华东师大版（2024）八年级上册12.5 因式分解课后作业题

这是一份华东师大版（2024）八年级上册12.5 因式分解课后作业题，共31页。试卷主要包含了下列因式分解正确的是，因式分解，下列式子变形是因式分解的是等内容，欢迎下载使用。
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4﹣3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x2+16＝（x+4）2
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．2x+4y+1＝2（x+2y）+1B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x（x﹣10）＝x2﹣10xD．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4 B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1
C．ax+bx+c＝x（a+b）+c D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
4．将多项式x﹣x3进行因式分解的结果为（ ）
A．x（1﹣x2） B．x（1﹣x）2 C．x（1+x）（1﹣x）D．﹣x（x﹣1）2
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1） B．
C．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1 D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
6．如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值是（ ）
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
7．因式分解：mx2﹣4m＝（ ）
A．m（x2﹣4）B．m（x+2）（x﹣2）
C．mx（x﹣4）D．m（x+4）（x﹣4）
8．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6B．x2﹣5x+5＝x2﹣5（x﹣1）
C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
9．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9＝（x+3）2B．a2+2a+4＝（a+2）2
C．a3﹣4a2＝a2（a﹣4）D．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x）
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
11．把多项式2x2﹣4x+2因式分解的最后结果是（ ）
A．2（x2﹣2x）B．2（x2﹣2x+1）
C．2（x+1）2D．2（x﹣1）2
12．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+2m+1＝（m+1）2 B．m2﹣4m+4＝（m﹣4）2
C．2m2﹣4m＝m（2m﹣4） D．m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n）
13．已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．不确定
14．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．不能确定
15．若a，b，c是三角形的三边长，则代数式a2﹣2ac+c2﹣b2的值（ ）
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．以上三种情况均有可能
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
17．已知△ABC的三边a，b，c满足a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形
18．若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
19．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
20．已知xy＝﹣3，x﹣y＝2，则代数式xy2﹣x2y的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣5D．﹣1
21．已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）
A．57B．120C．﹣39D．﹣150
22．已知a+b＝8．ab＝6，则a2b+ab2的值是（ ）
A．14B．36C．48D．64
23．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x﹣10）（x+8）B．（x+8）（x+1）
C．（x﹣2）（x+4）D．（x+2）（x﹣4）
24．把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（ ）
A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8）
C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8）
25．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2+6x+9
26．已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ）
A．12B．±12C．24D．±24
27．若4x2﹣kx+1能用完全平方公式分解因式，则k＝（ ）
A．﹣4B．4C．﹣4或4D．﹣8或8
28．对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
①a2+b2； ②a2﹣b2； ③﹣a2+b2； ④﹣a2﹣b2．
A．①②B．①④C．③④D．②③
29．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2
A．2B．3C．4D．5
30．下列因式分解不正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）B．x2+4x﹣5＝（x﹣1）（x+5）
C．4x2+4x+1＝（2x+1）2D．x2+2x+3＝（x+1）（x+3）
31．下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A．m2﹣16＝（m﹣4）2B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1
C．m2+1＝（m+1）2D．m2+2m＝m（m+2）
