山东省淄博市柳泉中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

这是一份山东省淄博市柳泉中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷，共29页。试卷主要包含了已知点A等内容，欢迎下载使用。

1．下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．x（y+1）=1B．y = 1x-1C．y =1 2xD．y= - 1x²
2．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C的度数为（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
4．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图象经过点（3，1）
B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y＞3
5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6mB．3mC．9mD．6m
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cs∠DCA＝，BC＝10，则AB的值是（ ）
A．3B．6C．8D．9
7．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在双曲线y＝，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＞﹣3D．m＜﹣3
8．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于（ ）
A．B．C．D．
9．一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．反比例函数y＝（a＞0，a为常数）和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：
①S△ODB＝S△OCA；
②四边形OAMB的面积不变；
③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是 ．
12．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为 A．
13．如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是 ．
14．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝ ．
15．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，在反比例函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，则点A2的坐标是 ．
三．解答题（共9小题）
16．计算：
（1）；
（2）sin60°•cs60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cs245°．
17．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cs∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sin∠C＝，BC＝12，求AD的长．
18．环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值1.0mg/L时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？
19．如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．
20．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
21．如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C．
（1）C点坐标为 ．
（2）求反比例函数的表达式．
（3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
22．“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：sin32°≈，cs32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cs42°≈，tan42°≈）
23．如图，已知C、D是双曲线，y＝在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），连接OC、OD．
（1）求证：y1＜OC＜y1+；
（2）若∠BOC＝∠AOD＝a，tana＝，OC＝，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POC＝S△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列函数中，是y关于x的反比例函数的是（ ）
A．x（y+1）=1B．y = 1x-1C．y =1 2xD．y= - 1x²
故选：C．
2．如图是我们数学课本上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．
【解答】解：利用该型号计算器计算sin52°，按键顺序正确的是：
故选：B．
3．在△ABC中，已知∠A、∠B都是锐角，|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，那么∠C的度数为（ ）
A．75°B．90°C．105°D．120°
【分析】直接利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA＝，tanB＝1，进而得出∠A＝30°，∠B＝45°，即可得出答案．
【解答】解：∵|sinA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，
∴|sinA﹣|＝0，（1﹣tanB）2＝0，
∴sinA＝，tanB＝1，
∴∠A＝30°，∠B＝45°，
∴∠C的度数为：180°﹣30°﹣45°＝105°．
故选：C．
4．已知反比例函数y＝，下列结论中不正确的是（ ）
A．其图象经过点（3，1）
B．其图象分别位于第一、第三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＞1时，y＞3
【分析】根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵当x＝3时，y＝1，∴此函数图象过点（3，1），故本选项正确；
