江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

这是一份江苏省泰州中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题，共16页。试卷主要包含了经过两点的直线的倾斜角为，已知中，，则关于下列说法中正确，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，
1.经过两点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.若方程表示圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
3.平面内一点到两定点的距离之和为10，则的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
4.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
5.若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.或
C. D.或
6.已知点在圆上，点，则满足点的个数为（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
7.设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
8.已知圆，点，点是上的动点，过作圆的切线，切点分别为，直线与交于点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的德6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知中，，则关于下列说法中正确（ ）
A.某一边上的中线所在直线的方程为
B.某一条角平分线所在直线的方程为
C.某一边上的高所在直线的方程为
D.某一条中位线所在直线的方程为
10.下列说法正确的是（ ）
A.直线的倾斜角的取值范围是
B.“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C.过点且在轴，轴截距相等的直线方程为
D.设点，若点在线段上（含端点），则的取值范围是
11.已知圆：，过圆外一点作圆的切线，切点为，，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（ ）
A.若点在直线上，则直线过定点
B.当取得最小值时，点在圆上
C.直线，关于直线对称
D.与的乘积为定值4
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.写出过点且与圆相切的直线方程__________.（写出一条直线即可）
13.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是__________.
14.已知为圆上任意一点，，则的最小值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知点和直线.
（1）求过点与直线平行的直线的方程；
（2）求过的中点与垂直的直线的方程.
16.（15分）已知以点为圆心的圆与__________，过点的动直线与圆相交于两点.从①直线相切；②圆关于直线对称.这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.
（1）求圆的方程；
（2）当时，求直线的方程.
17.（15分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为.
（1）用表示出直线的方程，并求出的坐标；
（2）求锯成的的面积的最小值.
18.（17分）如图，圆C：.
（1）若圆与轴相切，求圆的方程；
（2）当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.
19.（17分）已知为圆上三点.
（1）若直线过点，求面积的最大值；
（2）若为曲线上的动点，且.试问直线和直线的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
2024~2025学年秋学期高二年级练习
数学学科答案
命题人：宋健 审题人：严云
（考试时间：120分钟；总分：150分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.【答案】C
【解析】由题意知，经过的直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，则，所以，即直线的倾斜角为.故选：C
2.【答案】C
3.【答案】B
【解析】平面内一点到两定点的距离之和为，
所以的轨迹满足椭圆的定义，是椭圆，且，
椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的方程为.故选：B.
4.【答案】C
【解析】如图建立平面直角坐标系，则圆心在轴上，设圆的半径为，
则圆的方程为，
拱顶离水面3米，水面宽12米，圆过点，
圆的方程为，
当水面下降1米后，可设水面的端点坐标为，则，
当水面下降1米后，水面宽度为.
故选：C.
5.【答案】D
【解析】因为曲线，即，
表示圆心为原点，半径为1的半圆，如图，
当直线，即与曲线相切时，
圆心到直线的距离，解得或（舍去）
当直线，即与曲线相交且只有一个交点时，，
综上可得，或，
故选：D
6.【答案】B
【解析】设点，则，
由，得，
即，
故点的轨迹为一个圆心为､半径为的圆，
又点在圆上，
两圆的圆心距为，半径和为，半径差为，
有，所以两圆相交，满足这样的点有2个.
故选：B.
7.【答案】B
【解析】如图，设点关于直线的对称点为：
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即为入射点，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件.
故，
故选：B.
8.【答案】B
【解析】如图，设，由题可知，则，即，所以，所以点，
将点的坐标代入，化简得（不同时为0，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
又，点在该圆外，
所以的最小值为，
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.【答案】AD
【解析】对于A，线段的中点为，又，
所以边上的中线所在直线的方程为，故A正确；
对于B，由A知，只能为的角平分线，假设为的角平分线，
在上任取一点，
直线的方程为：，即.
直线的方程为：，即，
则到直线的距离为：，
则到直线的距离为：，
因为，故B错误；
对于C，因为，
而直线的高所在直线的方程为：，故C错误；
对于D，线段的中点为，线段的中点为，
线段的中点为，
直线的方程为：，即，所以D正确；
故选：AD.
10.【答案】AD
【解析】对于A：直线的倾斜角为，则，
因为，所以，故A正确.
对于B：当时，直线与直线的斜率分别为，斜率之积为，
故两直线相互垂直，所以充分性成立，
若“直线与直线互相垂直”，则，
故或，所以得不到，故必要性不成立，故B错误.
对于C：截距为0时，设直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
当截距不为0时，设直线方程为，又直线过点，
所以可得，所以直线方程为，
所以过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；
对于D：如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，
Q点，点是线段（含端点）上任一点，，
或的取值范围是.故D正确.
故选：AD.
11.【答案】ACD
【解析】
【分析】根据垂直关系可得四点共圆，进而可得以为直径的圆的方程，两圆相减可得直线的方程，即可得定点坐标，根据数量积的运算律，结合基本不等式即可求解最值，进入可得点的轨迹，根据直线关于直线对称，而与直线垂直，即可判断C，根据锐角三角函数即可求解D.
【详解】
设，由四点，，，共圆，且以为直径，
可得圆的方程为，化简得，
联立圆，
可得直线的方程为，即，令，且，
解得，即直线恒过定点，故A正确，
，
由于，当且仅当时，即时等号成立，
故此时点在圆上，故B错误，
由于直线，关于直线对称，而方程为，
由于直线与垂直，故直线，关于直线对称，C正确，
设，则，，所以，故D正确，
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】或，答案不唯一
13.【答案】
14.【答案】
【解析】设，
取
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.解析：（1）的斜率为，因为，所以，
代入点斜式，得，化简，得.
（2）的中点坐标为，因为，所以，
代入点斜式，得，化简，得.
16.【解析】（1）选①：因为圆与直线相切，
所以圆的半径为，
因此圆的方程为；
选②：因为圆与圆关于直线对称，
所以两个圆的半径相等，因此圆的半径为，
所以圆的方程为.
（2）两种选择圆的方程都是，
当过点的动直线不存在斜率时，直线方程为，
把代入中，得，
显然，符合题意，
当过点的动直线存在斜率时，设为，
直线方程为，
圆心到该直线的距离为：，
因为，所以有，
即方程为：.
综上所述：直线的方程为或.
17.【答案】（1）.
（2）.
【解析】【小问1详解】设直线，
因为直线过点，所以，即，所以，
又因为，易得直线，直线，
联立，解得；联立，解得，
故.
【小问2详解】因为，所以，所以，
因为，设到直线的距离为，则，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
18.【答案】（1）或（2）存在，
【解析】（1）因为由，可得由题意得，所以或，
故所求圆的方程为或.
（2）Q令，得，即，求得，或，
所以.假设存在圆，当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入得，
设，
从而.因为的斜率之和为而
因为，所以，的斜率互为相反数，
即，所以，即.
当直线与轴垂直时，仍然满足，即的斜率互为相反数.
综上，存在圆，使得.
19.解：（1）方法一设直线的方程为
将代入得，
令，则
当，即时，面积取得最大值
方法二直线过点面积等于面积的一半
设到直线的距离为，则
设，则
当，即时，面积取得最大值
（2）设直线和直线的斜率之积为，
设，则
①，
因为为圆上，所以
化简得
整理得②
因为，所以
从而，又因为为曲线上的动点
所以，展开得
，将①代入得
，化简得
，将②代入得
，整理得
因为，所以，从而
又，所以