32．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，则△ABC的周长是（ ）
A．3B．6C．8D．12
33．下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．a2+4a+4＝a（a+4）+4
C．a2﹣2a+8＝（a﹣2）（a+4） D．2ax2﹣2ay2＝2a（x+y）（x﹣y）
34．把2xy﹣x2﹣y2分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣y）2B．（﹣x﹣y）2C．﹣（x﹣y）2D．﹣（x+y）2
35．下列因式分解正确的是（ ）
A．a3+a2+a＝a（a2+a） B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）
C．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2） D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
36．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
37．当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（ ）
A．被5整除B．被6整除C．被7整除D．被8整除
38．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
39．若k为任意整数，则（2k+5）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
40．对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（ ）
A．总能被3整除B．总能被4整除
C．总能被6整除D．总能被7整除
41．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）
42．下列因式分解正确的是（ ）
A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a﹣9） B．
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2 D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
43．在因式①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④﹣x2+2x﹣y2；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
44．下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ）
A．16x2﹣9B．（n+1）2﹣4
C．x2+4x﹣4D．（x+y）2﹣2（x+y）+1
45．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．81+18x+x2
二．解答题（共11小题）
46．把下列各式因式分解：
（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）； （2）16x4﹣8x2y2+y4；
（3）（x+2）（x+4）+1； （4）（x2+4）2﹣16x2．
47．阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：分解因式：
x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）
求代数式x2﹣2x﹣3的最小值
x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4
（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式有x2﹣2x﹣3最小值﹣4．
结合以上材料解决下面的问题：
（1）分解因式x2+4x﹣5；
（2）求代数式x2+4x﹣5的最小值；
（3）当a、b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值？最小值是多少？
48．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
x2+2x﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4．
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例如．求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
原式＝2x2+4x﹣6
＝2（x2+2x﹣3）
＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝ ．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是整数，且满足a2+b2＝4a+12b﹣40，求边长c的最小值；
（3）当x，y为何值时，多项式﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
49．阅读材料：
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
（1）因式分解：1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2；
（2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
50．观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
51．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：a3﹣3a2﹣6a+18；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由．
52．阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：
（1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝ ；
（2）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2；
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
53．阅读材料，解决问题：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2﹣6x+8；
（2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣6b﹣4c+17＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
