安徽省宣城市六中学2024年九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】

这是一份安徽省宣城市六中学2024年九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）一根长为20cm的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，若折叠完成后纸条两端超出点P的长度相等，且PM=PN=5cm，则长方形纸条的宽为（ ）
A．1.5cmB．2cmC．2.5cmD．3cm
2、（4分）有m支球队参加篮球比赛，共比赛了21场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）下列事件为必然事件的是（ ）
A．某运动员投篮时连续3次全中B．抛掷一块石块，石块终将下落
C．今天购买一张彩票，中大奖D．明天我市主城区最高气温为38℃
4、（4分）若关于x的方程=0有增根，则m的值是
A．3B．2C．1D．－1
5、（4分）当x为下列何值时，二次根式有意义 （ ）
A．B．C．D．
6、（4分）计算一组数据方差的算式为S2=[（x1－10）2＋（x2－10）2＋…＋（x5－10）2]，由此得到的信息中，不正确的是（ ）
A．这组数据中有5个数据B．这组数据的平均数是10
C．计算出的方差是一个非负数D．当x1增加时，方差的值一定随之增加
7、（4分）计算的结果为（ ）
A．B．C．3D．5
8、（4分）下列由左到右的变形中,属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若是方程的解，则代数式的值为____________.
10、（4分）如图，已知一块直角三角板的直角顶点与原点重合，另两个顶点，的坐标分别为，，现将该三角板向右平移使点与点重合，得到，则点的对应点的坐标为__________．
11、（4分）把二次函数y= -2x2-4x-1的图象向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，则两次平移后的图象的解析式是 _____________；
12、（4分）在平面直角坐标系中，直线l：与x轴交于点，如图所示依次作正方形 、正方形 、…、正方形，使得点 …在直线l上，点 …在y轴正半轴上，则点 的横坐标是__________________。
13、（4分）若关于有增根，则_____；
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值：，其中．
15、（8分）如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于点A,过点A分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点 B、C,如果四边形OBAC是正方形.
(1)求一次函数的解析式。
(2)一次函数的图象与y轴交于点D．在x轴上是否存在一点P，使得PA+PD最小?若存在，请求出P点坐标及最小值；若不存在，请说明理由。
16、（8分）如图，在中，，请用尺规过点作直线，使其将分割成两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法．并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）．
17、（10分）先化简：，再从-1，1，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值
18、（10分）某市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨2元收费．如果超过20吨，未超过的部分仍按每吨2元收费，超过部分按每吨2.5元收费．设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元．
（1）分别写出当每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x之间的函数关系式；
（2）若某用户5月份和6月份共用水45吨，且5月份的用水量不足20吨，两个月共交水费95元，求该用户5月份和6月份分别用水多少吨？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）使有意义的的取值范围是______.
20、（4分）如图所示的分式化简，对于所列的每一步运算，依据错误的是_______．（填序号）
①：同分母分式的加法法则
②：合并同类项法则
③：乘法分配律
④：等式的基本性质
21、（4分）如图，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，若DE刚好平分∠ADB，且AE＝a，则BC＝_____．
22、（4分）如图，已知∠EAD=30°，△ADE绕点A旋转50°后能与△ABC重合，则∠BAE=_________°.
23、（4分）化简：__________.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在四边形中，平分，，是的中点，，过作于，并延长至点，使．
（1）求证：；
（2）若，求证：四边形是菱形．
25、（10分）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地，在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（公里）与甲车行驶时间（小时）之间的函数关系如图，请根据所给图象关系解答下列问题：
（1）求甲、乙两车的行驶速度；
（2）求乙车出发1.5小时后，两车距离多少公里？
（3）求乙车出发多少小时后，两车相遇？
26、（12分）计算：
（1）﹣；
（2）
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
设纸条宽为xcm,观察图形，由折叠的性质可知：PM=PN=5，除了AP和BM的长度中间的长度为5x，将折叠的纸条展开，根据题意列出方程式求出x的值即可．
【详解】
解：如图：
设纸条宽为xcm,观察图形，由折叠的性质可知：PM=PN=5，MN=20
由题意可得：5×2+5x=20
解得：x=2
故选：B．
本题考查了翻折变换的知识以及学生的动手操作能力，解答本题的关键是仔细观察图形，得到各线段之间存在的关系．
2、A
【解析】
设这次有m队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=21场，依此等量关系列出方程即可．
【详解】
设这次有m队参加比赛,则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：，
故选：A.
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于根据题意列出方程.
3、B
【解析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
【详解】
解：A、某运动员投篮时连续3次全中，是随机事件；
B、抛掷一块石块，石块终将下落，是必然事件；
C、今天购买一张彩票，中大奖，是随机事件；
D、明天我市主城区最高气温为38℃，是随机事件；
故选择：B.
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4、B
【解析】
试题分析：若关于x的方程=0有增根，则x=1为增根．
把方程去分母可得m-1-x=0，把x=1代入可得m-1-1=0，解得m=2.
