初中数学华东师大版（2024）九年级上册3. 相似三角形的性质教案设计

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一、单选题 （共10题）
1．如图所示，在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，下面各个备选答案的量中，保持不变的量是（ ）
A．角B．边长C．周长D．面积
2．两个相似三角形的相似比是1：4，那么它们的面积比是（ ）
A．1：2B．1：4C．1：16D．1：
3．如图，在 中， ， ， 的周长是 ，则 的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在菱形 中， 是 的中点， ，交 于点 ，如果 ，那么菱形 的周长是（ ）
A．11B．22C．33D．44
5．如图，在 中， ， 于点 ， ， ， ，则 的长是（ ）
A．14B．12.4C．10.5D．9.3
6．如图，在平行四边形 中，点E是边 上一点，且 ， 交对角线 于点F，则 等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图， ，下列说法错误的是（ ）
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点
D．点C与点E是对应位似点 D． 是相似比
8．小刚身高 ，测得他站立在阳光下的影子长为 ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为 ，那么小刚举起的手臂超出头顶（ ）
A． B． C． D．
9．《九章算术》中，有一数学史上有名的测量问题：“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”今译如下：如图，矩形 ，东边城墙 长9里，南边城墙 长7里，东门点 ，南门点 分别位于 ， 的中点， ， ， 里， 经过 点，则 的长为（ ）
A．0.95里B．1.05里C．2.05里D．2.15里
10．如图，已知 ， ， ，点E为射线 上一个动点，连接 ，将 沿 折叠，点B落在点 处，过点 作 的垂线，分别交 ， 于M，N两点，当 为线段 的三等分点时， 的长为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题 （共7题）
11．已知 ，它们的周长分别为 和 ，则 与 面积之比为 .
12．如图，当∠AED= 时，△ADE与△ABC相似.
13．下列命题中，正确命题的个数为 .
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
14．学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身高1.7m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m，则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m.
15．如图，点E，F，G分别在正方形ABCD的边AB，BC，AD上，AF⊥EG.若AB＝5，AE＝DG＝1，则BF＝ .
16．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2 ，AE⊥BC，垂足为点E，延长AE至点D，使AD＝AB，连接CD、BD，若∠ACD＝90°，则BD的长为 ．
17．如图，在矩形 中， ， 为边 上两点，将矩形 沿 折叠，点 恰好落在 上的 处，且 ，再将矩形 沿过点 的直线折叠，使点 落在 上的 处，折痕交 于点 ，将矩形 再沿 折叠， 与 恰好重合，已知 ，则 ．
三、解答题 （共2题）
18．如图，已知 ，求证： .
19．青龙寺是西安最著名的櫻花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放的櫻花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高度（櫻花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在F处竖立了一根标杆 ，小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米；然后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，此时测得小刚的眼睛到地面的距离 米.已知 米， 米， 米，点C、F、H、A在一条直线上，点M在 上， ， ， ， .根据以上测量过程及测量数据，请你求出这棵樱花树 的高度.
四、作图题 （共1题）
20．如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请分别在图1和图2的正方形网格内按下列要求画出格点三角形.
（1）在图1中，画△DEF与△ABC相似，且相似比为 ；
（2）在图2中，画△PQR与△ABC相似，且相似比为 .
五、综合题 （共2题）
21．如图，在 中，D在 上， ， .
（1）求证： ∽ ；
（2）若 ，求 的值.
22．如图，在 中， 的平分线交边 于点 ，交 的延长线于点 ，点 在 上，联结
（1）求证： ；
（2）连结 ，如果 ，且 ，求 的长．
【答案区】
1．【答案】A
【解析】【解答】解：在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相比，角度没有改变，
故答案为：A.
【分析】因为在10倍的放大镜下看到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的性质可知角度没有改变.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是1：4，
∴它们的面积比是1：16.
故答案为：C.
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解答即可.
3．【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
∴ 和 周长之比为1：3.
∵ 的周长是 ，
∴ 的周长为 ，
故答案为：D.
