辽宁省盘锦市双台子区第一中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试卷

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一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．下列图形中，既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图 B．科克曲线 C．河图幻方 D．谢尔宾斯基三角形
2．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ）
A．4B．﹣4C．±4D．2
3．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法错误的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标为（3，1） C．最小值为1 D．与y轴交点为（0，1）
4．如图，将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°到△ADE，∠B＝40°，∠DAC＝50°，则∠E的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．70°
5．小明在半径为5的圆中测量弦AB的长度，下列测量结果中一定是错误的是（ ）
A．4B．5C．10D．11
6．在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2﹣m的图象可能是（ ）
A． B．C． D．
7．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，则n的值不可能的是（ ）
A．120B．180C．240D．360
8．已知x2+y2+2x﹣6y+10＝0，则yx＝（ ）
A．3B．﹣3C．D．
9．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝36（1﹣x） B．y＝36（1+x）C．y＝18（1﹣x）2 D．y＝18（1+x2）
10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论正确的是（ ）
A．abc＜0B．b2﹣4ac＜0C．a+b+c＞0D．2a+b＝0
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
11．若关于x的方程x2+ax﹣2＝0的一个根是﹣1，则a＝ ．
12．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ．
13．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离s（米）关于滑行的时间t（秒）的函数解析式是，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
14．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，有 家公司出席了这次交易会？
15．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB1C1D1的位置，则阴影部分的面积是 ．
三．解答题（共75分）
16．（8分）解方程：
（1）x2﹣2x﹣8＝0； （2）（x+4）2＝5（x+4）．
17．（9分）如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A1B1C1，并写出点A1，B1的坐标；
（2）画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出A2的坐标．
18．（8分）宾馆有50间房供游客居住，当每间房每天定价为180元时宾馆会住满；当每间房每天的定价加10元时，就会空一间房，如果有游客居住，宾馆还需对居住的每间房每天支出20元的费用．
（1）当定价为200元时，会空 间房，每天的利润是 元．
（2）若宾馆每天想获得的利润为10890元，应该将每间房每天定价为多少元？
19．（9分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出方程ax2+bx+c＝0的两个根；
（2）直接写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围；
（3）直接写出关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集．
20．（8分）如图所示的拱桥，用表示桥拱．
（1）若所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R．
21．（9分）网络直播带货已经成为一种热门的销售方式．某水果生产商在一销售平台上直播销售枇杷，已知枇杷的成本价为20元/千克，每日销售量y（千克）与销售单价x（元）满足一次函数关系，如下表记录的是有关数据，出于营销考虑，要求枇杷销售单价不低于成本且不高于32元/千克．设销售枇杷的日获利为w（元）．
（1）求日销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）当销售单价定为多少时，销售这种枇杷的日获利w最大？最大利润为多少元？
22．（12分）△ABC和△DEC是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC，CD＝CE．
【观察猜想】当△ABC和△DEC按如图1所示的位置摆放，连接BD、AE，延长BD交AE于点F，猜想线段BD和AE有怎样的数量关系和位置关系．
【探究证明】如图2，将△DCE绕着点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），线段BD和线段AE的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【拓展应用】如图3，在△ACD中，∠ADC＝45°，CD＝，AD＝4，将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，连接BD，求BD的长．
23．（12分）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”．
（1）函数y＝3x﹣2是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”：
（2）已知二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象可以由二次函数y＝﹣x2平移得到，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”P（3，m），求该二次函数的解析式：
