湖南省邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题

这是一份湖南省邵东市第一中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：黄能武 审题人：刘小荣
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．
1．设，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若且，则
3．已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．下列说法不正确的是（ ）
A．命题p：，，则命题p的否定：，
B．若集合中只有一个元素，则
C．若，，则
D．已知集合，且，满足条件的集合N的个数为4
5．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．下列说法正确的是（ ）
A．，对任意的，，这个对应是A到B的函数
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．和表示同一函数
D．函数的最小值是-1
7．在R上定义运算：．已知时，存在x使不等式成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若对任意的，都有成立，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的解集是
C．D．的解集是
10．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的定义域为RB．的值域为
C．若，则x的值是D．的解集为
11．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知命题p：，，命题q：，使得成立，若p是真命题，q是假命题，则实数a的取值范围是______．
13．函数的单调递减区间为______．
14．若关于x的不等式的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知全集，集合，，．
（1）求集合；
（2）若，求实数a的取值范围．
16．（15分）设函数．
（1）若关于x的不等式有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数x的取值范围．
17．（15分）某学校要建造一个长方体形的体育馆，其地面面积为，体育馆高5m，如果甲工程队报价为：馆顶每平方米的造价为100元，体育馆前后两侧墙壁平均造价为每平方米150元，左右两侧墙壁平均造价为每平方米250元，设体育馆前墙长为x米．
（1）当前墙的长度为多少米时，甲工程队报价最低？
（2）现有乙工程队也参与该校的体育馆建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（学校选择报价更低的工程队），试求a的取值范围．
18．（17分）已知函数，．
（1）求函数的值域；
（2）试判断在区间，的单调性，并证明；
（3）对，总，使成立，求实数m的取值范围．
19．（17分）高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，．
（1）求的解集和的解集．
（2）设方程的解集为A，集合，若，求k的取值范围．
（3）若的解集为，求a的范围．
邵东一中2024年下学期高一第一次月考数学试卷
答案
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是正确的．
1．A 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
【详解】若且，由不等式的可加性得到，即则“且”是“”的充分条件，若不一定得到且，如，满足，但是，所以“且”不是“”的必要条件．故选：A
2．答案：A
解析：对于A项，取，，，，则，，所以，故A选项错误；
对于B选项，若，有，则，B选项正确；
对于C选项，若，则，则，又因为，由不等式的性质可得，所以C选项正确；
对于D选项，若且，则，所以，，D选项正确．故选：A．
3．答案：D
解析：由题意可知：，
集合，
因为代表所有的偶数，代表所有的整数，所以，即．
故选：D．
4．答案：B
解析：对于A，由全称命题的否定知，命题p：，，的否定为，，故A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B不正确；
对于C，因为，，所以，，则，故C正确．
对于D，由，故集合N的个数为，故D正确．故选：B
5．答案：B（学法大视野课时作业p232页12题）
解析：若的定义域是R，则在R恒成立，时，显然成立，时，只需，解得：，综上，m的取值范围是，故选：B．
6．答案：C
解析：对于A选项，当时，故不符合函数定义，A错误；
对于B选项，因为函数的定义域为，∴，∴，所以函数的定义域为，故B错误；
对于C选项，两个函数定义域和对应关系都相同，故是同一函数，C正确；
对于D选项，，函数在单调递增，则，，故D错误．故选C．
7．答案：C
解析：由，即为，
当时，存在x使不等式成立，
等价于，
由，可得时，取得最大值，且为6，
所以，解得，故选C．
8．答案：B
【分析】利用换元法构造函数，结合单调性求函数值域，结合题意即可求解．
【详解】设，则，，
令，则，
因为，所以，当且仅当时等号成立，
当，即时，函数y在上单调递减，则，
当，即时，，
当，即时，函数y在上单调递增，则，
所以，当时，，，
由于对任意的，都有成立，
所以，，解得，
当时，，显然符合题意，
当时，，，
由题意知，，解得，，
综上可得，k的取值范围为，故选：B．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．答案：ABD（学法大视野课时作业p227页第4题）