54．阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1进行因式分解的过程．
解：设x2﹣3x＝m，
原式＝（m+4）（m+6）+1，（第一步）
＝m2+10m+25，（第二步）
＝（m+5）2，（第三步）
＝（x2﹣3x+5）2．（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解．
55．阅读理解：
例：因式分解（x2+6x+5）（x2+6x﹣7）+36．
解：设x2+6x＝y．
原式＝（y+5）（y﹣7）+36＝y2﹣2y﹣35+36＝y2﹣2y+1＝（y﹣1）2＝（x2+6x﹣1）2．
解决问题：请你模仿以上例题分解因式：（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9．
56．阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
在因式分解中、多项式中某一部分重复出现时，把这些重复的部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种解题方法称为“换元法”．
下面是小明同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2+4x＝y，则
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2+4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果 ；
（3）请你用换元法对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解．
初二数学 因式分解综合复习一
参考答案与试题解析
一．选择题（共45小题）
1．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9
B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
C．x2﹣4﹣3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
D．x2+16＝（x+4）2
【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、符合因式分解的定义，故本选项符合题意；
C、右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意；
D、变形错误，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．2x+4y+1＝2（x+2y）+1B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x（x﹣10）＝x2﹣10xD．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2
【解答】解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A不合题意；
B、是整式的乘法，故B不合题意；
C、是整式的乘法，故C不合题意；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；
故选：D．
3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4
B．x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1
C．ax+bx+c＝x（a+b）+c
D．a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）
【解答】解：A、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、ax+bx+c＝x（a+b）+c，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
4．将多项式x﹣x3进行因式分解的结果为（ ）
A．x（1﹣x2）B．x（1﹣x）2
C．x（1+x）（1﹣x）D．﹣x（x﹣1）2
【解答】解：x﹣x3
＝x（1﹣x2）
＝x（1+x）（1﹣x），
故选：C．
5．下列因式分解正确的是（ ）
A．2x2﹣2＝2（x2﹣1）
B．
C．x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1
D．﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2
【解答】解：2x2﹣2＝2（x2﹣1），因式分解不彻底，A选项不符合题意；
x2﹣xy＝x（x﹣y），B选项因式分解错误，B选项不符合题意；
x2+x﹣5＝（x﹣2）（x+3）+1错误，没有全部做到因式分解，C选项不符合题意；
﹣x2﹣2xy﹣y2＝﹣（x+y）2，D选项符合题意．
故选：D．
6．如果a、b、c是三角形的三边长，那么代数式a2﹣2ab﹣c2+b2的值是（ ）
A．正数B．负数C．非正数D．非负数
【解答】解：a2﹣2ab﹣c2+b2
＝a2﹣2ab+b2﹣c2
＝（a﹣b）2﹣c2
＝（a+c﹣b）[a﹣（b+c）]，
∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+c﹣b＞0，a﹣（b+c）＜0，
∴a2﹣2ab﹣c2+b2＜0，即a2﹣2ab﹣c2+b2的值是负数，
故选：B．
7．因式分解：mx2﹣4m＝（ ）
A．m（x2﹣4）B．m（x+2）（x﹣2）
C．mx（x﹣4）D．m（x+4）（x﹣4）
【解答】解：原式＝m（m2﹣4）
＝m（m+2）（m﹣2）；
故选：B．
8．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6B．x2﹣5x+5＝x2﹣5（x﹣1）
C．（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6D．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2
【解答】解：A、x2﹣5x+6＝x（x﹣5）+6右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
B、x2﹣5x+5＝x2﹣5（x﹣1）右边不是整式积的形式，故不是分解因式，故本选项错误；
C、（x﹣2）（x﹣3）＝x2﹣5x+6是整式的乘法，故不是分解因式，故本选项错误；
D、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，故本选项正确．
故选：D．
9．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2+9＝（x+3）2B．a2+2a+4＝（a+2）2
C．a3﹣4a2＝a2（a﹣4）D．1﹣4x2＝（1+4x）（1﹣x）
【解答】解：A．x2+9≠x2+6x+9＝（x+3）2，故选项A分解错误；
B．a2+2a+4≠a2+4a+4＝（x+2）2，故选项B解错误；
C．a3﹣4a2＝a2（a﹣4），故选项C分解正确；
