北京市海淀区清华附中2024年九上数学开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份北京市海淀区清华附中2024年九上数学开学质量跟踪监视试题【含答案】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）已知（4+）•a=b，若b是整数，则a的值可能是（ ）
A．B．4+C．4﹣D．2﹣
2、（4分）下列分式中，是最简分式的是
A．B．C．D．
3、（4分）为了美化校园环境，加大校园绿化投资．某区前年用于绿化的投资为18万元，今年用于绿化的投资为33万元，设这两年用于绿化投资的年平均增长率为x，则（ ）
A．18（1+2x）＝33B．18（1+x2）＝33
C．18（1+x）2＝33D．18（1+x）+18（1+x）2＝33
4、（4分）某社区超市以4元/瓶从厂家购进一批饮料，以6元/瓶销售.近期计划进行打折销售，若这批饮料的销售利润不低于20%则最多可以打（ ）
A．六折B．七折C．七五折D．八折
5、（4分）如图，把两块全等的的直角三角板、重叠在一起，，中点为，斜边中点为，固定不动，然后把围绕下面哪个点旋转一定角度可以使得旋转后的三角形与原三角形正好合成一个矩形（三角板厚度不计）（ ）
A．顶点B．顶点C．中点D．中点
6、（4分）如图，在中，，，点D，E分别是AB, BC的中点，连接DE，CD，如果,那么的周长（ ）
A．28B．28.5C．32D．36
7、（4分）下列四组线段中，可以组成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．3，4，5C．5，6，7D．1，，3
8、（4分）如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝7，EF＝3，则BC的长为( )
A．9B．10C．11D．12
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，在Rt△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB于点E，若DE刚好平分∠ADB，且AE＝a，则BC＝_____．
10、（4分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格格点上，点A的坐标为（－1，4）．将△ABC沿y轴翻折到第一象限，则点C的对应点C′的坐标是_____．
11、（4分）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为_______元/千克．
12、（4分）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是 ．
13、（4分）有一个质地均匀的正方体，其六个面上分别写着直角梯形、等腰梯形、矩形、正方形、菱形、平行四边形，投掷这个正方体后，向上的一面的图形是对角线相等的图形的概率是_______；
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点．
（1）试说明四边形AECF是平行四边形．
（2）若AC＝2，AB＝1．若AC⊥AB，求线段BD的长．
15、（8分）如图1，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB=45°
（1）求证：AG=FG；
（2）如图2延长FC、AE交于点M，连接DF、BM，若C为FM中点，BM=10，求FD的长．
16、（8分）五一期间，某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品1件和乙商品3件共需240元；购进甲商品2件和乙商品1件共需130元．
（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？
（2）商场决定甲商品以每件40元出售，乙商品以每件90元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共100件，且甲种商品的数量不少于乙种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．
17、（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点 A .
(I)求直线与 x 轴的交点坐标，并在坐标系中标出点 A 及画出直线 的图象；
(II)若点P是直线在第一象限内的一点，过点P作 PQ//y 轴交直线 于点Q，△POQ 的面积等于60 ，试求点P 的横坐标.
18、（10分）下图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速情况．应用你所学的统计知识，写一份简短的报告，让交警知道这个时段路口来往车辆的车速情况．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在平行四边形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，AC⊥BC，且AB＝10㎝，AD＝6㎝，则OB＝_______________.
20、（4分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为 ．
21、（4分）已知直线y＝kx+b与y＝2x+1平行，且经过点（﹣3，4），则函数y＝kx+b的图象可以看作由函数y＝2x+1的图象向上平移_____个单位长度得到的．
22、（4分）某校九年级甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，两个班能参加比赛的学生每分钟输入汉字的个数，经统计和计算后结果如下表：
有一位同学根据上面表格得出如下结论：
①甲、乙两班学生的平均水平相同；②乙班优秀人数比甲班优秀人数多（每分钟输入汉字达150个以上为优秀）；③甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．
上述结论正确的是_______（填序号）．
23、（4分）点P（a，b）在第三象限，则直线y＝ax+b不经过第_____象限
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在▱ABCD中，点E、F在BD上，且BF＝DE．
（1）写出图中所有你认为全等的三角形；
（2）延长AE交BC的延长线于G，延长CF交DA的延长线于H（请补全图形），证明四边形AGCH是平行四边形．
25、（10分）如图，等边的边长是4，，分别为，的中点，延长至点，使，连接和．
(1)求证：；
(2)求的长；
(3)求四边形的面积．
26、（12分）两地相距300，甲、乙两车同时从地出发驶向地，甲车到达地后立即返回，如图是两车离地的距离（）与行驶时间（）之间的函数图象.
（1）求甲车行驶过程中与之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围.
