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辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版）
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这是一份辽宁省实验中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由或即可判断.
因为或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2. 已知全集，集合，集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集和并集的定义可求得集合.
因为全集，集合，集合，
则，故
故选：D.
3. 命题“”的否定是（）
A. 不存在B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可直接得答案.
命题“”的否定为“” ，
故选：B.
4. 中国诗词大会总决赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加，依据规则，他们都有机会获得冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：
爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.
比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】先阅题意，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解.
解：①若冠军是丁，则爸爸，妈妈，孩子三人中妈妈，孩子猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是丁，
②若冠军是甲，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是甲，
③若冠军是乙，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈，孩子猜测是错的，与题设矛盾，故冠军不是乙，
④若冠军是丙，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸猜测是对的，与题设相符，故冠军是丙，
⑤若冠军是戊，则妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈，孩子猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是戊，
综合①②③④⑤得：获得冠军是丙，
故选：C.
【点睛】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题.
5. 下列命题中真命题有（）
①；②q：所有正方形都是矩形；
③；④s：至少有一个实数x，使.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，依次判断即可得答案.
，故①是真命题；，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题．
故选：B
6. ，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】平方之后化简为相同形式，则大小关系即可直接得到.
由题意可得均为正数，
，，；
因此可得，即，
故选：C.
7. 集合或，，若，则实数的范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案.
①当时，，，故，解得，
故；
②当时，，满足；
③当时，，，故，解得，
故；
综上所述：.
故选：A
8. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论当时，二次函数在和时取得最大值，在取得最小值，列出方程组，解不等式即可得出答案，再考虑时选项是否满足.
当时，二次函数在和时取得最大值，
在取得最小值，
因此，可得方程组：，
解得：.
所以ABC错误，D正确.
当时，一次函数，
若，则，可得：，解得：，
，D项满足题意.
若，则，可得：，解得：，
，D项满足题意.
故选：D
二、多选题（每道题6分，三道小题，满分18分）
9. 设，，则下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A错；
对于B选项，由已知可得，在不等式的两边同时除以可得，B对；
对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C错；
对于D选项，由题意可得，，由不等式的基本性质可得，D对.
故选：BD.
10. 集合，，，则的值可以是（）
A. B.C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可得，分、两种情况讨论，在时直接验证即可；在时，根据可得出关于实数的等式，综合可得出实数的值.
集合，，，则，
当时，则，合乎题意；
当时，则，
因为，则或，解得或.
综上所述，实数的取值集合为.
故选：ACD.
11. 下列命题正确的是（）
A. ，则可能成立
B. 不等式恒成立
C. 方程有三个不等实根
D. 且，则的取值范围是集合，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】推导出，利用不等式的基本性质可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；解方程，可判断C选项；利用不等式的基本性质求出集合，利用集合的包含关系可判断D选项.
对于A选项，若a>b>c，则，所以，，
在不等式的两边同时除以可得，A错；
对于B选项，由已知可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，B对；
对于C选项，由可得，
可得，
由可得，解得，
由可得，解得，
综上所述，方程有三个不等实根，C对；
对于D选项，因为，则，可得，
由，可得，
由，可得，所以，，
由可得，则，可得，所以，
所以，，故，D对.
故选：BCD.
三、填空题（每道题5分，4道小题，满分20分）
12. 集合，集合，则________．
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，再由交集运算即可求解.
所以
故答案为：
13. 已知方程的解集为，则________．
【答案】-9
【解析】
【分析】根据根与系数关系求得正确答案.
依题意，解得，
所以，
故答案为：.
14. 已知集合，定义集合，则中有_________个元素．
【答案】63
【解析】
【分析】根据题意，得到集合中有9个元素，集合中有35个元素，进而得到有9个值，有7个值，结合图形，进而求得集合中的元素个数，得到答案.
中有个元素（即9个点），
即图中正方形内部及其正方形边上的整点，
集合中有个元素（即42个点），
即图中长方形内部及其长方形边上的整点，
所以或或或或或或或或4，共有9个值，
或或或或或或，共有7个值，
所以中的元素可看作正方形中的整点，即个．
故答案为：63.
四、解答题（五道小题，满分77分）
15. 已知方程有两个实根
（1）若两根均大于，求实数的取值范围；
（2）表，求实数的值．
【答案】（1）
（2）实数的值为或.
【解析】
【分析】（1）根据实根分布列不等式组，解得结果.
（2）根据根与系数关系可得代入，解方程即可解得结果.