【分析】由题意可得的两个根为-2和4，且，则有，，表示出b，c，再逐个分析判断即可．
【详解】因为关于x的不等式的解集为，
所以的两个根为-2和4，且，
所以，得，，所以A正确，
对于B，因为，，所以可化为，因为，所以，得，所以的解集为，所以B正确，
对于C，因为，所以，所以C错误，
对于D，因为，，所以可化为，因为，所以，，得或，所以原不等式的解集为，所以D正确，故选：ABD
10．答案：BC（学法大视野课时作业p236页第11题）
【解析】根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集．
【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是，当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；
当时，，解得（舍去），当时，，解得或（舍去），故C正确；
当时，，解得，当时，，解得，因此的解集为；故D错误．故选：BC．
【点睛】此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解．
11．答案：ACD
解析：对A、B：因为，所以，，当且仅当时，等号成立，故A正确，B错误；
对C：若，则，所以，
当且仅当，即，时，等号成立，故C正确，
对D：若，则，所以，由，，及，可知，则当，即，时，，故D正确，故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案：（学法大视野课时作业p214页第12题）
【分析】根据p是真命题可得，再分析当q是真命题时，进而求得q是假命题时a的取值范围即可
【详解】命题p：，恒成立，若p是真命题，则：，
命题q：，使得成立，若命题q为真命题，则．
所以命题q是假命题时，，
综上，参数a的取值范围是：，即
故答案为：
13．答案：（填或或也可）
【详解】．画出函数图象，如图可知，函数的单调递减区间为．
14．答案：
【解析】【分析】先根据判别式确定a的范围，运用求根公式求出方程的根，再根据解的情况确定a的范围．
【详解】由不等式得：，因为解集中只有2个整数，必有，，并且，∴，∴，
由求根公式得方程的解为，，
∵∴，即不等式的2个整数解必定为1和2，
∴，解得；
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（1）；（2）．
【解析】（1）先求出集合A，B，再根据补集定义求出，进一步根据交集运算求出；
（2）由可知，分和两种情况讨论可求出．
【详解】（1）∵，
，
∴，∴；
（2）∵，∴，
当，即时，，满足题意；
当时，满足，解得，
综上，实数?的取值范围是
【点睛】本题考查集合的补集交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，考查根据集合的包含关系求参数，属于基础题．
16．【解题思路】（1）将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
（2）将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
【解答过程】（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，
综上，，所以实数a的取值范围是；
另解：解题思路：将参数a分离，，分别按，，三种情况结合基本不等式及不等式的性质求出函数的值域，
（2）不等式对于实数时恒成立，即，，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，所以实数x的取值范围是；
17．答案：（1）当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元
（2）当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功
解析：（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（），
设甲工程队报价为y元，所以，
解析：（1）因为体育馆前墙长为x米，地面面积为，
所以体育馆的左右两侧墙的长度均为米（），
设甲工程队报价为y元，
所以．
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当前墙的长度为20米时，甲工程队报价最低为84000元；
（2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，
因为，，
当且仅当，即时等号成立，所以，
故当时，无论前墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功．
18．解析：（1）令，则，∴，
即
则函数的值域为；
（2）由（1）知，，则
在区间是增函数分，证明如下：，且
则
∵，∴，，∴，
则，即
∴在区间是增函数
（3）由（1）（2）知，则
当时，
则，记集合
当时，由（2）知在区间单调递增
∴记集合
∵对，总，使成立，∴，则，
又∵，∴，∴
则实数的取值范围是
19．【分析】（1）由表示不超过实数x的最大整数可得x的范围；
（2）根据高斯函数的定义求得集合A，从而得出集合B的可能情形，根据集合的情形求解．
（3）不等式可化为，分，，三类讨论解集情况可得．
【详解】（1）由题意得，且，
由，即，所以，
故的解集为；
由，即，
∴，则，所以．所以的解集为．
（2），则，，∴
，
（时）或（时），，则，解得，即k的范围是．
注：按，，分论讨论也可给分．
（3）不等式，即，
由方程可得或．
①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；
②若，，由，解得，
因为不等式的解集为，
所以，解得
③若，，
由，解得，
因为不等式解集为，
所以，解得．
综上所述，或．
故a的范围为．