北京市八十中学2024年九年级数学第一学期开学经典模拟试题【含答案】

这是一份北京市八十中学2024年九年级数学第一学期开学经典模拟试题【含答案】，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
2、（4分）若关于x的方程的解为负数，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）在直角坐标系中，点P（-3，3）到原点的距离是（ ）
A． B．3C． 3D．6
4、（4分）若分式无意义，则x的值为（ ）
A．B．C．D．
5、（4分）如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，顶点坐标是、则顶点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）满足下述条件的三角形中，不是直角三角形的是
A．三个内角之比为1：2：3B．三条边长之比为1：：
C．三条边长分别为，，8D．三条边长分别为41，40，9
7、（4分）已知点M（1－a，a +2）在第二象限，则a的取值范围是( )
A．a＞－2B．－2＜a＜1C．a＜－2D．a＞1
8、（4分）在平面直角坐标系内，已知点A的坐标为（-6，0），直线l：y=kx+b不经过第四象限，且与x轴的夹角为30°，点P为直线l上的一个动点，若点P到点A的最短距离是2，则b的值为（ ）
A． 或B．C．2D．2或10
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若方程的解是正数，则m的取值范围_____．
10、（4分）抛物线，当随的增大而减小时的取值范围为______.
11、（4分）矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，于，若，，则____.
12、（4分）如图，矩形ABCD中，，，将矩形折叠，使点B与点D重合，点A的对应点为，折痕EF的长为________.
13、（4分）不等式9﹣3x＞0的非负整数解是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：如图，平面直角坐标系中，，，点C是x轴上一点，点D为OC的中点．
（1）求证：BD∥AC；
（2）若点C在x轴正半轴上，且BD与AC的距离等于2，求点C的坐标；
（3）如果于点E，当四边形ABDE为平行四边形时，求直线AC的解析式．
15、（8分）已知 ，，求下列代数式的值:
(1)x2+y2;
(2).
16、（8分）如图，在中，，，，.
求的周长；
判断是否是直角三角形，并说明理由.
17、（10分）如图，在中，点是对角线的中点，点在上，且，连接并延长交于点F．过点作的垂线，垂足为，交于点．
（1）求证：；
（2）若．
①求证：；
②探索与的数量关系，并说明理由．
18、（10分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的中线．
（1）若AD＝12，BD＝16，求DE；
（2）已知点F是中线CE的中点，连接DF，若∠AEC＝57°，∠DFE＝90°，求∠BCE的度数．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）当五个整数从小到大排列后，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，那么这组数据可能的最大的和是_____________.
20、（4分）如图在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD，点F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有_____．
21、（4分）把直线y＝x－1向下平移后过点(3，－2)，则平移后所得直线的解析式为________．
22、（4分）方程的解为_________.
23、（4分）函数y＝的自变量x的取值范围为____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
（1）求证：△DEC≌△EDA；
（2）求DF的值；
（3）在线段AB上找一点P，连结FP使FP⊥AC，连结PC，试判定四边形APCF的形状，并说明理由，直接写出此时线段PF的大小．
25、（10分）计算或化简：
（1）计算：
（2）先化简，再求值：，其中．
26、（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A(1，4)，点B(3，2)，连接OA，OB．
（1）求直线OB与AB的解析式；
（2）求△AOB的面积．
（3）下面两道小题，任选一道作答．作答时，请注明题号，若多做，则按首做题计入总分．
①在y轴上是否存在一点P，使△PAB周长最小．若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由．
②在平面内是否存在一点C，使以A，O，C，B为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点C坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
试题分析：∵DE=BF，∴DF=BE。
∵在Rt△DCF和Rt△BAE中，CD=AB，DF=BE，∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL）。
∴FC=EA。故①正确。
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC。
∵FC=EA，∴四边形CFAE是平行四边形。
∴EO=FO。故②正确。
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF=∠ABE。∴CD∥AB。
∵CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形。故③正确。
由上可得：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE等。故④图中共有6对全等三角形错误。
故正确的有3个。故选B。
2、B
【解析】
先把m当作已知条件求出x的值，再根据x的值是负数列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】
解：∵1x-m=1+x，
∴x=，
∵关于x的方程1x-m=1+x的解是负数，
∴＜0，
解得m＜-1．
故选：B．
本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．
3、B
【解析】
根据勾股定理可求点P（-3，3）到原点的距离．
【详解】
解：点P（-3，3）到原点的距离为＝3，
故选：B．
本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
4、C
【解析】
根据分式无意义的条件即可求出答案．
【详解】
由题意可知：x-1=0，
即x=1，分式无意义，
故选：C．
此题考查分式无意义的条件，解题的关键是熟练运用分式无意义的条件，本题属于基础题型．
5、A
【解析】
此题可过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则N点坐标便不难求出．
【详解】
过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，
∵顶点P的坐标是(3,4)，
∴OE=3,PE=4,
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OE=MF=3，
∵4+3=7，
∴点N的坐标为(7,4).