（3）已知二次函数y＝2（x﹣c）2+d（c，d为常数，c≠0）图象的顶点为M，与y轴交于点N，经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，当m﹣1≤x≤m，函数y＝2（x﹣c）2+d有最小值，求m的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．B． 2．A． 3．D． 4．C． 5．D． 6．B． 7．B． 8．C． 9．C． 10．，D．
二．填空题（共5小题）
11．﹣1． 12．（3，﹣1）． 13．45． 14．13． 15．2﹣．
三．解答题（共13小题）
16．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣8＝0．
（x﹣4）（x+2）＝0，
（x﹣4）＝0，（x+2）＝0，
∴x1＝4，x2＝﹣2；
（2）（x+4）2﹣5（x+4）＝0，
（x+4）（x+4﹣5）＝0，
∴x+4＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣4，x2＝1．
17．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，A1（﹣1，﹣1），B1（﹣4，﹣2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，A2（﹣1，1）．
18．【解答】解：（1）当定价为200元时，（200﹣180）÷10＝2（间）．
（50﹣2）×（200﹣20）＝8640（元）．
故答案为：2；8640；
（2）设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）＝10890．
整理，得x2﹣700x+122500＝0，
解得 x1＝x2＝350．
答：应该将每间房每天定价为350元．
19．【解答】解：（1）由图象看，方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝1，x2＝3；
（2）从图象看，当x≥2时，y随x的增大而增大；
（3）从图象看，不等式ax2+bx+c＜0的解集是：x＜1或x＞3．
20．【解答】解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心．（如图1）
（2）连接OA．（如图2）
由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4，
∴AH＝AB＝8．
∵GH＝4，
∴OH＝R﹣4．
在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2，
∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分）
解得：R＝10．
∴拱桥的半径R为10m．
21．【解答】解：（1）设日销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得，
则日销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝﹣10x+420；
（2）由题意得：w＝（﹣10x+420）（x﹣20）
＝﹣10x2+620x﹣8400
＝﹣10（x﹣31）2+1210，
∵20≤x≤32，﹣10＜0，
∴由二次函数的性质可知，当x＝31时，w取得最大值，最大值为1210，
答：当销售单价定为31元时，销售这种枇杷的日获利w最大，最大利润为1210元．
22．【解答】解：【观察猜想】AE⊥BD，AE＝BD，
证明：在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠CAE+∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝∠CBD，∠AEC＝∠BEF，
∴∠DBC+∠BEF＝90°，
∴∠BFE＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD；
【探究证明】线段BD和线段AE的数量关系和位置关系仍然成立，
证明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CBD+∠CGB＝90°，
∵∠CAE＝∠CBD，∠AGF＝∠CGB，
∴∠CAE+∠AGF＝90°，
∴∠BFA＝180°﹣90°＝90°，
∴AE⊥BD；
【拓展应用】如图，在CD的左侧以C为直角顶点作等腰直角△CDE，连接AE，
∴∠DCE＝90°，CE＝CD＝，∠CDE＝45°，
∴DE＝＝2，
∵∠ADC＝45°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝45°+45°＝90°，
∴AE＝＝＝2，
∵将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC，
∴∠ACB＝90°，AC＝BC，
由【探究证明】知BD＝AE，
∴BD＝2．
23．【解答】解：（1）由题意得：y＝x，即y＝3x﹣2＝x，
解得：x＝1，
∴“朴实点”为（1，1），
当x+y＝0时，即3x﹣2+x＝0，
解得：，
∴“沉毅点”为：；
（2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象可以由二次函数y＝﹣x2平移得到，
∴a＝﹣1
则抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣h）2+k．
∵抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即h＝k，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣h）2+h，
∵还经过一个“沉毅点”P（3，m），
即m＝﹣3，
将点（3，﹣3）代入抛物线表达式得：则﹣3＝﹣（3﹣h）2+h，
解得：h＝1或6，
即抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+1或y＝﹣（x﹣6）2+6；
（3）由题意得，点M（c，d），
当x＝0时，y＝2（x﹣c）2+d＝2c2+d，
即点N的坐标为：（0，2c2+d），
设直线MN的表达式为：y＝kx+2c2+d，
将点M的坐标代入上式得：d＝kc+2c2+d，解得：k＝﹣2c，
∴直线MN的表达式为：y＝﹣2cx+2c2+d，
∵经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即y＝x，则直线MN和y＝x重合，
∴﹣2c＝1且2c2+d＝0，
解得：，．
∴抛物线的表达式为：．
∵当m﹣1≤x≤m，函数y＝2（x﹣c）2+d有最小值，
∵抛物线在顶点处的最小值为，
∴不可能在x＝m﹣1和x＝m之间．
当时，当x＝m时，函数取得最小值，
即，
解得：，（不合题意，舍去）．
当时，
当x＝m﹣1时，函数取得最小值，
即，
解得：，（不合题意，舍去），
综上所述，．
销售单价x（元）
22
27
日销量y（千克）
200
150