B、∵k＝3＞0，∴此函数图象的两个分支位于一三象限，故本选项正确；
C、∵k＝3＞0，∴当x＞0时，y随着x的增大而减小，故本选项正确；
D、∵当x＝1时，y＝3，∴当x＞1时，0＜y＜3，故本选项错误．
故选：D．
5．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1：，坝高BC＝3m，则AB的长度为（ ）
A．6mB．3mC．9mD．6m
【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比为1：，
∴＝，即＝，
解得，AC＝3，
由勾股定理得，AB＝＝6（m），
故选：A．
6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cs∠DCA＝，BC＝10，则AB的值是（ ）
A．3B．6C．8D．9
【分析】要求AB边长，须求∠ACB的余弦值．由题中已知易证∠ACB＝∠DCA，得∠ACB的余弦值，从而求解．
【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB．
∵cs∠DCA＝，AC⊥AB，BC＝10，
∴cs∠ACB＝＝＝，
∴AC＝8，AB＝6．
故选：B．
7．已知点A（﹣1，y1），B（2，y2）都在双曲线y＝，且y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0B．m＞0C．m＞﹣3D．m＜﹣3
【分析】将A（﹣1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y＝，求出 y1与y2的表达式，再根据 y1＞y2则列不等式即可解答．
【解答】解：将A（﹣1，y1），B（2，y2）两点分别代入双曲线y＝，得y1＝﹣3﹣m，y2＝，
∵y1＞y2，
∴﹣3﹣m＞，
解得m＜﹣3，
故选：D．
8．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝5，CD＝3，则tanC等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据三角形的中位线定理即可求得BD的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：连接BD．
∵E、F分别是AB、AD的中点．
∴BD＝2EF＝4
∵BC＝5，CD＝3
∴△BCD是直角三角形．
∴tanC＝＝
故选：B．
9．一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的位置确定a、b的大小，看是否符合ab＜0，计算a﹣b确定符号，确定双曲线的位置．
故选：C．
10．反比例函数y＝（a＞0，a为常数）和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A；MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：
①S△ODB＝S△OCA；
②四边形OAMB的面积不变；
③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】①由反比例系数的几何意义可得答案；
②由四边形OAMB的面积＝矩形OCMD面积﹣（三角形ODB面积+面积三角形OCA），解答可知；
③连接OM，点A是MC的中点可得△OAM和△OAC的面积相等，根据△ODM的面积＝△OCM的面积、△ODB与△OCA的面积相等解答可得．
【解答】解：①由于A、B在同一反比例函数y＝图象上，则△ODB与△OCA的面积相等，都为×2＝1，正确；
②由于矩形OCMD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形MAOB的面积不会发生变化，正确；
③连接OM，点A是MC的中点，
则△OAM和△OAC的面积相等，
∵△ODM的面积＝△OCM的面积＝，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBM与△OAM的面积相等，
∴△OBD和△OBM面积相等，
∴点B一定是MD的中点．正确；
故选：D．
二．填空题（共5小题）
11．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OABC的顶点A在反比例函数y＝上，顶点B在反比例函数y＝上，点C在x轴的正半轴上，则平行四边形OABC的面积是 4 ．
【分析】根据平行四边形的性质和反比例函数系数k的几何意义即可求得．
【解答】解：如图，作BD⊥x轴于D，延长BA交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，OA＝BC，
∴BE⊥y轴，
∴OE＝BD，
∴Rt△AOE≌Rt△CBD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE＝5，S△AOE＝，
∴四边形OABC的面积＝5﹣﹣＝4，
故答案为：4．
12．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻R为6Ω时，电流I为 1 A．
【分析】可设I＝，由于点（3，2）适合这个函数解析式，则可求得k的值，然后代入R＝6求得I的值即可．
【解答】解：设I＝，那么点（3，2）适合这个函数解析式，则k＝3×2＝6，
∴I＝．
令R＝6，
解得：I＝＝1．
故答案为1．
13．如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是 y2＝ ．
【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，由于点A在反比例函数y1＝上，设A（a，），求得点B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出结果．
【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，
∵点A在反比例函数y1＝上，
∴设A（a，），
∴OC＝a，AC＝，
∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，
∴AC∥BD，
∴△OAC∽△OBD，
∴，
∵A为OB的中点，
∴＝，
∴BD＝2AC＝，OD＝2OC＝2a，
∴B（2a，），
设y2＝，
∴k＝2a•＝4，
∴y2与x的函数表达式是：y2＝．
故答案为：y2＝．
14．如果三角形有一边上的中线长等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．若Rt△ABC是“好玩三角形”，且∠A＝90°，则tan∠ABC＝ 或 ．
【分析】分两种情形分别画出图形求解即可．
【解答】解：①如图1中，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是△ABC的中线，设AB＝EC＝2a，则AE＝EB＝a，AC＝a，