【分析】由 可得 ， 根据相似三角形周长比=相似比可得结果.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ；
故答案为：D.
【分析】根据平行线可证 ，可得 ，由 是 的中点，可得EF是△ACD的中位线，可得CD=2EF=11，利用即可求出结论.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为：C.
【分析】证明 ，可得 ， 据此即可求出CD的长.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形， ，
∴AD∥BC，AD=BC=3ED，
∴∠EDB=∠CBD，∠DEF=∠BCF，
∴△DFE∽△BFC，∴ .
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.
7．【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵BC∥ED，
∴△ADE∽△ABC，
∵△ADE与△ABC对应点的连线相交于一点，对应边平行或在同一条直线上，
∴△ADE与△ABC是位似图形，不符合题意；
B、点A是两个三角形的位似中心，不符合题意；
C、B与D、C与E是对应位似点，不符合题意；
D、AC：AB不是相似比，AE：AC是相似比，符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再对每个选项一一判断求解即可。
8．【答案】B
【解析】【解答】解：设手臂竖直举起时总高度 ，列方程得：
，
解得 ，
，
所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为 ．
故答案为：B．
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，根据等量关系列方程。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：
，
故答案为：B.
【分析】由平行线的性质可得∠DAH=∠EGA，进而证明△AHF∽△GAE，然后根据相似三角形的对应边成比例求解即可.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：当点 为线段 的三等分点时，需要分两种情况讨论：
①如图1，当 时，
∵ ∥ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ．
由折叠的性质可得 ， ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ．
②如图2，当 时，
∵ ∥ ， ， ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ， ．
由折叠的性质可得 ， ．
在 中， ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ∽ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 ．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可得 ， 根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理可得答案。
11．【答案】【第1空】9：1；
【解析】【解答】解：∵ 且它们的周长分别为 和 ，
∴ 与 的相似比为3：1
∴ 与 的面积比为9：1
故答案为：9：1.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似之比，面积之比等于形似比的平方即可得出结果.
12．【答案】【第1空】∠ACB或∠ABC；
【解析】【解答】∵∠BAC＝∠EAD（公共角），
再由∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC，
即可证明，△ADE与△ABC相似，
故答案为：∠ACB或∠ABC.
【分析】由题意可知∠A是公共角，根据“两个角对应相等的两个三角形相似”得∠AED＝∠ACB或∠AED＝∠ABC可求解（答案不唯一）.
13．【答案】【第1空】①；
【解析】【解答】解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：①.
【分析】根据相似多边形的定义逐一判断即可.
14．【答案】【第1空】8.5；
【解析】【解答】解，根据题意得，
∴
∴
∴
故答案为：8.5
【分析】根据题意得 ， 利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
15．【答案】【第1空】；
【解析】【解答】解：∵在正方形ABCD中，AF⊥EG，
∴∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，
∴∠FAB =∠AGE，
又∵∠ABF=∠GAE=90°，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴BF= .
故答案是： .
【分析】利用正方形的性质及垂直的定义可证∠AGE+∠GAM =90°，∠FAB+∠GAM=90°，可推出∠FAB =∠AGE，由此可推出△ABF∽△GAE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出BF的长.