【小问1】
设
由题意得：Δ=-2a2-4×1×3a-2≥0a>1f1=1-2a+3a-2>0，解得：.
即实数的取值范围为.
【小问2】
因方程有两个实根，
由根与系数的关系可得：，
，
则，即，
化简可得：，解得：或.
所以实数的值为或.
16. 已知实数、、满足，.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由重要不等式可得出，由已知条件可得出，代入等式并结合基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的取值范围；
（2）由已知条件可得，可推出，从而可得出关于的一元二次方程有两个大于的不等实根，根据二次方程根的分布可求出的取值范围，进而可得出的取值范围.
【小问1】
解：由重要不等式可得，所以，，
则，当且仅当时，等号成立，
由可得，
所以，，
整理可得，解得或.
【小问2】
解：由，可得，
由，可得，
即，由此可得，且，
由可得，
所以，、为关于的一元二次方程的两个不等的实根，
且这两根都大于，
由二次方程根的分布可得，
解得，则，所以，，即.
17. 已知正数a，b
（1）比与之间的大小关系；
（2）若，求ab的最大值；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用作差法，结合二次函数的性质即可得大小关系；
（2）直接利用基本不等式可求得的最大值；
（3）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
【小问1】
，
所以；
【小问2】
由基本不等式可得，则，
当且仅当，即当，时，等号成立，
因此，的最大值为；
【小问3】
，则，
由于、均为正数，则，
当且仅当，即时等号成立，的最小值为．
18. 已知集合及非空集合．
（1）若，求a，b的值；
（2）是否存在实数a，b，使得，若存在，求出a，b之间的关系，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，，时满足题意；，时满足题意；，满足题意
【解析】
【分析】（1）由，且C为非空集合可得只有一个根为，列方程组即可求得答案；
（2）由于，所以且，分和两种情况进行讨论即可求得答案.
【小问1】
因为，且C为非空集合，所以，
即，则只有一个根为，
所以，解得；
【小问2】
由题意得，
由于，所以且，
1）当时，，所以只需要满足集合C非空即可，
则满足即；
2）当时，，若，则，
此时只需要满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为-3，
将代入得，即满足题意；
若，则，
此时只需要满足集合C只有一个根为或一个根为，另一个根不为1，
将代入得，
令，解得或，
即满足题意；
综上：，时满足题意；，时满足题意；，满足题意.
19. 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）．
（1）若，求这三个不等式的解集的交集．
（2）若，解（ⅲ）这个不等式；
（3）存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析（3）存在，且实数的取值范围是
【解析】
【分析】（1）当时，解出三个不等式，利用交集的定义可得出三个不等式解集的交集；
（2）将所求不等式变形为ax-13a2+1x-3>0，分、、三种情况讨论，利用一次不等式或二次不等式的解法可得出原不等式的解集；
（3）设不等式、、a3+a3x2-a2+a+13x+1>0的解集分别为、、，求出集合，考虑时实数的取值范围，可得出当时，实数的取值范围，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【小问1】
解：设不等式、、a3+a3x2-a2+a+13x+1>0的解集分别为、、，
当时，，
由可得，解得，
即，
（iii）中的不等式即为，即，即4x-3x-1>0，
解得或，即C=xx<34或x>1，
所以，.
【小问2】
解：（iii）中的不等式即为3a3+ax2-3a2+3a+1x+3>0，
即ax-13a2+1x-3>0，
当时，原不等式即为，解得；
当时，，解原不等式可得；
当时，因为1a-33a2+1=3a2-3a+1a3a2+1=3a-122+14a3a2+1>0，即，
解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或x>1a.
【小问3】
解：设不等式、、a3+a3x2-a2+a+13x+1>0的解集分别为、、，
解不等式，可得，解得，
则，且，
下面考虑当时，实数的取值范围，
则或，解得或，
所以，当时，，
因为满足不等式a3+a3x2-a2+a+13x+1>0，则，
即，所以，或，解得或，
所以，或，
当时，，此时，，
由题意可得，所以，，可得，
解得或，此时，；
当时，，此时，或x>1a，
由题意可得，则，该不等式组无解
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于分析出以及，由此列出关于实数的不等式进行求解.
1. 若，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由或即可判断.
因为或，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
2. 已知全集，集合，集合，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用补集和并集的定义可求得集合.
因为全集，集合，集合，
则，故
故选：D.
3. 命题“”的否定是（）
A. 不存在B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可直接得答案.
命题“”的否定为“” ，
故选：B.
