时,中至少有一个小于.
    (2)取依次为1,2,3

    比较上式两边的系数,得,
    所以,
    所以.
    17.【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析.
    【解析】(1)中所有与正交的元素为

    (2)对于,存在,
    其中,使得,令,;
    当时,;当时,,
    那么为偶数;
    (3)8个,2个
    时,不妨设,
    在考虑时,共有四种互相正交的情况,
    即,分别与搭配,可形成8种情况,
    时,中最多可以有8个元素;
    时,不妨设(14个1),(7个1,7个-1),
    则与正交,令且它们互相正交,设、、相应位置数字都相同的共有个,除去这列除外,
    ,相应位置数字都相同的共有个,,相应位置数字都相同的共有个,
    则,同理,
    可得,由于,
    可得矛盾.
    任意三个元素都不正交,综上,时,中最多可以有2个元素.

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