人教版数学九上04-(四)旋转中的常见模型练习（含解析）

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(四)旋转中的常见模型类型一　“手拉手”模型1.(2022广东广州越秀期中)如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=40°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°,得到△DBE,连接AD,CE交于点F.(1)求证:△ABD≌△CBE;(2)求∠AFC的度数.2.(教材P63变式题)如图,△ABD,△AEC都是等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=90°.(1)BE与DC有什么关系?你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗?(2)连接AO,试判断∠AOD与∠AOE的大小关系,并说明理由.类型二　“半角”模型3.(1)【发现证明】如图1,在正方形ABCD中,点E、F分别是BC、CD边上的动点,且∠EAF=45°,求证:EF=DF+BE.小明发现,当把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG的位置,能够证明EF=DF+BE,请你给出证明过程.(2)【类比引申】①如图2,四边形ABCD是正方形,如果点E、F分别是CB、DC的延长线上的动点,且∠EAF=45°,那么(1)中的结论还成立吗?如果不成立,请写出正确的结论,并证明.②如图3,四边形ABCD是正方形,如果点E、F分别是BC、CD的延长线上的动点,且∠EAF=45°,那么EF,BE,DF之间的数量关系是　　　　　　(不要求证明). (3)【联想拓展】如图1,若正方形ABCD的边长为6,AE=35,求AF的长. 图1 图3图24.(2022江苏南通如皋期中)如图,点M、N分别在等边△ABC的两边AB、AC所在的直线上,点D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=CD.(1)如图1,点M、N在边AB、AC上,BM=CN=2,求MN的长;(2)如图2,点M、N在边AB、AC上,BM≠CN,试猜想BM,CN,MN之间的数量关系,并加以证明;(3)当点M、N在AB、CA的延长线上时,若等边△ABC的周长为l,AN的长为n,则△AMN的周长为　 　 (用含有l,n的代数式表示).  图1图2答案全解全析解析　(1)证明:∵将△ABC绕点B按逆时针方向旋转100°,得到△DBE,∴∠ABC=∠DBE=40°,∠ABD=∠CBE=100°,AB=DB,CB=EB,又∵BA=BC,∴AB=BC=BD=BE,在△ABD与△CBE中,BA=BC,∠ABD=∠CBE,BD=BE,∴△ABD≌△CBE(SAS).(2)∵∠ABD=∠CBE=100°,BA=BC=BD=BE,∴∠BAD=∠ADB=∠BCE=∠BEC=40°.∵∠ABE=∠ABD+∠DBE=140°,∴∠AFE=360°-∠ABE-∠BAD-∠BEC=140°,∴∠AFC=180°-∠AFE=40°.2.解析　(1)BE=DC,BE⊥DC.理由:∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,∴AB=AD,AE=AC.∵∠BAD=∠CAE=90°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE.∴将△ABE绕点A顺时针旋转90°后会与△ADC完全重合,即△ABE≌△ADC,∴BE=DC,∠ABE=∠ADC.又∵∠BFO=∠DFA,∠ADF+∠DFA=90°,∴∠ABE+∠BFO=90°,∴∠BOF=90°,即BE⊥DC.(2)∠AOD=∠AOE.理由:如图,作AM⊥DC于点M,AN⊥BE于点N,∵△ABE≌△ADC,∴S△ABE=S△ACD,∴12DC·AM=12BE·AN,又DC=BE,∴AM=AN,∵AM⊥DC,AN⊥BE,∴∠AOD=∠AOE.3.解析　(1)证明:∵把△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADG的位置,∴∠BAE=∠DAG,BE=DG,AE=AG,∠B=∠ADG=90°,∵∠ADF=90°,∴∠ADF+∠ADG=180°,∴F、D、G三点共线.∵∠EAF=45°,∠BAD=90°,∴∠BAE+∠FAD=45°,∴∠DAG+∠FAD=45°,即∠FAG=45°,∴∠EAF=∠FAG.∵AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS),∴EF=FG=DF+DG=DF+BE.(2)①不成立,结论:EF=DF-BE.证明:如图,将△ABE绕点A顺时针旋转90°至△ADM的位置,∴∠EAB=∠MAD,AE=AM,∠EAM=90°,BE=DM,∵∠EAF=45°,∴∠MAD+∠BAF=∠EAB+∠BAF=45°,∵∠BAD=90°,∴∠FAM=45°,∴∠EAF=∠FAM,∵AF=AF,∴△EAF≌△MAF(SAS),∴EF=FM=DF-DM=DF-BE.②BE=EF+DF.(3)由(1)可知AG=AE=35,∵正方形ABCD的边长为6,∴DC=BC=AD=6,∴DG=AG2-AD2=(35)2-62=3.∴BE=DG=3,∴CE=BC-BE=6-3=3.设DF=x,则EF=FG=x+3,CF=6-x,在Rt△EFC中,CF2+CE2=EF2,∴(6-x)2+32=(x+3)2,解得x=2.∴DF=2,∴AF=AD2+DF2=62+22=210.解析　(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵∠BDC=120°,BD=CD,∴∠DBC=∠DCB=30°.∴∠DBM=∠DCN=90°.在△BDM和△CDN中,BD=CD,∠DBM=∠DCN,BM=CN,∴△BDM≌△CDN(SAS).∴∠BDM=∠CDN,DM=DN.∵∠MDN=60°,∴△DMN是等边三角形,∠BDM=12×(120°-60°)=30°.在Rt△BDM中,DM=2BM=4,∵△DMN为等边三角形,∴MN=DM=4.(2)BM+CN=MN.证明:如图,将△DCN绕点D逆时针旋转120°至△DBP的位置.则DP=DN,BP=CN,∠DBP=∠DCN,∠BDP=∠CDN,由(1)知,∠DBM=∠DCN=90°,∴∠DBP=90°,∴∠DBM+∠DBP=180°,∴M、B、P三点共线,∵∠BDC=120°,∠MDN=60°,∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDP=60°,即∠PDM=60°,∴∠PDM=∠NDM.在△PDM和△NDM中,DP=DN,∠PDM=∠NDM,DM=DM,∴△PDM≌△NDM(SAS).∴MP=MN.∵MP=BM+BP=BM+CN,∴BM+CN=MN.(3)2n+23l.提示:将△BMD绕点D顺时针旋转120°,推出MN=AN+AC-BM.