山东省聊城市第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

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一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1.在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，且与互相垂直，则的值是（ ）
A.1 B. C. D.
3.已知，若共面，则实数的值为（ ）
A. B.14 C.12 D.
4.已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C.2 D.
5.如图，在四面体中，.点在上，且为中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
6.已知平面的一个法向量为，点在平面内，则平面外一点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.1
7.如图，已知二面角的大小为且，
则（ ）
A. B.6 C. D.7
8.如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点，与分别为线和上的动点（不包括端点），若､则线段长度的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列命题是真命题的有（ ）
A.是空间四点，若不能构成空间的一个基底，那么共面
B.直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C.直线的方向向量为，平面的法向量为，则
D.平面经过三点是平面的法向量，则
10.在空间直角坐标系中，，则（ ）
A.
B.
C.异面直线与所成角的余弦值为
D.点到直线的距离是
11.如图，正方体的棱长为为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（ ）
A.存在点，使
B.存在点，使
C.四面体的体积为定值
D.二面角的余弦值的取值范围是
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知，则在方向上的投影向量为__________.
13.点为所在平面外一点，点为所在平面内一点，点为的中点，若成立，则实数的值为__________.
14.如图，四棱锥中，平面平面，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.已知向量.
（1）求的值；
（2）求向量与夹角的余弦值.
16.如图，四棱锥中，底面，底面是边长为2的菱形，为的中点，，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
（1）写出四点的坐标；
（2）求.
17.已知四棱柱中，底面为梯形，平面，
，其中是的中点，是的中点.
（1）求证平面；
（2）求平面与平面的夹角余弦值；
18.如图，在中，.将绕旋转得到分别为线段的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
19.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.请用空间向量的知识解答下列问题：
（1）求与平面所成角的大小；
（2）设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
2023级高二第一次月考数学试题答案
选择题
12. 13. 14.
8.解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，设点坐标为，
，
故，因为，
故可得，则，由可得，
又，故，
故当时，取得最小值；又当时，，但
无法取到，则无法取到1；
综上，线段长度的取值范围为.
11.解：建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，
，则，
，
当时，即点与点重合时，，故A正确.
由知，解得，此时点与点重合，
故B正确.
为定值，故C错误.又，设平面的法向量，
由，令则，
又平面的法向量，
，
又，故D错误.
14.解：连接相交于点点为底面的中心，取中点为，连接，
则，因为平面平面，则平面，
以点为原点，分别以为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，
且底面边长为是等边三角形，则，
，则，则，
，设平面的法向量为，
则，解得，取，则，
，所以，且平面上任意一点到底面中心距离的最小值
即为点到平面的距离，则.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.解：（1），
；
（2）设与的夹角为，
则，
，
，
向量与夹角的余弦值为.
16.解：（1）因为底面是边长为2的菱形，且为的中点，所以，又，
（2）.
17.解：（1）取中点，连接，由是的中点，得，且，
由是的中点，得，且，
则有，四边形是平行四边形，于是，
又平面平面，
所以平面
（2）四棱柱中，平面，则直线两两垂
直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
有，
设平面与平面的法向量分别为
，
则有，令，得，
，令，得，
因此.
所以平面与平面的夹角余弦值为.
18.解：（1）取的中点，连接，作，垂足为.
因为，点为的中点，
所以.
又，所以平面.
因为平面，所以.
又，
所以平面，即点到平面的距离为的长度.
易证平面，所以.
因为是边长为2的等边三角形，所以，
又，所以，所以.
（2）以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
所以.
设平面的法向量为，
可得即
令，得.
取的中点，连接，在等腰中，
易证平面，
所以为平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
.
19.解：（1）因为平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面，
取的中点，连接，
因为是等边三角形，
所以，又平面平面，两平面交线为平面，
所以平面，
取的中点，连接，则，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
故两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，由勾股定理得
，
所以，
平面的法向量为，
设与平面所成角的大小为，则
，
因为，所以；
（2）设平面的法向量为，
则，
令得，则，
连接，
因为平面，平面平面，所以
，
不妨设，则，
设，则，即，
故，
设，则，即，
故，
设平面的法向量为，
则，
解得，设，则，故，
故，
化简得，两边平方得，
，化简得，
解得或，
设，则，设，
则，解得，
故，
当时，，
因为，所以，
解得，解得，满足要求，
当时，，
因为，所以，
解得，解得，满足要求，
故存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时的值为或.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
D
B
C
B
B
A
A
ABD
AC
AB