上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份上海市建平中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分；
（2）请认真答卷，并用规范汉字书写．
一、填空题：（本大题共12题，满分54分．其中第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 圆在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出切点与圆心连线的斜率后可得切线方程.
由题意可知：圆的圆心为O0,0，
因为点在圆上，故切线必垂直于切点与圆心连线，
而切点与圆心连线的斜率为，故切线的斜率为，
故切线方程为：，即.
故答案为：
2. 抛物线的焦点坐标是______.
【答案】
【解析】
【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.
因为抛物线方程，焦点坐标为，且，
所以焦点坐标为，
故答案为：.
3. 已知函数的定义域是，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数的定义域为可得对恒成立，对参数的取值范围分类讨论，分别求出对应的范围，进而得出结果.
因为函数的定义域为，所以对恒成立，
当时，，符合题意；
当时，由，解得；
当时，显然不恒大于或等于0．
综上所述，的取值范围是.
故答案为：.
4. 已知，是椭圆的两个焦点，过的直线交此椭圆于，两点．若，则____________；
【答案】4
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程，求出的值，由的周长是，由此求出．
因为，
所以.
故答案为：4
【点睛】本题考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用椭圆的定义是解题的关键．
5. 双曲线的焦距是10，则实数的值为______．
【答案】或
【解析】
【分析】分类讨论和，由题意可得出或，解方程即可得出答案.
若，则双曲线，
，所以焦距，
解得：.
若，则双曲线，
，所以焦距为，
解得：.
故答案为：或
6. 设集合，是双曲线，则______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出集合，由交集的定义求解即可.
，
若表示双曲线，则，解得：，
所以，所以.
故答案为：
7. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，点，双曲线的渐近线上存在一点，使得顺次连接构成平行四边形，则双曲线的离心率为______．
【答案】3
【解析】
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质可得，再判断点在渐近线，将点坐标代入渐近线方程化简可求出离心率.
由题意得，双曲线的渐近线方程为，
因为四边形为平行四边形，所以与互相平分，
因为的中点坐标为，所以的中点坐标为，
因为，所以点，
因为，所以点在渐近线上，
所以，化简得，
所以离心率.
故答案为：3
8. 设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可.
椭圆的参数方程为（为参数），
则可设点,
所以矩形的面积为，
所以，
因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号成立，
故矩形面积的最大值为1.
故答案为：1.
9. 若直线ax+y+b﹣1＝0（a＞0，b＞0）过抛物线y2＝4x的焦点F，则的最小值是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】由抛物线，可得焦点，代入直线方程可得
，再利用“乘法”与基本不等式即可求解.
由抛物线，可得焦点，
代入直线方程可得：
又
当且仅当时取等号.
的最小值为
故答案为：
【点睛】本题主要考查抛物线的性质以及基本不等式求最值，需掌握抛物线的性质，属于基础题.
10. 已知抛物线对称轴为轴．若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，则该抛物线的标准方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先平移直线，至与抛物线相切时，此时点到直线的距离最短，利用平行线距离公式求得切线方程，再利用直线与抛物线的位置关系，即可求解.
如图，若抛物线上的动点到直线的最短距离为1，即抛物线的焦点在轴的负半轴，
设抛物线方程为，如图，平移直线，当直线与抛物线相切时，此时切点到直线的距离为最小值1，
设切线方程为，切点到直线的距离为平行线间的距离，
即，得或（舍），所以切线方程为，
联立，得，，得或（舍），
所以抛物线方程为.
故答案为：
11. 坐标平面上一点到点，及到直线的距离都相等．如果这样的点有且只有两个，那么实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可知，点在抛物线上，因为点有且只有两个，联立方程组，根据方程根的个数求解.
由题意可知，点在以为焦点，为准线的抛物线上，同时在线段的垂直平分线上，
因为这样的点有且只有两个，则线段的中垂线与抛物线有两个交点，
即线段的中点坐标为，线段中垂线的斜率为，则中垂线方程为，
联立，化简得，，
由Δ=b2-4ac=8a3-8a2+24a+40>0，即，
因式分解为：，解得，
又因为，所以实数的取值范围是.
故答案为：
12. 已知函数，其中，的最大值为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】考虑，1，0的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值．
函数，当时，的最大值为，
可得，，，
可得,,，
，
即，即有，则的最小值为，
当且仅当取等号，
故答案：.
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 方程的两个根可分别作为（）
A. 椭圆和双曲线的离心率B. 两双曲线的离心率
C. 两椭圆的离心率D. 以上皆错
【答案】A
【解析】
【分析】求出方程的根，根据椭圆和双曲线的离心率取值范围得到.
由方程解得，
，因为椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
故可以作为双曲线和椭圆的离心率.
故选：A
14. “”是“圆与坐标轴有四个交点”的（）
A. 充分非必要条件；B. 必要非充分条件；
C. 充要条件；D. 非充分非必要条件．
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆位置关系的几何意义即可判断.
由，可以表示为点在圆的距离的内部，此时圆与坐标轴有四个交点，则充分性成立；
反之，由圆的方程可知，圆心为，半径为，则要使圆与坐标轴有四个交点，则，则，则必要性不成立，
故“”是“圆成立的充分不必要条件.
故选：A
15. 已知方程的根大于，则实数满足（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用换元，令，将问题转化为过定点的直线与抛物线的交点问题，即可求解.
令，原方程转化，
问题转化为过定点的直线与实轴在轴上的双曲线的交点的横坐标要大于的问题，
因为直线过，所以只需要保证直线和右支相交，而与左支不相交，即可，
观察图形，可以发现两条渐近线的斜率是临界情况，所以.
故选：A
16. 设曲线E的方程为1，动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n）在E上，对于结论：①四边形ABCD的面积的最小值为48；②四边形ABCD外接圆的面积的最小值为25π.下面说法正确的是（）
A. ①错，②对B. ①对，②错C. ①②都错D. ①②都对
【答案】D
【解析】
【分析】
根据点的对称性可知四边形ABCD是矩形，结合矩形的面积公式和外接圆的面积公式可求.
因为动点A（m，n），B（﹣m，n），C（﹣m，﹣n），D（m，﹣n），所以四边形ABCD是矩形；
不妨设，则矩形ABCD的面积为，
因为，所以，即，当且仅当时等号成立；
所以矩形ABCD的面积最小值为48.
四边形ABCD外接圆的直径为，
所以四边形ABCD外接圆的面积为，
因为，所以，当且仅当时等号成立；
故选：D.
【点睛】本题主要考查曲线的方程及基本不等式求解最值，明确所求目标的表达式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17. 已知是方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）二次方程由两实数根则判别式大于等于，解出即得范围.
（2）由根与系数的关系得到之间的关系，利用完全平方公式进行代换，得到解析式，用配方法得出最小值.
【小问1】
由题意可知：
则
∴或
故
【小问2】
∵，
∴
∴当时，取最小值，最小值为.
18. 已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”．
（1）若和都成立，求实数的取值范围；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当、为真时，的取值范围，再求交集即可；
（2）当为真时，求得，再根据或，求解即可.
【小问1】
解：当为真时，则有，
整理得：，解得或；
当为真时，则有2m+8>0m2>2m+8，解得或；
又因为和都为真，
所以m≤-1或m≥3-4