考点：分式方程
点评：本题难度较低，主要考查学生对分式方程知识点的掌握，增根使分式分母为零．
5、C
【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】
由题意得，2-x≥0，
解得，
故选：C．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
6、D
【解析】
根据方差的公式：S2[（x1）2+（x2）2+…+（xn）2]，直接选择答案．
【详解】
在方差的计算公式中，n代表容量，代表平均数，故A正确，B正确；显然S2≥0，C正确；当x1增大时，要看|x1|的变化情况，方差可能变大，可能变小，可能不变，故D错误．
故选D．
本题考查了方差的计算公式，熟练掌握每一个字母所代表的意义．
7、C
【解析】
针对二次根式化简，零指数幂2个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果：
．故选C．
8、D
【解析】
根据因式分解的定义，逐个判断即可．
【详解】
解：A、不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、ax2+axy+ax=ax（x+y+1），因式分解错误，故本选项不符合题意；
C、m2-2mn+n2=（m-n）2，因式分解错误，故本选项不符合题意；
D、属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据一元二次方程的解的定义，将x=a代入已知方程，即可求得a2-2a=1，然后将其代入所求的代数式并求值即可．
【详解】
解：∵a是方程x2-2x-1=0的一个解，
∴a2-2a=1，
则2a2-4a+2019=2（a2-2a）+2019=2×1+2019=1；
故答案为：1．
本题考查的是一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式求值．
10、
【解析】
根据A点的坐标，得出OA的长，根据平移的条件得出平移的距离，根据平移的性质进而得出答案.
【详解】
∵A（-1,0），
∴OA=1,
∵一个直角三角板的直角顶点与原点重合,现将该三角板向右平移使点A与点O重合，得到△OCB′,
∴平移的距离为1个单位长度，
∵点B的坐标为
∴点B的对应点B′的坐标是，
故答案为：.
此题主要考查根据平移的性质求点坐标，熟练掌握，即可解题.
11、y= -2x2+12x-2
【解析】
先把抛物线化为顶点式，再按照“左加右减，上加下减”的规律，即可求出平移后的函数表达式．
【详解】
解：把抛物线的表达式化为顶点坐标式，y=-2（x+1）2+1．
按照“左加右减，上加下减”的规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位，得
y=-2（x+1-4）2+1+3=-2（x-3）2+4=-2x2+12x-2．
故答案为：y=-2x2+12x-2．
本题考查二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
12、
【解析】
根据一次函数图象上点的坐标特征找出A1、A2、A3、A4的坐标，结合图形即可得所求点Bn是线段CnAn+1的中点，由此即可得出点Bn的坐标．
【详解】
∵观察，发现：A1（1，0），A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），…，
∴An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）．
观察图形可知：点Bn是线段CnAn+1的中点，
∴点Bn的坐标是（2n-1，2n-1）．
故答案为．
此题考查一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中点的坐标的变化，根据点的坐标的变化找出变化规律“An（2n-1，2n-1-1）（n为正整数）”是解题的关键．
13、1
【解析】
方程两边都乘以最简公分母（x –1），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出a的值．
【详解】
解：方程两边都乘（x﹣1），得
1－ax+3x=3x﹣3，
∵原方程有增根
∴最简公分母x﹣1=0，即增根为x=1，
把x=1代入整式方程，得a=1．
此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．方程的增根不适合原方程，但适合去分母后的整式方程，这是求字母系数的重要思想方法．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、；
【解析】
首先将括号里面的分式进行通分，然后将各分式的分子和分母进行因式分解，然后进行乘除法计算，最后将a的值代入化简后的式子进行计算．
【详解】
解：原式=
当a=时，原式=．
本题考查分式的化简求值．
15、（1）y=x+1；（2）(,0)
【解析】
（1）若四边形OBAC是正方形，那么点A的横纵坐标相等，代入反比例函数即可求得点A的坐标，进而代入一次函数即可求得未知字母k．
（2）在y轴负半轴作OD′=OD，连接AD′，与x轴的交点即为P点的坐标，进而求出P点的坐标．
【详解】
(1)∵四边形OBAC是正方形，
∴S四边形OBAC=AB =OB=9，
∴点A的坐标为(3,3)，
∵一次函数y=kx+1的图象经过A点，
∴3=3k+1，
解得k=，
∴一次函数的解析式y=x+1，
(2)y轴负半轴作OD′=OD,连接AD′,如图所示,AD′与x轴的交点即为P点的坐标，
∵一次函数的解析式y=x+1，
∴D点的坐标为(0,1)，
∴D′的坐标为(0,−1)，
∵A点坐标为(3,3)，
设直线AD′的直线方程为y=mx+b，
即 ，
解得m= ，b=−1，
∴直线AD′的直线方程为y=x−1，
令y=0,解得x= ，
∴P点坐标为(,0)
此题考查反比例函数综合题，解题关键在于熟练掌握一次函数和反比例函数的性质.
16、见解析
【解析】
作斜边AB的中垂线可以求得中点D，连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD＝AD＝DB．
【详解】
解如图所示：
，
△ACD和△CDB即为所求．
此题主要考查了应用设计与作图，关键在于用中垂线求得中点和运用直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，把Rt△ABC分割成两个等腰三角形．
17、原式=，把x=2代入原式=
【解析】
先根据分式的运算化简，再取x=2代入求解.