D．1﹣4x2＝（1+2x）（1﹣2x）≠（1+4x）（1﹣4x），故选项D分解错误．
故选：C．
10．下列因式分解正确的是（ ）
A．x2﹣4＝（x+4）（x﹣4）B．x2+2x+1＝x（x+2）+1
C．3mx﹣6my＝3m（x﹣6y）D．x2y﹣y3＝y（x+y）（x﹣y）
【解答】解：A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），因此选项A不符合题意；
B．x2+2x+1＝（x+1）2，因此选项B不符合题意；
C.3mx﹣6my＝3m（x﹣2y），因此选项C不符合题意；
D．x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y），因此选项D符合题意；
故选：D．
11．把多项式2x2﹣4x+2因式分解的最后结果是（ ）
A．2（x2﹣2x）B．2（x2﹣2x+1）
C．2（x+1）2D．2（x﹣1）2
【解答】解：2x2﹣4x+2
＝2（x2﹣2x+1）
＝2（x﹣1）2．
故选：D．
12．下列因式分解正确的是（ ）
A．m2+2m+1＝（m+1）2
B．m2﹣4m+4＝（m﹣4）2
C．2m2﹣4m＝m（2m﹣4）
D．m4﹣n4＝（m2+n2）（m2﹣n）
【解答】解：A．m2+2m+1＝（m+1）2，分解正确；
B．m2﹣4m+4＝（m﹣2）2≠（m﹣4）2，原式分解左右不相等，原式分解有分式，故不正确；
C．2m2﹣4m＝2m（m﹣2），原式分解不完全，故不正确；
D．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n）≠（m2+n2）（m2﹣n），原式分解左右不相等，故不正确；
故选：A．
13．已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．锐角三角形D．不确定
【解答】解：∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
ac﹣bc＝（a﹣b）c，
∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）＝（a﹣b）c，
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a、b是△ABC的两边，
∴a+b＞c，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形，
故选：A．
14．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．不能确定
【解答】解：∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，
∴a2﹣2ab+b2＝c（b﹣a），
∴（a﹣b）2＝﹣c（a﹣b），
∴（a﹣b）2+c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，a+c﹣b＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：A．
15．若a，b，c是三角形的三边长，则代数式a2﹣2ac+c2﹣b2的值（ ）
A．小于0
B．大于0
C．等于0
D．以上三种情况均有可能
【解答】解：原式＝（a2﹣2ac+c2）﹣b2
＝（a﹣c）2﹣b2
＝（a﹣c+b）（a﹣c﹣b），
∵a，b，c是三角形的三边，
∴a﹣c+b＞0，a﹣c﹣b＜0，
∴（a﹣c+b）（a﹣c﹣b）＜0，
故选：A．
16．已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+2b2+c2＝2ab+2bc，据此判断△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：∵a2+2b2+c2＝2ab+2bc，
∴a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，即：（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，即：a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形，
故选：B．
17．已知△ABC的三边a，b，c满足a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，则△ABC的形状为（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等边三角形D．等腰直角三角形
【解答】解：∵a（a+c）﹣bc﹣ab＝0，
∴a（a+c）﹣b（a+c）＝0，
（a﹣b）（a+c）＝0，
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，即△ABC的形状为等腰三角形．
故选：A．
18．若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：由题意可知，
2020﹣a＝2021﹣b＝2022﹣c，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
原式＝2×（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）×
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]×
＝（1+4+1）×
＝3．
故选：D．
19．已知a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【解答】解：∵a＝2023x+2022，b＝2023x+2023，c＝2023x+2024，
∴a﹣b＝（2023x+2022）﹣（2023x+2023）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2023
＝﹣1，
a﹣c＝（2023x+2022）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2022﹣2023x﹣2024
＝﹣2，
b﹣c＝（2023x+2023）﹣（2023x+2024）
＝2023x+2023﹣2023x﹣2024
＝﹣1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝3，
故选：D．
20．已知xy＝﹣3，x﹣y＝2，则代数式xy2﹣x2y的值是（ ）
A．﹣6B．6C．﹣5D．﹣1
【解答】解：∵xy＝﹣3，x﹣y＝2，
∴xy2﹣x2y
＝xy（y﹣x）
＝﹣3×（﹣2）
＝6．
故选：B．
21．已知a﹣b＝5，ab＝﹣6，则a3b﹣2a2b2+ab3的值为（ ）
A．57B．120C．﹣39D．﹣150
【解答】解：a3b﹣2a2b2+ab3
＝ab（a2﹣2ab+b2）
＝ab（a﹣b）2，
把a﹣b＝5，ab＝﹣6代入，
ab（a﹣b）2
＝（﹣6）×52
＝﹣150，
故选：D．
22．已知a+b＝8．ab＝6，则a2b+ab2的值是（ ）
A．14B．36C．48D．64