故选A.
此题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于作辅助线.
6、C
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐项判断即可.
【详解】
解：A、根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30度，60度，90度，所以是直角三角形；
B、，其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
C、，不符合勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形；
D、，符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形；
故选C．
本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三条边，如果a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
7、D
【解析】
因为点M(1−a,a+2)在第二象限，
∴1−a1，
故选D.
8、A
【解析】
直线l：y=kx+b不经过第四象限，可能过一、二、三象限，与x轴的夹角为30°，又点A的坐标为（-6，0），因此两种情况，分别画出每种情况的图形，结合图形，利用已学知识进行解答．
【详解】
解：如图：分两种情况：
（1）在Rt△ABP1中，AP1=2，∠ABP1=30°，
∴AB=2AP1=4，
∴OB=OA-AB=6-4=2，
在Rt△BCO中，∠CBO=30°，∴OC=tan30°×OB=，即：b=；
（2）同理可求得AD=4，OD=OA+AD=10，
在Rt△DOE中，∠EDO=30°，∴OE=tan30°×OD=，即：b=；
故选：A．
考查一次函数的图象和性质、直角三角形的边角关系等知识，分类讨论得出答案，注意分类的原则既不重复，又不能遗漏，可根据具体问题合理灵活地进行分类．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、m＞-2且m≠0
【解析】
分析：本题解出分式方程的解，根据题意解为正数并且解不能等于2，列出关于m的取值范围.
解析：解方程 解为正数，∴ 且m≠0.
故答案为m＞-2且m≠0
10、（也可以）
【解析】
先确定抛物线的开口方向和对称轴，即可确定答案.
【详解】
解：∵的对称轴为x=1且开口向上
∴随的增大而减小时的取值范围为（也可以）
本题主要考查了二次函数增减性中的自变量的取值范围，其中确定抛物线的开口方向和对称轴是解答本题的关键.
11、1或
【解析】
试题解析：如图（一）所示，
AB是矩形较短边时，
∵矩形ABCD，
∴OA=OD=BD；
∵OE：ED=1：3，
∴可设OE=x，ED=3x，则OD=2x
∵AE⊥BD，AE=，
∴在Rt△OEA中，x2+（）2=（2x）2，
∴x=1
∴BD=1．
当AB是矩形较长边时，如图（二）所示，
∵OE：ED=1：3，
∴设OE=x，则ED=3x，
∵OA=OD，
∴OA=1x，
在Rt△AOE中，x2+（）2=（1x）2，
∴x=，
∴BD=8x=8×=．
综上，BD的长为1或.
12、
【解析】
过点F作FH⊥AD于H，先利用矩形的性质及轴对称的性质证明DE=DF=BF，在Rt△DCF中通过勾股定理求出DF的长，再求出HE的长，再在Rt△HFE中利用勾股定理即可求出EF的长．
【详解】
解：如图，过点F作FH⊥AD于H，

∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD，∠C=90°，DC=AB=4，四边形DCFH为矩形，
∴∠BFE=∠DEF，
由折叠可知，∠BFE=∠DFE，BF=DF，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF=BF，
在Rt△DCF中
设DF=x，则CF=BC-BF=6-x，
∵DC2+CF2=DF2，
∴42+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴DE=DF=BF=，
∴CF=BC-BF=6-=，
∵四边形DCFH为矩形，
∴HF=CD=4，DH=CF=，
∴HE=DE-DH=，
∴在Rt△HFE中，
故答案为
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理等，解题关键是能够灵活运用矩形的性质及轴对称的性质．
13、0、1、1
【解析】
首先移项，然后化系数为1即可求出不等式的解集，最后取非负整数即可求解．
解：9﹣3x＞0，
∴﹣3x＞﹣9，
∴x＜3，
∴x的非负整数解是0、1、1．
故答案为0、1、1．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）BD∥AC；（2）；（3）
【解析】
（1）由A与B的坐标求出OA与OB的长，进而得到B为OA的中点，而D为OC的中点，利用中位线定理即可得证；
（2）如图1，作BF⊥AC于点F，取AB的中点G，确定出G坐标，由平行线间的距离相等求出BF的长，在直角三角形ABF中，利用斜边上的中线等于斜边的一半求出FG的长，进而确定出三角形BFG为等边三角形，即∠BAC=30°，设OC=x，则有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根据OA的长求出x的值，即可确定出C坐标；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，AB∥DE，进而得到DE垂直于OC，再由D为OC中点，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC为等腰直角三角形，求出OC的长，确定出C坐标，设直线AC解析式为y=kx+b，将A与C坐标代入求出k与b的值，即可确定出AC解析式．
【详解】
（1），，
，，点B为线段OA的中点，
点D为OC的中点，即BD为的中位线，
；
（2）如图1，作于点F，取AB的中点G，则，
，BD与AC的距离等于2，
，
在中，，，点G为AB的中点，
，
是等边三角形，.