4. 中国诗词大会总决赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手参加，依据规则，他们都有机会获得冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：
爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊.
比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】先阅题意，再结合进行简单的合情推理逐一检验即可得解.
解：①若冠军是丁，则爸爸，妈妈，孩子三人中妈妈，孩子猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是丁，
②若冠军是甲，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是甲，
③若冠军是乙，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈，孩子猜测是错的，与题设矛盾，故冠军不是乙，
④若冠军是丙，则爸爸，妈妈，孩子三人中爸爸猜测是对的，与题设相符，故冠军是丙，
⑤若冠军是戊，则妈妈，孩子三人中爸爸，妈妈，孩子猜测是对的，与题设矛盾，故冠军不是戊，
综合①②③④⑤得：获得冠军是丙，
故选：C.
【点睛】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题.
5. 下列命题中真命题有（）
①；②q：所有正方形都是矩形；
③；④s：至少有一个实数x，使.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，依次判断即可得答案.
，故①是真命题；，故③是假命题；易知②是真命题，④是假命题．
故选：B
6. ，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】平方之后化简为相同形式，则大小关系即可直接得到.
由题意可得均为正数，
，，；
因此可得，即，
故选：C.
7. 集合或，，若，则实数的范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案.
①当时，，，故，解得，
故；
②当时，，满足；
③当时，，，故，解得，
故；
综上所述：.
故选：A
8. 已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】讨论当时，二次函数在和时取得最大值，在取得最小值，列出方程组，解不等式即可得出答案，再考虑时选项是否满足.
当时，二次函数在和时取得最大值，
在取得最小值，
因此，可得方程组：，
解得：.
所以ABC错误，D正确.
当时，一次函数，
若，则，可得：，解得：，
，D项满足题意.
若，则，可得：，解得：，
，D项满足题意.
故选：D
二、多选题（每道题6分，三道小题，满分18分）
9. 设，，则下列不等式成立的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.
对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A错；
对于B选项，由已知可得，在不等式的两边同时除以可得，B对；
对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C错；
对于D选项，由题意可得，，由不等式的基本性质可得，D对.
故选：BD.
10. 集合，，，则的值可以是（）
A. B.C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由题意可得，分、两种情况讨论，在时直接验证即可；在时，根据可得出关于实数的等式，综合可得出实数的值.
集合，，，则，
当时，则，合乎题意；
当时，则，
因为，则或，解得或.
综上所述，实数的取值集合为.
故选：ACD.
11. 下列命题正确的是（）
A. ，则可能成立
B. 不等式恒成立
C. 方程有三个不等实根
D. 且，则的取值范围是集合，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】推导出，利用不等式的基本性质可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；解方程，可判断C选项；利用不等式的基本性质求出集合，利用集合的包含关系可判断D选项.
对于A选项，若a>b>c，则，所以，，
在不等式的两边同时除以可得，A错；
对于B选项，由已知可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，B对；
对于C选项，由可得，
可得，
由可得，解得，
由可得，解得，
综上所述，方程有三个不等实根，C对；
对于D选项，因为，则，可得，
由，可得，
由，可得，所以，，
由可得，则，可得，所以，
所以，，故，D对.
故选：BCD.
三、填空题（每道题5分，4道小题，满分20分）
12. 集合，集合，则________．
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，再由交集运算即可求解.
所以
故答案为：
13. 已知方程的解集为，则________．
【答案】-9
【解析】
【分析】根据根与系数关系求得正确答案.
依题意，解得，
所以，
故答案为：.
14. 已知集合，定义集合，则中有_________个元素．
【答案】63
【解析】
【分析】根据题意，得到集合中有9个元素，集合中有35个元素，进而得到有9个值，有7个值，结合图形，进而求得集合中的元素个数，得到答案.
中有个元素（即9个点），
即图中正方形内部及其正方形边上的整点，
集合中有个元素（即42个点），
即图中长方形内部及其长方形边上的整点，
所以或或或或或或或或4，共有9个值，
或或或或或或，共有7个值，
所以中的元素可看作正方形中的整点，即个．
故答案为：63.
四、解答题（五道小题，满分77分）
15. 已知方程有两个实根
（1）若两根均大于，求实数的取值范围；
（2）表，求实数的值．
【答案】（1）
（2）实数的值为或.
【解析】
【分析】（1）根据实根分布列不等式组，解得结果.
（2）根据根与系数关系可得代入，解方程即可解得结果.
【小问1】
设
由题意得：Δ=-2a2-4×1×3a-2≥0a>1f1=1-2a+3a-2>0，解得：.