【解答】解：∵a+b＝8，ab＝6，
∴a2b+ab2
＝ab（a+b）
＝6×8
＝48．
故选：C．
23．因式分解（x﹣1）2﹣9的结果是（ ）
A．（x﹣10）（x+8）B．（x+8）（x+1）
C．（x﹣2）（x+4）D．（x+2）（x﹣4）
【解答】解：原式＝[（x﹣1）+3][（x﹣1）﹣3]
＝（x+2）（x﹣4）．
故选：D．
24．把多项式x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8分解因式的结果是（ ）
A．（x﹣y﹣4）（x﹣y+2）B．（x﹣y﹣1）（x﹣y﹣8）
C．（x﹣y+4）（x﹣y﹣2）D．（x﹣y+1）（x﹣y﹣8）
【解答】解：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣8
＝（x2﹣2xy+y2）+2（x﹣y）﹣8
＝（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣8
＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣2），
故选：C．
25．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2+6x+9
【解答】解：x2+6x+9＝（x+3）2，故D符合题意；
故选：D．
26．已知9x2+mxy+16y2能运用完全平方公式因式分解，则m的值为（ ）
A．12B．±12C．24D．±24
【解答】解：∵（3x±4y）2＝9x2±24xy+16y2，
∴在9x2+mxy+16y2中，m＝±24．
故选：D．
27．若4x2﹣kx+1能用完全平方公式分解因式，则k＝（ ）
A．﹣4B．4C．﹣4或4D．﹣8或8
【解答】解：∵4x2﹣kx+1能用完全平方公式分解因式，
∴4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2或4x2+4x+1＝（2x+1）2，
则k＝4或﹣4．
故选：C．
28．对于下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
①a2+b2；
②a2﹣b2；
③﹣a2+b2；
④﹣a2﹣b2．
A．①②B．①④C．③④D．②③
【解答】解：①a2+b2，不能用平方差公式分解；
②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），符合题意；
③﹣a2+b2＝（﹣a+b）（a+b），符合题意；
④﹣a2﹣b2，不能用平方差公式分解．
故选：D．
29．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．
①3x2+3y2②﹣x2+y2③﹣x2﹣y2④x2+xy+y2⑤x2+2xy﹣y2⑥﹣x2+4xy﹣4y2
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：①3x2+3y2两平方项符号相同，不能运用公式；
②﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），两平方项符号相反，能运用平方差公式；
③﹣x2﹣y2两平方项符号相同，不能运用公式；
④x2+xy+y2，乘积项不是二倍，不能运用完全平方公式；
⑤x2+2xy﹣y2两平方项符号相反，不能运用完全平方公式；
⑥﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣y）2，整理后可以利用完全平方公式．
所以②⑥两项能用公式法分解因式．
故选：A．
30．下列因式分解不正确的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）B．x2+4x﹣5＝（x﹣1）（x+5）
C．4x2+4x+1＝（2x+1）2D．x2+2x+3＝（x+1）（x+3）
【解答】解：（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3，故选项A分解正确；
（x﹣1）（x+5）＝x2+4x﹣5，故选项B分解正确；
整式4x2+4x+1利用完全平方公式可分解为（2x+1）2，故选项C分解正确；
（x+1）（x+3）＝x2+4x+3≠x2+2x+3，故选项D分解错误．
故选：D．
31．下列从左到右的变形中，因式分解正确的是（ ）
A．m2﹣16＝（m﹣4）2B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1
C．m2+1＝（m+1）2D．m2+2m＝m（m+2）
【解答】解：A．m2﹣16＝（m+4）（m﹣4）≠（m﹣4）2，原分解错误；
B．m2﹣m+1＝m（m﹣1）+1，分解后的结果不是积的形式，是和的形式，原分解错误；
C．m2+1≠m2+2m+1＝（m+1）2，原分解分解错误；
D．m2+2m＝m（m+2），分解正确，符合题意．
故选：D．
32．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若a2+2ab+b2＝c2+24，a+b﹣c＝4，则△ABC的周长是（ ）
A．3B．6C．8D．12
【解答】解：∵a2+2ab+b2＝c2+24，
∴（a+b）2﹣c2＝24．
∴（a+b+c）（a+b﹣c）＝24．
∵a+b﹣c＝4．
∴a+b+c＝24÷4＝6．
故选：B．
33．下列各式从左到右的变形，是因式分解且正确的是（ ）
A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9
B．a2+4a+4＝a（a+4）+4
C．a2﹣2a+8＝（a﹣2）（a+4）
D．2ax2﹣2ay2＝2a（x+y）（x﹣y）
【解答】解：A、（a﹣3）2＝a2﹣6a+9从左到右的变形是整式的乘法，不符合题意；
B、a2+4a+4＝a（a+4）+4，从左到右的变形不是因式分解，不符合题意；
C、a2﹣2a+8≠（a﹣2）（a+4），故C不是因式分解，不符合题意；
D、2ax2﹣2ay2＝2a（x+y）（x﹣y），从左到右的变形是因式分解，符合题意；
故选：D．
34．把2xy﹣x2﹣y2分解因式，结果正确的是（ ）
A．（x﹣y）2B．（﹣x﹣y）2C．﹣（x﹣y）2D．﹣（x+y）2
【解答】解：2xy﹣x2﹣y2，
＝﹣（x2﹣2xy+y2），
＝﹣（x﹣y）2．
故选：C．
35．下列因式分解正确的是（ ）
A．a3+a2+a＝a（a2+a）
B．a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7）
C．﹣2a2+4a＝﹣2a（a+2）
D．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1
【解答】解：A、a3+a2+a＝a（a2+a+1），故A不符合题意；
B、a2+4a﹣21＝（a﹣3）（a+7），故B符合题意；
C、﹣2a2+4a＝﹣2a（a﹣2），故C不符合题意；
D、x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1，不是因式分解，故D不符合题意；
故选：B．