∴tan∠ABC＝＝．
②如图2中，
在Rt△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的中线，设EB＝AC＝2a，则AE＝EC＝a，AB＝a，
∴tan∠ABC＝＝．
故答案为：或．
15．如图，△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3，…，是等腰直角三角形，点P1，P2，P3，…，在反比例函数y＝的图象上，斜边OA1，A1A2，A2A3，…都在x轴上，则点A2的坐标是 ．
【分析】过点P1作P1M⊥x轴，由于△OAP1是等腰直角三角形，因而PA＝OA，因而可以设P1点的坐标是（a，a），把（a，a）代入解析式即可求出a＝2，因而求出P的坐标是（2，2），进一步得到OA1＝4，再根据△P2A1A2是等腰直角三角形，设P2的纵坐标是b，因而横坐标是b+4，把P2的坐标代入解析式y＝，即可求出b，然后即可求出点B的坐标．
【解答】解：如图，过点P1作P1M⊥x轴于M，
∵△OAP1是等腰直角三角形，
∴P1M＝OM，
∴设P1点的坐标是（a，a），
把（a，a）代入解析式得到a＝2，
∴P1的坐标是（2，2），
则OA1＝4，
∵△P2A1A2是等腰直角三角形，过点P2作P2N⊥x轴于N，
设P2的纵坐标是b，
∴横坐标是b+4，
把P2的坐标代入解析式y＝，
∴b+4＝，
∴b＝2﹣2，
∴点P2的横坐标为2+2，
∴P2点的坐标是（2+2，2﹣2），
∴点A2的坐标是（4，0）．
故答案为：（4，0）．
三．解答题（共9小题）
16．计算：
（1）；
【解答】解：（1）
＝
＝
＝2；
（2）sin60°•cs60°﹣tan30°tan60°+sin245°+cs245°．
＝×﹣×+（）2+（）2
＝﹣1++
＝．
17．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，tanB＝cs∠DAC．
（1）求证：AC＝BD；
（2）若sin∠C＝，BC＝12，求AD的长．
【分析】（1）由于tanB＝cs∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC＝BD；
（2）设AD＝12k，AC＝13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
【解答】（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝，cs∠DAC＝，
又∵tanB＝cs∠DAC，
∴＝，
∴AC＝BD．
（2）解：在Rt△ADC中，，
故可设AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝＝5k，
∵BC＝BD+CD，又AC＝BD，
∴BC＝13k+5k＝18k
由已知BC＝12，
∴18k＝12，
∴k＝，
∴AD＝12k＝12×＝8．
18．环保局对某企业排污情况进行检测，当所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许值1.0mg/L时，环保局要求该企业立即整改，必须在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前5天的变化规律，从第5天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）该企业能否按期将排污整改达标？为什么？
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）当x＝15时，y＝＝＝＞1，即可求解．
【解答】解：（1）由图象知，点A、B的坐标分别为（0，14）、（5，4），
当0≤x≤5时，设AB的表达式为y＝kx+b，
将点A、B的坐标代入上式得，解得，
故y＝﹣2x+14；
当x＞5时，设函数的表达式为y＝，
把点B的坐标（5，4）代入上式并解得：k＝20，
故y＝；
故函数的表达式为y＝；
（2）不能，理由：
当x＝15时，y＝＝＝＞1，
故不能按期完成排污整改达标．
19．如图，A、B两点的坐标分别为（﹣2，0），（0，3），将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y＝的图象经过点C．
（1）直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
（2）点P在反比例函数y＝的图象上，当△PCD的面积为3时，求点P的坐标．
【分析】（1）根据旋转的性质和全等三角形的性质求得C点的坐标，即可求得结论；
（2）由解析式设出P点的坐标，根据三角形面积公式得出方程，解方程可求得P点坐标．
【解答】解：（1）∵将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∵CD⊥OB，
∴∠CDB＝∠AOB＝∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝∠CBD+∠DCB＝90°，
∴∠ABO＝∠DCB，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，
∴OD＝3﹣2＝1，
∴C点的坐标为（3，1），
∴k＝3×1＝3，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）设P（，m），
∵CD⊥y轴，CD＝3，
由△PCD的面积为3得：CD•|m﹣1|＝3，
∴×3|m﹣1|＝3，
∴m﹣1＝±2，
∴m＝3或m＝﹣1，
当m＝3时，＝1，当m＝﹣1时，＝﹣3，
∴点P的坐标为（1，3）或（﹣3，﹣1）．
20．小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度．一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示．于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器DC，测得古树的顶端A的仰角为45°；再在BD的延长线上确定一点G，使DG＝5米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得FG＝2米，小明眼睛与地面的距离EF＝1.6米，测量器的高度CD＝0.5米．已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，求这棵古树的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）
【分析】过点C作CH⊥AB于点H，则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米，解Rt△ACH，得出AH＝CH＝BD，那么AB＝AH+BH＝BD+0.5，再证明△EFG∽△ABG，根据相似三角形对应边成比例求出BD＝17.5米，进而求出AB即可．