，
设，则，
根据勾股定理得：，
，
，
点C在x轴的正半轴上，
点C的坐标为；
（3）如图2，当四边形ABDE为平行四边形时，，
，
点D为OC的中点，
，
，
，
，
点C在x轴的正半轴上，
点C的坐标为，
设直线AC的解析式为.
将，得
，
解得：.
直线AC的解析式为.
此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：三角形中位线定理，坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
15、 (1) 8；(2) 4.
【解析】
将 x2+y2变形为(x+y)2-2xy，再将x+y与xy的值代入即可；
将整理为，再将x2+y2与xy的值代入即可.
【详解】
(1)∵x=+1,y=-1,
∴x+y=2,xy=2,
∴x2+y2
=(x+y)2-2xy
=(2)2-2×2
=12-4
=8.
(2)∵x=+1,y=-1,
∴x2+y2=8,xy=2,
∴+
=
=
=4.
本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键.
16、（1）54；（2）不是直角三角形，理由见解析.
【解析】
（1）在和中，利用勾股定理分别求得AB与AC的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理进行判断即可.
【详解】
解：,
.
在和中，
根据勾股定理得，，
又，，，
，
；
不是直角三角形.理由：
，
，
不是直角三角形.
本题主要考查勾股定理及其逆定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
17、（1）见解析；（2）①见解析，②，理由见解析.
【解析】
（1）根据平行四边形的性质得到∠OAF=∠OCE，证明△OAF≌△OCE，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
（2）①过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，根据三角形的外角性质得到∠BAG=∠BGA；
②证明△AME≌△BNG，根据全等三角形的性质得到ME=NG，根据等腰直角三角形的性质得到BE=GC，根据（1）中结论证明即可．
【详解】
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴
∴，
∵，
∴；
（2）①过作于，交于，过作于，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，又，
∴，
设，
则，，
∴；
②，
理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在等腰中，，
∴，
∴，
∵，
∴.
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论．
18、（1）DE＝10；（2）∠BCE＝19°．
【解析】
（1）根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论；
（2）由DE＝DC得到∠DEC＝∠DCE，由DE＝BE得到∠B＝∠EDB，由此根据外角的性质来求∠BCE的度数．
【详解】
（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝20，
∵CE是中线，
∴DE是斜边AB上的中线，
∴DE＝AB=10；
（2）∵DF⊥CF，F是CF的中点，
∴DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴∠EDB＝∠DEC+∠DCE＝2∠BCE，
∵DE＝BE，
∴∠B＝∠EDB，
∴∠B＝2∠BCE，
∴∠AEC＝3∠BCE＝57°，则∠BCE＝19°．
本题考查了勾股定理，也考查了直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、21.
【解析】已知这组数据共5个，且中位数为4，所以第三个数是4；又因这组数据的唯一众数是6，可得6应该是4后面的两个数字，而前两个数字都小于4，且都不相等，所以前两个数字最大的时候是3，2，即可得其和为21，所以这组数据可能的最大的和为21.故答案为：21.
点睛：主要考查了根据一组数据的中位数来确定数据的能力．将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．注意：找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
20、①②③④
【解析】
延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题．
【详解】
如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD＝2AD，DF＝FC，
∴CF＝CB，
∴∠CFB＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB＝∠FBH，
∴∠CBF＝∠FBH，
∴∠ABC＝2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D＝∠FCG，
∵DF＝FC，∠DFE＝∠CFG，
∴△DFE≌△FCG（AAS），
∴FE＝FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBG＝90°，
∴BF＝EF＝FG，故②正确，
∵S△DFE＝S△CFG，
∴S四边形DEBC＝S△EBG＝2S△BEF，故③正确，
∵AH＝HB，DF＝CF，AB＝CD，
∴CF＝BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF＝BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC＝∠BFH，
∵FE＝FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH＝∠EFH＝∠DEF，
∴∠EFC＝3∠DEF，故④正确，
故答案为：①②③④
本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
21、y＝x－2
【解析】
解：设直线向下平移了h个单位，y＝x－2-h,过(3，－2)，所以-2=3-2-h
所以h=-4
所以y＝x－2
故答案为：y＝x－2．
本题考查一次函数图象左右平移，上下平移方法，口诀“左加右减，上加下减”．
y=kx+b 左移2个单位，y=k（x+2）+b；
y=kx+b 右移2个单位，y=k（x-2）+b；
y=kx+b 上移2个单位，y=kx+b+2；
y=kx+b 下移2个单位，y=kx+b-2．
22、
【解析】
采用分解因式法解方程即可.