36．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A．x2+4y2B．﹣x2+4y2C．x2﹣2y+1D．﹣x2﹣4y2
【解答】解：A．x2+4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式；
B．﹣x2+4y2是2y与x的平方的差，能用平方差公式分解因式；
C．x2﹣2y+1是三项不能用平方差公式分解因式；
D．﹣x2﹣4y2两项的符号相同，不能用平方差公式分解因式．
故选：B．
37．当n为自然数时，（n+1）2﹣（n﹣3）2一定能（ ）
A．被5整除B．被6整除C．被7整除D．被8整除
【解答】解：（n+1）2﹣（n﹣3）2＝n2+2n+1﹣n2+6n﹣9＝8n﹣8＝8（n﹣1），
∴能被8整除，
故选：D．
38．若k为任意整数，则（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【解答】解：（2k+3）2﹣（2k﹣2）2
＝[（2k+3）+（2k﹣2）][（2k+3）﹣（2k﹣2）]
＝（2k+3+2k﹣2）（2k+3﹣2k+2）
＝5（4k+1），
∴（2k+3）2﹣（2k﹣2）2的值总能被5整除．
故选：C．
39．若k为任意整数，则（2k+5）2﹣4k2的值总能（ ）
A．被2整除B．被3整除C．被5整除D．被7整除
【解答】解：（2k+5）2﹣4k2＝（2k+5）2﹣（2k）2
＝（2k+5+2k）（2k+5﹣2k）
＝5（4k+5），
因此，该式总能被5整除．
故选：C．
40．对于任意自然数n，关于代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值，说法错误的是（ ）
A．总能被3整除B．总能被4整除
C．总能被6整除D．总能被7整除
【解答】解：∵（n+7）2﹣（n﹣5）2
＝[（n+7）+（n﹣5）][（n+7）﹣（n﹣5）]
＝（n+7+n﹣5）（n+7﹣n+5）
＝（2n+2）×12
＝24（n+1），
∴代数式（n+7）2﹣（n﹣5）2的值一定能被24整除，
∴（n+7）2﹣（n﹣5）2的值一定能被3或4或6整除，
故选：D．
41．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（ ）
A．a（x﹣2）2B．a（x+2）2
C．a（x﹣4）2D．a（x+2）（x﹣2）
【解答】解：ax2﹣4ax+4a，
＝a（x2﹣4x+4），
＝a（x﹣2）2．
故选：A．
42．下列因式分解正确的是（ ）
A．a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a﹣9）
B．
C．x2﹣2x+4＝（x﹣2）2
D．4x2﹣y2＝（4x+y）（4x﹣y）
【解答】解：A、a4b﹣6a3b+9a2b＝a2b（a2﹣6a+9）＝a2b（a﹣3）2，故错误，不合题意；
B、，故正确，符合题意；
C、x2﹣2x+4≠（x﹣2）2，故C错误，不合题意；
D、4x2﹣y2＝（2x+y）（2x﹣y），故错误，不合题意；
故选：B．
43．在因式①﹣x2﹣y2；②；③a2+ab+b2；④﹣x2+2x﹣y2；⑤中，能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①﹣x2﹣y2＝﹣（x2+y2），不能用公式法分解因式，不符合题意；
②，能用公式法分解因式，符合题意；
③a2+ab+b2，不能用公式法分解因式，不符合题意；
④﹣x2+2x﹣y2，不能用公式法分解因式，不符合题意；
⑤，能用公式法分解因式，符合题意；
综上所述，能用公式法分解因式的有②⑤，共2个，
故选：A．
44．下列多项式不能用公式法因式分解的是（ ）
A．16x2﹣9B．（n+1）2﹣4
C．x2+4x﹣4D．（x+y）2﹣2（x+y）+1
【解答】解：A、16x2﹣9＝（4x+3）（4x﹣3），能用公式法因式分解，故不符合题意；
B、（n+1）2﹣4＝（n+1+4）（n+1﹣4）＝（n+5）（n﹣3），能用公式法因式分解，故不符合题意；
C、x2+4x﹣4不能用公式法因式分解，故符合题意；
D、（x+y）2﹣2（x+y）+1＝（x+y﹣1）2，能用公式法因式分解，故不符合题意；
故选：C．
45．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．81+18x+x2
【解答】解：A、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
B、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
C、x2+2x+1能用完全平方公式进行因式分解，∴不符合题意；
D、81+18x+x2＝（9+x）2，∴符合题意；
故选：D．
二．解答题（共11小题）
46．把下列各式因式分解：
（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）；
（2）16x4﹣8x2y2+y4；
（3）（x+2）（x+4）+1；
（4）（x2+4）2﹣16x2．
【解答】解：（1）a2（x﹣y）+b2（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣b2（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣b2）
＝（x﹣y）（a+b）（a﹣b）；
（2）16x4﹣8x2y2+y4；
＝（4x2﹣y2）2；
＝（2x+y）2（2x﹣y）2；
（3）（x+2）（x+4）+1
＝x2+6x+8+1
＝x2+6x+9
＝（x+3）2；
（4）（x2+4）2﹣16x2．
＝（x2+4）2﹣（4x）2
＝（x2+4x+4）2（x2﹣4x+4）2
＝（x+2）2（x﹣2）2．
47．阅读材料：教科书中提到a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式不是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：分解因式：
x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）
求代数式x2﹣2x﹣3的最小值
x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4
（x﹣1）2≥0，∴当x＝1时，代数式有x2﹣2x﹣3最小值﹣4．
结合以上材料解决下面的问题：
（1）分解因式x2+4x﹣5；
（2）求代数式x2+4x﹣5的最小值；
（3）当a、b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值？最小值是多少？
【解答】解：（1）x2+4x﹣5
＝（x2+4x+4）﹣9
＝（x+2）2﹣32
＝（x+2+3）（x+2﹣3）
＝（x+5）（x﹣1）；
（2）x2+4x﹣5＝（x2+4x+4）﹣9＝（x+2）2﹣9．
∵（x+2）2≥0，
∴（x+2）2最小值为0．
∴x2+4x﹣5的最小值为﹣9；
（3）a2﹣2ab+2b2+4b+2024＝（a2﹣2ab+b2）+（b2+4b+4）+2020＝（a﹣b）2+（b+2）2+2020．
∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0，