16．【答案】【第1空】；
【解析】【解答】解：设BE＝m ， DE＝n ， 则AE＝2 ﹣n ， CE＝2 ﹣m ，
∵AE⊥BC ， ∠ACD＝90°，
∴∠ACE＋∠EAC＝90°，∠ACE＋∠DCE＝90°，
∴∠EAC＝∠DCE ， ∠AEC＝∠CED ，
∴△AEC∽△CED ，
∴ ，即 ，
∴m 2＋n 2﹣4 m﹣2 n＝﹣20①，
∵AE⊥BC ，
∴AE 2＋BE 2＝AB 2 ， 即（2 ﹣n）2＋m 2＝20，
∴m 2＋n 2＝4 n②，
联立①②得4 n﹣4 m﹣2 n＝﹣20，
∴m＝ n＋ ，代入②得（ n＋ ）2＋n 2＝4 n ，
解得n＝ 或2 （不合题意，舍去），
∴m＝ ，
在Rt△BED中，BD＝ ＝ ＝2 ．
故答案为：2 ．
【分析】设BE＝m ， DE＝n ， 则AE＝2 ﹣n ， CE＝2 ﹣m ， 证明△AEC∽△CED ， 根据相似三角形的性质可得 ， 可得m 2＋n 2﹣4 m﹣2 n＝﹣20①，由勾股定理得出AE 2＋BE 2＝AB 2 ， 可得m 2＋n 2＝4 n②，联立得出m＝ n＋ ，代入②得（ n＋ ）2＋n 2＝4 n ， 即可求出m＝ ，根据勾股定理求出BD的长。
17．【答案】【第1空】；
【解析】【解答】解：由折叠的性质得AE=A'E ， 又AE= ，
∴A'E= ，
∵A'E=A'F ， ∠EA'B=∠EAB=90°，
∴△A'EF为等腰直角三角形，
∴EF= A'E=2，∠EFC'=45°，
∴AF=AE+EF= +2，△ABF为等腰直角三角形，
∴AB=AF= +2，∠ABF=45°，
∴∠ABE=∠HBF=22.5°，
由折叠的性质得∠C'HF=∠DHF ， ∠BHC=∠BHC'，
∴∠BHF=∠BHC'+∠C'HF=90°，
∵∠C'FH=∠BFH ， ∠BHF=∠FC'H=90°，
∴△FHC'∽△FBH ，
同理△ABE∽△FBH ，
∴△FDH∽△EAB，
∴ ，
∵DH=C'H=CH ，
∴DF= AE= ，
∴AD=AF+DF= +2．
故答案为： +2．
【分析】先求出EF= A'E=2，∠EFC'=45°，再求出△FDH∽△EAB，最后计算求解即可。
18．【答案】证明：∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】 根据相似三角形的性质得出 ， ， 从而得出 ， ， 根据两边成比例且夹角相等即证结论.
19．【答案】解：过点D作 于点P，交 于点N，过点M作 于点Q，交 于点K，
由题意可得： ， 米， ， 米， 米.
， ， ，
，
， ，
， .
， .
（米）.
答：这棵樱花树 的高度是8.8米.
【解析】【分析】 过点D作DP⊥AB于点P，交EF于点N，过点M作MQ⊥AB于点Q，交GH于点K，证得△DEN∽△DBP，△GMK∽△BMQ，利用相似三角形的对应边成比例即可求得AB．
20．【答案】
（1）解：如图，△DEF为所求，
（2）解：如图， △PQR为所求，
【解析】【分析】（1）由△ABC的边长分别为1、和 ， 构造△DEF的边长分别为、2和即可；
（2）由△ABC的边长分别为1、和 ， 构造△DEF的边长分别为、和5即可.
21．【答案】
（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据 可得 ， 根据 可得 可得结果；
（2）由（1）可得 ， ，根据相似三角形面积比=相似比的平方可得 ，即可得结果.
22．【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DF，AD∥BC，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠F，
∴AD＝DF，
∵∠GDF＝∠F，
∴△GDF∽△DAF，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠DAF，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴ 是等腰三角形，
∴BA＝BE＝6，
∵BG⊥AE，
∴AG=EG，
∵∠BEA＝∠CEF，
∴∠CEF＝∠F，
∴EC＝CF＝3，DF＝AD＝9，
∴ ，
即AG＝GE＝EF，
∵△GDF∽△DAF，AD=FD，
∴DG=FG，
∴DG= ，
∵ ，
∴ AF2＝81，
∴AF＝ ．
【解析】【分析】（1）先求出 AB∥DF，AD∥BC， 再求出 △GDF∽△DAF， 最后求解即可；
（2）先求出 ∠BEA＝∠BAE， 再求出 DG=FG， 最后求解即可。