【详解】
解：，解得.
本题考查了分解因式法解方程.
23、x≥－1
【解析】
试题分析：由题意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案为x≥﹣1．
考点：函数自变量的取值范围．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）证明见解析；（2）DF=；（3）PF=.
【解析】
试题分析：(1)、根据矩形的可得AD=BC，AB=CD，根据折叠图形可得BC=EC，AE=AB，则可得AD=CE，AE=CD，从而得到三角形全等；(2)、设DF=x，则AF=CF=4－x，根据Rt△ADF的勾股定理求出x的值；(3)、根据菱形的性质进行求解.
试题解析：(1)、∵矩形ABCD ∴AD=BC,AB=CD,AB∥CD ∴∠ACD=∠CAB
∵△AEC由△ABC翻折得到 ∴AB="AE,BC=EC," ∠CAE=∠CAB ∴AD=CE，DC=EA，∠ACD=∠CAE，
在△ADE与△CED中∴△DEC≌△EDA（SSS）；
(2)、如图1，∵∠ACD=∠CAE， ∴AF=CF， 设DF=x，则AF=CF=4﹣x，
在RT△ADF中，AD2+DF2=AF2， 即32+x2=（4﹣x）2， 解得；x=， 即DF=．
(3)、四边形APCF为菱形 设AC、FP相较于点O ∵FP⊥AC ∴∠AOF=∠AOP
又∵∠CAE=∠CAB， ∴∠APF=∠AFP ∴AF=AP ∴FC=AP
又∵AB∥CD ∴四边形APCF是平行四边形 又∵FP⊥AC ∴四边形APCF为菱形 PF=
考点：(1)、折叠图形的性质；(2)、菱形的性质；(3)、三角形全等；(4)、勾股定理.
25、（1）1；（2）2
【解析】
（1）根据负整数指数幂、绝对值、零指数幂可以解答本题；
（2）根据分式的乘法和减法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
解：（1）原式=；
（2）
=
=
=
=，
把代入，得：原式=
本题考查分式的化简求值、负整数指数幂、绝对值、零指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
26、（1）直线OB的解析式为，直线AB的解析式为y= -x+1（2）1；（3）①存在，(0，)；②存在，(2，-2)或(4，6)或(-2，2)
【解析】
（1）根据题意分别设出两直线的解析式，代入直线上两点坐标即可求出直线OB与AB的解析式；
（2）延长线段AB交x轴于点D，求出D的坐标，分别求出、由即可求得；
（3）①根据两点之间线段最短，A、B在y轴同侧，作出点A关于y的对称点，连接B与y轴的交点即为所求点P；
②使以A，O，C，B为顶点的四边形是平行四边形，则分三种情况分析，分别以OA、AB、OB为对角线作出平行四边形，利用中点坐标公式代入求解即可．
【详解】
解：（1）设直线OB的解析式为y=mx，
∵点B(3，2)，
∴ ，
∴直线OB的解析式为，
设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意可得：
解之得
∴直线AB的解析式为y= -x+1．
故答案为：直线OB的解析式为，直线AB的解析式为y= -x+1；
（2）如图，延长线段AB交x轴于点D，
当y=0时，-x+1=0，x=1，
∴点D横坐标为1，OD=1，
∴，

∴，
故答案为：1．
（3）①存在，(0，)；
过点A作y轴的对称点，连接B，交y轴与点P，则点P即为使△PAB周长最小的点，
由作图可知，点坐标为，又点B（3，2）
则直线B的解析式为：，
∴点P坐标为，
故答案为：；
②存在． 或或．
有三种情况，如图所示：设点C坐标为，
当平行四边形以AO为对角线时，
由中点坐标公式可知，AO的中点坐标和BC中点坐标相同，
∴
解得
∴点坐标为，
当平行四边形以AB为对角线时，AB的中点坐标和OC的中点坐标相同，则
∴点的坐标为，
当平行四边形以BO为对角线时，BO的中点坐标和AC的中点坐标相同，则
解得
∴点坐标为，
故答案为：存在，或或．
本题考查了直线解析式的求法，列二元一次方程组求解问题，割补法求三角形的面积，两点之间线段最短，“将军饮马”模型的应用，添加点构造平行四边形，利用中点坐标公式求点坐标题型．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人