∴（a﹣b）2最小值为0，（b+2）2的最小值为0．
∴a﹣b＝0，b+2＝0，
∴a＝﹣2，b＝﹣2时，a2﹣2ab+2b2+4b+2024有最小值，最小值为2020．
48．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
x2+2x﹣3
＝（x2+2x+1）﹣4．
＝（x+1）2﹣22
＝（x+1+2）（x+1﹣2）
＝（x+3）（x﹣1）
例如．求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
原式＝2x2+4x﹣6
＝2（x2+2x﹣3）
＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8．
（1）分解因式：a2﹣2a﹣3＝ （a﹣3）（a+1） ．
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是整数，且满足a2+b2＝4a+12b﹣40，求边长c的最小值；
（3）当x，y为何值时，多项式﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7有最大值？并求出这个最大值．
【解答】解：（1）a2﹣2a﹣3
＝a2﹣2a+1﹣4
＝（a﹣1）2﹣4
＝（a﹣1﹣2）（a﹣1+2）
＝（a﹣3）（a+1）；
故答案为：（a﹣3）（a+1）；
（2）∵a2+b2＝4a+12b﹣40，
∴a2﹣4a+4+b2﹣12b+36＝0，
即（a﹣2）2+（b﹣6）2＝0，
∴a＝2，b＝6，
∵a、b、c是△ABC的三边长，
∴4＜c＜8，
∵a、b、c都是整数，
∴边长c的最小值为5；
（3）∵﹣x2+2xy﹣2y2+6y+7
＝﹣（x2﹣2xy+2y2﹣6y﹣7）
＝﹣（x2﹣2xy+y2+y2﹣6y+9﹣16）
＝﹣[（x﹣y）2+（y﹣3）2﹣16]
＝﹣（x﹣y）2﹣（y﹣3）2+16
∵（x﹣y）2≥0，（y﹣3）2≥0，
∴﹣（x﹣y）2≤0，﹣（y﹣3）2≤0，
∴当x＝y＝3时，代数式有最大值，最大值为16．
49．阅读材料：
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再将“A”还原，可以得到：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，问题解决：
（1）因式分解：1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2；
（2）因式分解：（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9；
（3）证明：若n为正整数，则代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
【解答】解：（1）令x﹣y＝A，
1+6（x﹣y）+9（x﹣y）2＝1+6A+9A2
＝（1+3A）2，
将“A”还原，可以得到：
原式＝（1+3x﹣3y）2；
（2）令a2﹣4a＝B，
则（a2﹣4a+1）（a2﹣4a+7）+9
＝（B+1）（B+7）+9
＝B2+8B+16
＝（B+4）2，
将“B”还原，可以得到：
原式＝（a2﹣4a+4）2
＝（a﹣2）4；
（3）（n+1）（n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n+2）（n2+3n）+1
＝（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
＝（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1正整数．
∴（n+1）（n+2）（n2+3n）+1＝（n2+3n+1）2，
即代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某个整数的平方．
50．观察下面的因式分解过程：
am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）
利用这种方法解决下列问题：
（1）因式分解：2a+6b﹣3am﹣9bm
（2）△ABC三边a，b，c满足a2﹣ac﹣ab+bc＝0，判断△ABC的形状．
【解答】解：（1）2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a+6b）﹣（3am+9bm）
＝2（a+3b）﹣3m（a+3b）
＝（a+3b）（2﹣3m）；
或 2a+6b﹣3am﹣9bm
＝（2a﹣3am）+（6b﹣9bm）
＝a（2﹣3m）+3b（2﹣3m）
＝（2﹣3m）（a+3b）；
（2）∵a2﹣ac﹣ab+bc＝0，
∴（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc）＝0，
∴a（a﹣c）﹣b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣b）＝0，
∴a﹣c＝0或a﹣b＝0，
∴a＝c 或 a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
51．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“m2﹣mn+2m﹣2n”，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式，然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为m2﹣mn+2m﹣2n＝（m2﹣mn）+（2m﹣2n）＝m（m﹣n）+2（m﹣n）＝（m﹣n）（m+2）．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：
（1）分解因式：a3﹣3a2﹣6a+18；
（2）已知m+n＝5，m﹣n＝1，求m2﹣n2+2m﹣2n的值；
（3）△ABC的三边a，b，c满足a2+ab+c2﹣bc＝2ac，判断△ABC的形状并说明理由．
【解答】解：（1）a3﹣3a2﹣6a+18
＝a2（a﹣3）﹣6（a﹣3）
＝（a﹣3）（a2﹣6）；
（2）m2﹣n2﹣2n+2m
＝（m2﹣n2）﹣（2n﹣2m）
＝（m+n）（m﹣n）﹣2（n﹣m）
＝（m+n）（m﹣n）+2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m+n+2），
∵m+n＝5，m﹣n＝1，
∴原式＝1×（5+2）＝7；
（3）△ABC是等腰三角形，理由如下：
∵a2+ab+c2﹣bc＝2ac，
∴a2﹣2ac+c2+（ab﹣bc）＝0，
∴（a﹣c）2+b（a﹣c）＝0，
∴（a﹣c）（a﹣c+b）＝0，
∵a﹣c+b＞0，∴a﹣c＝0，即a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
52．阅读材料：要将多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（m+n）（a+b）．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法回答下列问题：