即实数的取值范围为.
【小问2】
因方程有两个实根，
由根与系数的关系可得：，
，
则，即，
化简可得：，解得：或.
所以实数的值为或.
16. 已知实数、、满足，.
（1）求的取值范围；
（2）若，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）由重要不等式可得出，由已知条件可得出，代入等式并结合基本不等式可得出关于的不等式，即可得出的取值范围；
（2）由已知条件可得，可推出，从而可得出关于的一元二次方程有两个大于的不等实根，根据二次方程根的分布可求出的取值范围，进而可得出的取值范围.
【小问1】
解：由重要不等式可得，所以，，
则，当且仅当时，等号成立，
由可得，
所以，，
整理可得，解得或.
【小问2】
解：由，可得，
由，可得，
即，由此可得，且，
由可得，
所以，、为关于的一元二次方程的两个不等的实根，
且这两根都大于，
由二次方程根的分布可得，
解得，则，所以，，即.
17. 已知正数a，b
（1）比与之间的大小关系；
（2）若，求ab的最大值；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用作差法，结合二次函数的性质即可得大小关系；
（2）直接利用基本不等式可求得的最大值；
（3）将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
【小问1】
，
所以；
【小问2】
由基本不等式可得，则，
当且仅当，即当，时，等号成立，
因此，的最大值为；
【小问3】
，则，
由于、均为正数，则，
当且仅当，即时等号成立，的最小值为．
18. 已知集合及非空集合．
（1）若，求a，b的值；
（2）是否存在实数a，b，使得，若存在，求出a，b之间的关系，若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，，时满足题意；，时满足题意；，满足题意
【解析】
【分析】（1）由，且C为非空集合可得只有一个根为，列方程组即可求得答案；
（2）由于，所以且，分和两种情况进行讨论即可求得答案.
【小问1】
因为，且C为非空集合，所以，
即，则只有一个根为，
所以，解得；
【小问2】
由题意得，
由于，所以且，
1）当时，，所以只需要满足集合C非空即可，
则满足即；
2）当时，，若，则，
此时只需要满足集合C只有一个根为1或一个根为1，另一个根不为-3，
将代入得，即满足题意；
若，则，
此时只需要满足集合C只有一个根为或一个根为，另一个根不为1，
将代入得，
令，解得或，
即满足题意；
综上：，时满足题意；，时满足题意；，满足题意.
19. 已知下列不等式：（i）；（ii）；（iii）．
（1）若，求这三个不等式的解集的交集．
（2）若，解（ⅲ）这个不等式；
（3）存在使不等式（i）和（ii）同时成立中的，且这些使不等式（ⅲ）不成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）答案见解析（3）存在，且实数的取值范围是
【解析】
【分析】（1）当时，解出三个不等式，利用交集的定义可得出三个不等式解集的交集；
（2）将所求不等式变形为ax-13a2+1x-3>0，分、、三种情况讨论，利用一次不等式或二次不等式的解法可得出原不等式的解集；
（3）设不等式、、a3+a3x2-a2+a+13x+1>0的解集分别为、、，求出集合，考虑时实数的取值范围，可得出当时，实数的取值范围，然后分、两种情况讨论，根据可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【小问1】
解：设不等式、、a3+a3x2-a2+a+13x+1>0的解集分别为、、，
当时，，
由可得，解得，
即，
（iii）中的不等式即为，即，即4x-3x-1>0，
解得或，即C=xx<34或x>1，
所以，.
【小问2】
解：（iii）中的不等式即为3a3+ax2-3a2+3a+1x+3>0，
即ax-13a2+1x-3>0，
当时，原不等式即为，解得；
当时，，解原不等式可得；
当时，因为1a-33a2+1=3a2-3a+1a3a2+1=3a-122+14a3a2+1>0，即，
解原不等式可得或.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或x>1a.
【小问3】
解：设不等式、、a3+a3x2-a2+a+13x+1>0的解集分别为、、，
解不等式，可得，解得，
则，且，
下面考虑当时，实数的取值范围，
则或，解得或，
所以，当时，，
因为满足不等式a3+a3x2-a2+a+13x+1>0，则，
即，所以，或，解得或，
所以，或，
当时，，此时，，
由题意可得，所以，，可得，
解得或，此时，；
当时，，此时，或x>1a，
由题意可得，则，该不等式组无解
综上所述，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问的关键在于分析出以及，由此列出关于实数的不等式进行求解.
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