湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了设，直线，则“”是“”的，已知圆与圆相交于两点等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.在空间直角坐标系中，直线过点且以为方向向量，为直线上的任意一点，则点的坐标满足的关系式是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知总体划分为3层，按比例用分层随机抽样法抽样，各层的样本量及样本平均数如下表：
估计总体平均数为（ ）
A.73 B.74 C.76 D.80
4.设，直线，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知点为直线上任意一点，则的最小值是（ ）
A. B.2 C. D.
6.如图，在异面直线上分别取点和，使，且，若，则线段的长为（ ）
A.2 B. C. D.6
7.已知圆台的上､下底面圆周上的点都在同一个球面上，且圆台的上､下底面半径分别为1，3，高为4，则该球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且，则（ ）
A. B. C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.如图，在三棱锥中，分别是棱的中点，是和的交点，则（ ）
A.四边形是平行四边形
B.平面
C.三棱锥的体积小于三棱锥的体积
D.
10.已知圆与圆相交于两点（点在第一象限），则（ ）
A.直线的方程是
B.四点不共圆
C.圆的过点的切线方程为
D.
11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A. B.为定值
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知直线在轴上的截距为1，则__________.
13.从集合中任取2个不同的数分别作为一个对数的底数和真数，则得到的对数值为整数的概率是__________.
14.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点，为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知直线的方程为，直线经过点和.
（1）若，求的值；
（2）若当变化时，总过定点，求.
16.（15分）
已知函数在区间上单调递减且，
（1）求的解析式；
（2）求使成立的的取值范围.
17.（15分）
已知的内角的对边分别为，且.
（1）求；
（2）若的面积为，求.
18.（17分）
如图，在三棱锥中，分别是棱，上的动点（不含端点），且.
（1）证明：平面平面.
（2）设，则当为何值时，的长度最小？
（3）当的长度最小时，求平面与平面的夹角的余弦值.
19.（17分）
已知圆，点关于直线的对称点为.
（1）求的方程；
（2）讨论与圆的位置关系；
（3）若与圆相交于两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值.
高二数学·答案
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.D 2.A 3.B 4.A 5.C 6.C 7.D 8.D
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.ABD 10.AC 11.ABC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 13. 14.9
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解析（1）的斜率为的斜率为，
因为，所以，
即，解得或.
（2）将的方程改写为，
由解得，所以过定点.
所以.
16.解析（1）在区间上单调递减且，
的最小正周期，
解得.
，
由“五点法”可知.
.
（2）由（1）可知，
，
，
解得，
的取值范围是.
17.解析（1），
由正弦定理可得，
，
，
即，
.
（2）由题可知，
.
由正弦定理可得.
，
解得.
18.解析（1），
，
.
又，
平面.
又平面，
平面平面.
（2），
.
.又，
平面.
以为坐标原点，直线分别为轴､轴，过点且与直线平行的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则.
由，可得，
，
当时，最小，且.
（3）由（2）可知当最小时，，此时.
设平面的法向量为.
由可得可取.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则.
平面与平面的夹角的余弦值为.
19.解析（1）点关于直线的对称点为，且线段的中点坐标为，
解得
的方程为.
（2）圆的方程可变形为，
则圆心的坐标为，且，解得或，
圆的半径.
设圆心到的距离为，则.
若，则，解得，
又或或，
此时与圆相离；
若，则或，此时与圆相切；
若，则或，此时与圆相交.
（3）由题可知，解得或（舍去）.
当时，圆，圆心，半径.
由题可知圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为，由切点在劣弧上，知，.
点在线段上，.
当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且.
圆的半径的最大值为.分层
样本量
样本平均数
第一层
10
55
第二层
30
75
第三层
10
90