（1）尝试填空：2x﹣18+xy﹣9y＝ （x﹣9）（2+y） ；
（2）解决问题：因式分解：ac﹣bc+a2﹣b2；
（3）拓展应用：已知三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，试判断这个三角形的形状，并说明理由．
【解答】解：（1）原式＝（2x﹣18）+（xy﹣9y）
＝2（x﹣9）+y（x﹣9）
＝（x﹣9）（2+y），
故答案为：（x﹣9）（2+y）；
（2）原式＝（ac﹣bc）+（a2﹣b2）
＝c（a﹣b）+（a+b）（a﹣b）
＝（a﹣b）（a+b+c）；
（3）这个三角形是等边三角形，理由如下：
a2﹣2ab+2b2﹣2bc+c2＝0，
（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）＝0，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b﹣c）2≥0，
∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，
a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴这个三角形是等边三角形．
53．阅读材料，解决问题：
【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式x2+2x﹣3．原式＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣1﹣3＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）．
【材料2】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：把x+y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将A＝x+y重新代入，得：原式＝（x+y+1）2．
上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，利用配方法进行因式分解：x2﹣6x+8；
（2）根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4；
（3）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣4a﹣6b﹣4c+17＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
【解答】解：（1）x2﹣6x+8
＝x2﹣6x+9﹣9+8
＝（x﹣3）2﹣1
＝（x﹣3+1）（x﹣3﹣1）
＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）设A＝x﹣y，
（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4
＝A2﹣4A+4
＝（A﹣2）2
∴（x﹣y）2﹣4（x﹣y）+4＝（x﹣y﹣2）2；
（3）△ABC是等腰三角形．理由如下：
a2+b2+c2﹣4a﹣6b﹣4c+17＝0，
∴a2﹣4a+4+b2﹣6b+9+c2﹣4c+4＝0，
∴（a﹣2）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣3＝0，c﹣2＝0，
得，a＝2，b＝3，c＝2．
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形．
54．阅读下列材料：
整体思想是数学解题中常用的一种思想方法：
下面是某同学对多项式（x2﹣3x+4）（x2﹣3x+6）+1进行因式分解的过程．
解：设x2﹣3x＝m，
原式＝（m+4）（m+6）+1，（第一步）
＝m2+10m+25，（第二步）
＝（m+5）2，（第三步）
＝（x2﹣3x+5）2．（第四步）
回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是 C ．
A．提取公因式
B．平方差公式
C．完全平方公式
（2）请你模仿以上方法尝试对多项式（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4进行因式分解．
【解答】解：（1）∵第二步到第三步符合完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，
∴该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是完全平方公式，
故选：C．
（2）设a2﹣4a＝n，
∴（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4
＝（n+2）（n+6）+4
＝n2+8n+12+4
＝n2+8n+16
＝（n+4）2
＝（a2﹣4a+4）2
＝（a﹣2）4．
55．阅读理解：
例：因式分解（x2+6x+5）（x2+6x﹣7）+36．
解：设x2+6x＝y．
原式＝（y+5）（y﹣7）+36＝y2﹣2y﹣35+36＝y2﹣2y+1＝（y﹣1）2＝（x2+6x﹣1）2．
解决问题：请你模仿以上例题分解因式：（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9．
【解答】解：设x2﹣4x＝y，
（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9
＝（y+1）（y+7）+9
＝y2+8y+7+9
＝y2+8y+16
＝（y+4）2
＝（x2﹣4x+4）2
＝[（x﹣2）2]2
＝（x﹣2）4．
56．阅读以下材料，并按要求完成相应任务：
在因式分解中、多项式中某一部分重复出现时，把这些重复的部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种解题方法称为“换元法”．
下面是小明同学用换元法对多项式（x2+4x+1）（x2+4x+7）+9进行因式分解的过程．
解：设x2+4x＝y，则
原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）
＝y2+8y+16（第二步）
＝（y+4）2（第三步）
＝（x2+4x+4）2（第四步）
请根据上述材料回答下列问题：
（1）小明同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的 C ；
A．提取公因式法
B．平方差公式法
C．完全平方公式法
（2）老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果 （x+2）4 ；
（3）请你用换元法对多项式（x2﹣6x+8）（x2﹣6x+10）+1进行因式分解．
【解答】解：（1）y2+8y+16＝（y+4）2，利用了完全平方公式法因式分解；
故选：C；
（2）（x2+4x+4）2
＝[（x+2）2]2
＝（x+2）4；
（3）设x2﹣6x＝y，则：
原式＝（y+8）（y+10）+1
＝y2+18y+80+1
＝y2+18y+81
＝（y+9）2
＝（x2﹣6x+9）2
＝[（x﹣3）2]2
＝（x﹣3）4．