（2）若两车行驶5相遇，求乙车的速度.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
找出括号中式子的有理化因式即可得．
【详解】
解：（4+）×（4-）=42-（）2=16-3=13，是整数，
所以a的值可能为4-，
故选C
本题考查了有理化因式，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式的结构特征是解题的关键．
2、D
【解析】
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】
A、＝，错误；
B、＝，错误；
C、＝，错误；
D、是最简分式，正确．
故选D．
此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
3、C
【解析】
根据题意可以列出相应的一元二次方程，本题得以解决．
【详解】
由题意可得，
18（1+x）2＝33，
故选：C．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的一元二次方程，这是一道典型的增长率问题．
4、D
【解析】
设打x折后销售利润不低于20%，根据这批饮料的销售利润不低于20%列不等式求解即可.
【详解】
设打x折后销售利润不低于20%，根据题意得
6x－4≥4×20% ，
解得x≥0.8，
所以，最多可以打8折.
故选D.
此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据实际问题中的条件列不等式时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出不等关系，列出不等式式是解题关键．
5、D
【解析】
运用旋转的知识逐项排除，即可完成解答.
【详解】
A,绕顶点A旋转可以得到等腰三角形，故A错误；
B,绕顶点B旋转得不到矩形，故B错误；
C，绕中点P旋转可以得到等腰三角形，故C错误；
D，绕中点Q旋转可以得到等腰三角形，故D正确；
因此答案为D.
本题主要考查了旋转，解题的关键在于具有丰富的空间想象能力.
6、C
【解析】
根据三角形中位线定理得到AC=2DE=7，AC//DE，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，根据线段垂直平分线的性质得到DC=BD，根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】
∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴AC=2DE=7，AC//DE，
AC +BC=7+24=625，
AB=25=625，
∴AC+BC=AB，
∴∠ACB=90°，
∵AC//DE，
∴∠DEB=90°，又∵E是BC的中点，
∴直线DE是线段BC的垂直平分线，
∴DC=BD，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=32，
故选：C．
此题考查三角形中位线定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理逆定理，解题关键在于求出∠ACB=90°.
7、B
【解析】
将各选项中长度最长的线段长求出平方，剩下的两线段长求出平方和，若两个结果相等，利用勾股定理的逆定理得到这三条线段能组成直角三角形；反之不能组成直角三角形．
【详解】
A、∵42+52=41；62=36，
∴42+52≠62，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
B、∵32+42=9+16=85；52=25，
∴32+42=52，
则此选项线段长能组成直角三角形；
C、∵52+62=61；72=49，
∴52+62≠72，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
D、∵12+（）2=3；32=9，
∴12+（）2≠32，
则此选项线段长不能组成直角三角形；
故选B
此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
8、C
【解析】
分析：先证明AB=AF=7，DC=DE，再根据EF=AF+DE﹣AD求出AD，即可得出答案．
详解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=7，BC=AD，AD∥BC．
∵BF平分∠ABC交AD于F，CE平分∠BCD交AD于E，∴∠ABF=∠CBF=∠AFB，∠BCE=∠DCE=∠CED，∴AB=AF=7，DC=DE=7，∴EF=AF+DE﹣AD=7+7﹣AD=3，∴AD=1，∴BC=1．
故选C．
点睛：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于常见题，中考常考题型．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、6a
【解析】
根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，求得∠C＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质即可得到结论．
【详解】
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C，∠EDB＝∠CBD，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE＝∠EDB，
∴∠CBD＝∠C，
∴∠ABC＝2∠C，
∵∠A＝90°，
∴∠ABC+∠C＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ADE＝30°，
∵AE＝a，
∴DE＝2a，
∵∠EDB＝∠DBC，
∠DBE＝∠EBD，
∴BE＝DE＝2a，
∴AB＝3a，
∴BC＝2AB＝6a．
故答案为：6a．
本题考查角平分线的定义、平行线的性质、及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边一半的性质是解题关键．
10、（3，1）
【解析】
关于y轴对称的点的坐标的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同.
【详解】
由题意得点C（－3，1）的对应点C′的坐标是（3，1）．
考点：关于y轴对称的点的坐标
本题属于基础题，只需学生熟练掌握关于y轴对称的点的坐标的特征，即可完成.
11、1．
【解析】
解：设售价至少应定为x元/千克，
依题可得方程x（1-5%）×80≥760，
解得x≥1
故答案为1．
本题考查一元一次不等式的应用．
12、1
【解析】
根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=CD.
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形.
∴AB=DE=CD，即D为CE中点.
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°.
∵AB∥CD，
∴∠DCF=∠ABC=60°.
∴∠CEF=30°.
∵EF=，
∴CE=2
∴AB=1
13、
【解析】
【分析】先求出总的情况和对角线相等的情况，再根据概率公式可求得.