【详解】
==
∵x不能取-1，1
∴把x=2代入原式=
此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.
18、（1）y＝2x（0≤x≤20），y＝2.5x﹣10（x＞20）；（2）5月份用水1吨，6月份用水量为30吨．
【解析】
（1）分别根据：未超过20吨时，水费y＝2×相应吨数；超过20吨时，水费y＝2×20+超过20吨的吨数×2.5；列出函数解析式；
（2）设该户居民5月份用水x吨，则6月份用水量为（45﹣m）吨，然后依据两个月共交水费95元列方程求解即可．
【详解】
解：（1）当0≤x≤20时，y＝2x；
当x＞20时，y＝2×20+2.5（x﹣20）＝2.5x﹣10；
（2）设该户居民5月份用水x吨，则6月份用水量为（45﹣m）吨，．
根据题意，得：2m+2.5（45﹣m）﹣10＝95，
解得：m＝1．
答：该户居民5月份用水1吨，6月份用水量为30吨．
故答案为（1）y＝2x（0≤x≤20），y＝2.5x﹣10（x＞20）；（2）5月份用水1吨，6月份用水量为30吨．
本题考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用；得到用水量超过20吨的水费的关系式是解决本题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
根据二次根式的被开方数是非负数和分式的分母不等于零进行解答．
【详解】
解：依题意得：且x-1≠0，
解得．
故答案为：．
本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
20、④
【解析】
根据分式的基本性质可知．
【详解】
解：根据的是分式的基本性质，而不是等式的性质，所以④错误，
故答案为：④．
本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟知分式的基本性质是分子分母同时乘以或除以一个不为零的整式，分式的值不变．
21、6a
【解析】
根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，求得∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠EDB，
∴∠CBD＝∠C，
∴∠ABC＝2∠C，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∵AE＝a，
∴DE＝2a，
∵∠EDB＝∠DBC，
∠DBE＝∠EBD，
∴BE＝DE＝2a，
∴AB＝3a，
∴BC＝2AB＝6a．
故答案为：6a．
本题考查角平分线的定义、平行线的性质、及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边一半的性质是解题关键．
22、20
【解析】
利用旋转的性质得出∠DAB=50°，进而得出∠BAE的度数.
【详解】
解：∵∠EAD=30°，△ADE绕着点A旋转50°后能与△ABC重合，
∴∠DAB=50°，
则∠BAE=∠DAB-∠DAE=50°-30°=20°.
故答案为：20.
此题主要考查了旋转的性质，得出旋转角∠DAB的度数是解题关键.
23、
【解析】
利用向量加法法则进行运算即可.
【详解】
解：原式= ==，
故答案是：.
本题考查了向量加法运算，熟练的掌握运算法则是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）见详解；（2）见详解
【解析】
（1）欲证明AC2＝CD•BC，只需推知△ACD∽△BCA即可；
（2）利用“在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”推知四边形AKEC的四条边都相等，则四边形AKEC是菱形．
【详解】
证明：（1）∵AC平分∠BCD，
∴∠DCA＝∠ACB．
又∵AC⊥AB，AD⊥AE，
∴∠DAC+∠CAE＝90°，∠CAE+∠EAB＝90°，
∴∠DAC＝∠EAB．
又∵E是BC的中点，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠ABC，
∴∠DAC＝∠ABC，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
∴AC2＝CD•BC；
（2）证明：∵EF⊥AB，AC⊥AB，
∴EF∥AC，
又∵∠B＝30°，
∴AC＝BC＝EB＝EC．
又EF＝EB，
∴EF＝AC，
即AF＝FE＝EC＝CA，
∴四边形AFEC是菱形．

本题考查了四边形综合题，需要熟练掌握相似三角形的判定与性质，“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”以及菱形的判定才能解答该题．
25、（1）甲车的行驶速度 60（km/h），乙车的行驶速度80（km/h）；（2）两车距离170公里；（3）乙车出发小时后，两车相遇.
【解析】
（1）根据速度=路程÷时间分别求出甲、乙两车的速度即可；
（2）根据时间=路程÷速度即可求解；
（3）根据时间=路程÷速度和即可求解．
【详解】
（1）甲车的行驶速度：＝60（km/h）
乙车的行驶速度：＝80（km/h）
（2）乙车出发1.5小时后，离C地距离：200－80×1.5＝80（km），
甲离C地距离：240－60×（1＋1.5）＝90（km），
80＋90＝170（km）
乙车出发1.5小时后，两车距离170公里。
（3）设乙车出发x小时后，两车相遇，
则80x＋60（x＋1）＝200+240，
解得：x＝小时，
所以，乙车出发小时后，两车相遇.
本题考查了一次函数的应用，根据函数图象逐一分析是解题的关键．
26、（1）﹣；（2）13﹣4．
【解析】
（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【详解】
解：（1）原式＝3﹣﹣2
＝﹣；
（2）原式＝5﹣4+4+（13﹣9）
＝9﹣4+4
＝13﹣4．
本题考查了二次根式的运算，以及完全平方公式和平方差公式的运算，解题的关键是正确的运用运算法则进行运算.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分