【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB于点H，
则CH＝BD，BH＝CD＝0.5米．
在Rt△ACH中，∠ACH＝45°，
∴AH＝CH＝BD，
∴AB＝AH+BH＝BD+0.5．
∵EF⊥FB，AB⊥FB，
∴∠EFG＝∠ABG＝90°．
由反射角等于入射角得∠EGF＝∠AGB，
∴△EFG∽△ABG，
∴＝即＝，
解得BD＝17.5，
∴AB＝17.5+0.5＝18（m）．
∴这棵古树的高AB为18m．
21．如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C．
（1）C点坐标为 （﹣3，2） ．
（2）求反比例函数的表达式．
（3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标．
【分析】（1）根据平行四边形的对边平行且相等，继而求得点C的坐标；
（2）由反比例函数图象经过点C，待定系数法即可求解；
（3）对直角进行分类讨论，点和线段互相转化即可求解．
【解答】解：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，
∵A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），
∴点A与点D、点B与点C的纵坐标相同，AD＝1﹣（﹣2）＝3，
∴BC＝AD＝3，
∵点C在点B的左边，
∴点C（﹣3，2）；
（2）∵反比例函数在第二象限内的图象经过点C（﹣3，2），
∴，
解得：k＝﹣6，
∴反比例函数的解析式为：；
（3）设x轴上点E的坐标为（a，0），
①当∠CED是直角时，CE⊥x轴，
点C与点E的横坐标相同，
∴a＝﹣3，
∴E（﹣3，0）；
②当∠ECD是直角时，CE2+CD2＝DE2，
∵点C（﹣3，2），点D（﹣2，0），E（a，0）
∴CE2＝（﹣3﹣a）2+22，CD2＝22+12＝5，DE＝﹣2﹣a，
∴（﹣3﹣a）2+22+5＝（﹣2﹣a）2，
解得：a＝﹣7，
∴E（﹣7，0），
当△DCE是直角三角形时，点E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）．
22．“滑滑梯”是同学们小时候经常玩的游戏，滑梯的坡角越小，安全性越高．从安全性及适用性出发，小亮同学对所在小区的一处滑梯进行调研，制定了如下改造方案，请你帮小亮解决方案中的问题．
（参考数据：sin32°≈，cs32°≈，tan32°≈，sin42°≈，cs42°≈，tan42°≈）
【分析】过点E作EH⊥AG于H，根据正切的定义分别求出DF、HG，进而求出FG．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥AG于H，
则四边形CDHE为矩形，
∴EH＝CD＝1.8m，DH＝CE＝1m，
在Rt△CDF中，∠CFD＝42°，CD＝1.8m，
则DF＝≈＝2（m），
∴HF＝DF﹣DH＝2﹣1＝1（m），
在Rt△EHG中，∠EGH＝32°，EH＝1.8m，
则HG＝≈＝2.88（m），
∴FG＝HG﹣HF＝1.88（m），
答：调整后的滑梯会多占约为1.88m的一段地面．
23．如图，已知C、D是双曲线，y＝在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交x轴、y轴于A、B两点，设C、D的坐标分别是（x1，y1）、（x2，y2），连接OC、OD．
（1）求证：y1＜OC＜y1+；
（2）若∠BOC＝∠AOD＝a，tana＝，OC＝，求直线CD的解析式；
（3）在（2）的条件下，双曲线上是否存在一点P，使得S△POC＝S△POD？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG＝y1，OG＝x1，根据直角三角形中斜边大于直角边，以及两边之和大于第三边即可求解；
（2）已知OC的长，以及tanα的值，在直角△OCG中，即可解得OG，CG的长，得到C点的坐标；利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，再根据tanα的值即可求得D点的坐标，把C，D两点的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（3）根据C，D两点的坐标可以得到OC＝OD，使S△POC＝S△POD，即P到OC与OD的距离相等，则P一定在∠COD的角平分线上，即是∠COD的平分线与双曲线y＝的交点．
【解答】（1）证明：过点C作CG⊥x轴，垂足为G，则CG＝y1，OG＝x1．（1分）
∵点C（x1，y1）在双曲线y＝上，
∴x1＝
∵在Rt△OCG中，CG＜OC＜CG+OG，∴y1＜OC＜y1+（3分）
（2）解：在Rt△GCO中，∠GCO＝∠BOC＝α，
tana＝，即，y1＝3x1
∵OC2＝OG2+CG2，OC＝，
∴10＝x12+y12，即10＝x12+（3x1）2
解之，得x1＝±1．∵负值不合题意，∴x1＝1，y1＝3．∴点C的坐标为（1，3）．（4分）
∵点C在双曲线y＝上，
∴3＝，即m＝3
∴双曲线的解析式为y＝（5分）
过点D作DH⊥x轴，垂足为H．则DH＝y2，OH＝x2
在Rt△ODH中，tana＝＝＝，即x2＝3y2
又y2＝，则3y22＝3．
解之，得y2＝±1．
∵负值不合题意，∴y2＝1，x2＝3
∴点D的坐标为（3，1）（6分）
设直线CD的解析式为y＝kx+b．
则有，解得．
∴直线CD的解析式为y＝﹣x+4．（7分）
（3）解：双曲线y＝上存在点P，使得S△POC＝S△POD，这个点P就是
∠COD的平分线与双曲线y＝的交点（8分）
证明如下：
∵点P在∠COD的平分线上．
∴点P到OC、OD的距离相等．
又OD＝＝＝＝OC
∴S△POD＝S△POC．（10分）
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/10/11 14:13:17；用户：数学二组；邮箱：15695456966；学号：41648965
方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m；
【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；
【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）
方案名称
滑梯安全改造
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图，将滑梯顶端BC拓宽为BE，使CE＝1m，并将原来的滑梯CF改为EG．（图中所有点均在同一平面内，点B，C，E在同一直线上，点A，D，F，G在同一直线上）
测量数据
【步骤一】利用皮尺测量滑梯的高度CD＝1.8m；
【步骤二】在点F处用测角仪测得∠CFD＝42°；
【步骤三】在点G处用测角仪测得∠EGD＝32°.
解决问题
调整后的滑梯会多占多长一段地面？（即求FG的长）