【详解】因为，出现的图形共有6种情况，对角线相等的有（等腰梯形，正方形，矩形）3这情况，所以，P（对角线相等）=
故答案为：
【点睛】本题考核知识点：概率.解题关键点：掌握概率的求法.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）见解析；（2）BD＝2．
【解析】
（1）在平行四边形ABCD中，AC与BD互相平分，OA=OC，OB=OD，又E，F为OB，OD的中点，所以OE=OF，所以AC与EF互相平分，所以四边形AECF为平行四边形；
（2）首先根据平行四边形的性质可得AO=CO，BO=DO，再利用勾股定理计算出BO的长，进而可得BD的长．
【详解】
（1）证明：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵E，F为OB，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴AC与EF互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AC＝2，
∴AO＝2，
∵AB＝1，AC⊥AB，
∴，
∴BD＝．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
15、（1）证明见解析；（2）2．
【解析】
试题分析：（1）证明：过C点作CH⊥BF于H点
∵∠CFB=45°
∴CH=HF
∵∠ABG+∠BAG=90°， ∠FBE+∠ABG=90°
∴∠BAG=∠FBE
∵AG⊥BF CH⊥BF
∴∠AGB=∠BHC=90°
在△AGB和△BHC中
∵∠AGB=∠BHC，∠BAG=∠HBC， AB=BC
∴△AGB≌△BHC
∴AG=BH， BG=CH
∵BH=BG+GH
∴BH=HF+GH=FG
∴AG=FG
(2) ∵CH⊥GF∴CH∥GM∵C为FM的中点
∴CH=GM∴BG=GM∵BM=10
∴BG=， GM=（1分）∴AG=AB=10
∴HF=∴CF=×∴CM=
过B点作BK⊥CM于K
∵CK==， ∴BK=
过D作DQ⊥MF交MF延长线于Q
∴△BKC≌△CQD
∴CQ=BK=
DQ=CK=∴QF=－=∴DF==
考点：三角形和正方形
点评：本题考查三角形和正方形的知识，解本题的关键是熟练掌握三角形和正方形的一些性质，此题难度较大
16、（1）甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；（2）甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．
【解析】
（1）根据购进甲商品1件和乙商品3件共需240元，甲商品2件和乙商品1件共需130元可以列出相应的方程组，从而可以求得甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元；
（2）根据题意可以得到利润与购买甲种商品的函数关系式，从而可以解答本题．
【详解】
（1）设商品每件进价x元，乙商品每件进价y元，得
解得：，
答：甲商品每件进价30元，乙商品每件进价70元；
（2）设甲商品进a件，乙商品（100﹣a）件，由题意得，
a≥4（100﹣a），
a≥80，
设利润为y元，则，
y＝10 a+20（100﹣a）＝﹣10 a+2000，
∵y随a的增大而减小，
∴要使利润最大，则a取最小值，
∴a＝80，
∴y＝2000﹣10×80＝1200，
答：甲商品进80件，乙商品进20件，最大利润是1200元．
本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
17、 (I)见解析；(II) 点的横坐标为12.
【解析】
(I)将直线与直线联立方程求解，即可得到点A的坐标,然后可以在坐标系中标出点A；求出直线 与x轴的交点B，连接AB即是直线y2.
(II)用x表示出PQ的长度和Q点的横坐标，根据△POQ 的面积等于60，用等面积法即可求出点Q的横坐标.
【详解】
(I)在中，令，则，解得：,
∴与轴的交点的坐标为.
由解得.
所以点.
过、两点作直线的图象如图所示.
(II)∵点是直线在第一象限内的一点，
∴设点的坐标为，又∥轴，
∴点.
∴.
∵，
又的面积等于60，
∴，解得：或（舍去）.
∴点的横坐标为12.
本题主要是考查了一次函数.
18、见解析
【解析】
根据图形中的信息可得出最高速度与最低速度，其中速度最多的车辆有多少等等，最后组织语言交代清楚即可.
【详解】
由图可得：此处车辆速度平均在51千米/小时以上，大多以53千米/小时或54千米/小时速度行驶，最高速度为53千米/小时，有超过一半的速度在52千米/小时以上，行驶速度众数为53.
本题主要考查了统计图的认识，熟练掌握相关概念是解题关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、4cm
【解析】
在▱ABCD中
∵BC=AD=6cm，AO=CO，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∴AC==8cm，
∴AO=AC=4cm；
故答案为4cm．
20、2.5
【解析】
试题分析：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴F、C、M三点共线，∴DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°，∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°，
在△DEF和△DMF中，，∴△DEF≌△DMF（SAS），∴EF=MF，设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，
∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2， 即22+（4﹣x）2=x2，
解得：x=， ∴FM=．
考点：1.旋转的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.正方形的性质．
21、1
【解析】
依据直线y=kx+b与y=2x+1平行，且经过点（-3，4），即可得到直线解析式为y=2x+10，进而得到该直线可以看作由函数y=2x+1的图象向上平移1个单位长度得到的．
【详解】
∵直线y=kx+b与y=2x+1平行，
∴k=2，
又∵直线经过点（-3，4），
∴4=-3×2+b，
解得b=10，
∴该直线解析式为y=2x+10，
∴可以看作由函数y=2x+1的图象向上平移1个单位长度得到的．
故答案为：1．
本题主要考查了一次函数图象与几何变换，解决问题的关键是利用待定系数法求得直线解析式．
22、①②③．
【解析】
根据平均数、方差和中位数的意义，可知：甲乙的平均数相同，所以①甲、乙两班学生的平均水平相同．根据中位数可知乙的中位数大，所以②乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多．根据方差数据可知，方差越大波动越大，反之越小，所以甲班学生比赛成绩的波动比乙班学生比赛成绩的波动大．
故答案为①②③．
本题考查统计知识中的中位数、平均数和方差的意义．要知道平均数和中位数反映的是数据的集中趋势，方差反映的是离散程度．
23、一
【解析】
点在第三象限的条件是：横坐标为负数，纵坐标为负数.进而判断相应的直线经过的象限
【详解】
解：∵点P（a，b）在第三象限，
∴a＜0，b＜0，
∴直线y＝ax+b经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故答案为：一．
此题主要考查四个象限的点坐标特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负.掌握直线经过象限的特征即可求解
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）△ABE≌△CDF；△AED≌△CFB；△ABD≌△CDB；（2）详见解析
【解析】
（1）因为ABCD是平行四边形，AD∥BC，因此∠ADE＝∠CBF，又知DE＝BF，D＝BC那么构成了三角形ADE和CBF全等的条件（SAS）因此△AED≌△CFB．同理可得出△ABE≌△CDF，△ABD≌△CDB．
（2）要证明四边形AGCH是个平行四边形，已知的条件有AB∥CD，只要证得AG∥CH即可得出上述结论．那么就需要证明∠AEB＝∠DFC，也就是证明△ABE≌△CDF，根据AB∥CD．∴∠ABD＝∠CDB．这两个三角形中已知的条件就有AB＝CD，BE＝DF（BE＝DF+EF＝DE+EF＝DF），又由上面得出的对应角相等，那么两三角形就全等了（SAS）．
【详解】
（1）解：△ABE≌△CDF；△AED≌△CFB；△ABD≌△CDB；
（2）证明：在△ADE和△CBF中，AD＝CB，∠ADE＝∠CBF，DE＝BF，
∴△ADE≌△CBF，
∴∠AED＝∠CFB．
∵∠FEG＝∠AED＝∠CFB＝∠EFH，
∴AG‖HC，而且，AH‖GC，
∴四边形AGCH是平行四边形
本题考查了全等三角形的判定，平行四边形的性质和判定等知识点，本题中公共全等三角形来得出线段和角相等是解题的关键．
25、 (1)证明见解析；(2)EF=；(3).
【解析】
（1）利用三角形中位线定理即可解决问题；
（2）先求出，再证明四边形是平行四边形即可；
（3）过点作于，求出、即可解决问题.
【详解】
(1)在中，
、分别为、的中点，
为的中位线，
，
，
．
(2)，，
，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
．
(3)过点作于，
，，
，
，
．
本题考查等边三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住平行四边形的面积公式，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.
26、（1）；（2）40千米/小时.
【解析】
（1）甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式两种，即从A地到B地是正比例函数，返回时是一次函数，自变量的取值范围分别为 （0＜x≤4）和（ 4＜x≤7），
（2）求出乙车的y与x的关系式，再与甲车返回时的关系式组成方程组解出即可．
【详解】
解：（1）设甲车从A地驶向B地y与x的关系式为y=kx，把（4，300）代入得：
300=4k，解得：k=75，
∴y=75x （0＜x≤4）
设甲车从B地返回A地y与x的关系式为y=kx+b，把（4，300）（7，0）代入得：
，
解得：k=-100，b=700，
∴y=-100x+700 （4＜x≤7），
答：甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为： ，
（2）设乙车速度为m千米/小时，依据两车行驶5相遇，在甲车返回时相遇，即甲乙两车离A的距离相等，得：5m=-100×5+700
解得：m=40
答：乙车的速度为40千米/小时．
考查一次函数的性质、待定系数法求函数的关系式、一次函数与一次方程的关系等知识，理解变量之间的关系是前提，正确识别图象是关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人