湖南省永州市蓝山县第一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个正确答案.）
1. 若集合，且，则实数的值为 （ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合相等可得，运算求解即可.
【详解】因为，且，
则，解得或.
故选：D.
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式得到，进而求出交集.
【详解】，或x≥1，所以.
故选：B.
3. 设p: ，q: ，则是成立的（ ）.
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据两者的推出关系，得到答案.
【详解】易知，，但不能推出，
所以是成立的必要不充分条件.
故选：B.
4 设集合，且，则（ ）
A. 1或B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由集合的交集运算易得结果.
【详解】，，
∴B=xx>1，.
故选：B.
5. 命题p: ，则是（ ）.
A. B. ∀x∈R,x2−x+6>0
C. ∃x∈R,x2−x+6>0D.
【答案】D
【解析】
【分析】命题的否定条件不变，量词和结论发生改变，据此判断.
【详解】 p:
:,
故选:D.
6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用不等式的性质进行推理分析即可.
【详解】由，两边同时除以得：，故A错误；
由，两边同时乘以得：，故B错误；
由，两边同时平方得：，故C错误；
由，两边同时乘以得：，故D正确；
故选：D.
7. 若，则x1−2x的最大值是（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用基本不等式求积的最大值.
【详解】由题意x1−2x=12×2x(1−2x)≤12×2x+1−2x2=24，
当且仅当2x=1−2x⇒x=14时等号成立.
所以x1−2x的最大值是.
故选：B
8. 不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）.
A. 或B. C. D. 或x>2
【答案】A
【解析】
【分析】由不等式解集得到是方程的两根，，根据韦达定理得到，，代入不等式并化简得到，求出不等式解集.
【详解】由题意得是方程的两根，，
故，，
所以，，代入不等式中，
即，
化简得，解得或.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 对于任意的实数，下列命题错误的有（ ）
A. 若，则B. 若，，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据不等式性质可判断.
【详解】A选项：，若，则，选项错误;
B选项：,，设，，，，则，选项错误;
C选项：若，则，选项正确；
D选项：，设a=2，，则，选项错误.
故选：ABD.
10. 下列不等式，其中正确的有（ ）
A. B. x2+3>2xx∈R
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用基本不等式和均值不等式可以判断AD，利用作差法判断BC，即可．
【详解】对于A，由，则，故A正确，
对于B，由，则x2+3>2x,故B正确，
对于C，由，则，故C正确，
对于D，由均值不等式使用条件为正数，则当时,不等式就不成立，故D错误，
故选：ABC．
11. 设为实数，则关于x 的不等式的解集可能是（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】分，，分别讨论解不等式即可得到四个选项；
【详解】对于A，当，原不等式可化，不符合题意；故A错误；
对于B，当时，原不等式可化为，解得，
当，原不等式可化为，解得或，故B正确；
对于C、D，当，原不等式可化为，
若，则 ，解得，故D正确；
若，则 ，此时不存在；
若，则，解得，故C正确；
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知实数满足，则的取值范围是_________________．
【答案】
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可求得答案
【详解】解：因为，所以，
因为所以，
所以的取值范围是，
故答案为：
13. 不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】先把二次项的系数化为正数，然后因式分解，结合二次不等式的解法可得.
【详解】不等式变形为，
因式分解为，解得：.
所以不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，一般的求解思路是：先化二次项系数为正，然后因式分解，最后结合口诀“大于取两边，小于取中间”可得解集.
14. 关于的方程两根在1的两侧，则实数的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程的根的分布可求结论.
【详解】设，因为方程两根在1的两侧，
所以，即，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集是实数集，集合，集合.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式可得集合、，再计算交集即可得；
（2）得到、后求其交集即可得.
【小问1详解】
由，解得，，
由，解得或，或，
；
【小问2详解】
由（1）知，，或，
或，，
.
16. 已知函数的解集为.
（1） 求的值；
（2） 当c为何值时，的解集为R.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析可知的两根为，利用韦达定理运算求解；
（2）分析可知解集为R，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题分析求解.
【小问1详解】
因为的解集为，
可知两根为，
则， 解得.
【小问2详解】
由（1）可知，代入得，
因为解集为R.
当，即时，，不等式显然成立.
当，即时，则，解得；
综上所述，，故的取值范围是.
17. 已知，都是正数．
（1）若，求的最大值；
（2）若，求的最小值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）本题中主要利用不等式关系求解的最大值，注意验证等号成立条件；（2）将所求的式子与已知条件关系式做乘积可转化为利用均值不等式来求最值
试题解析：（1） ，化简得，当且仅当时等号成立，取得最值，所以的最大值为6
（2） ，当且仅当时等号成立，此时函数最小值为
考点：不等式性质求最值
18. 某中学为了迎接建校100周年校庆，决定在学校校史馆利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的荣誉室.由于荣誉室的后背靠墙，无需建造费用.甲乙两支队伍参与竞标，甲工程队给出的报价为：荣誉室前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计12600元，设荣举室的左右两面墙的长度均为米，乙工程队给出的整体报价为元，综合考虑各种条件，学校决定选择报价较低的队伍施工，如果报价相同，则选择乙队伍.
（1）若，问学校该怎样选择；
（2）在竞争压力下，甲工程队主动降价5400元，若乙工程队想要确保自己被选中，求实数的最大值.
【答案】（1）选择乙工程队进行建造.
（2）
【解析】
【分析】（1）设甲工程队的总造价为元，得到，结合基本不等式求得，设乙工程队的总造价为元，得到，结合函数的单调性，求得，比较即可得到答案；
（2）根据题意，得到甲工程队最低报价为，要使得乙工程队确保自己被选中，则满足，列出不等式，即可求解.
【小问1详解】
解：设甲工程队的总造价为元，
因为荣举室的左右两面墙的长度均为米，且长方体底面积为24平方米，
可得底面长方形的另一边长为米，
则甲工程队的总造价为：，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以（元），
当时，设乙工程队的总造价为元，
则，
因为函数在上为单调递减函数，所以（元），
由，所以学校选择乙工程队进行建造.
【小问2详解】
解：若甲工程队主动降价5400元，则甲工程队的最低报价为（元），
若乙工程队确保自己被选中，则满足，
又由乙工程队的造价为，
由（1）知，当时，，
由，解得，因为，所以，
所以实数的最大值为.
19. 设
（1） 若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
（2） 已知，解关于的.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）分析可得对一切实数恒成立，分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立问题分析求解；
（2）整理可得，分类讨论两根大小，结合一元二次不等式运算求解.
【小问1详解】
由对一切实数恒成立，
即对一切实数恒成立，
当时，，显然不满足题意；
当时，则，解得；
综上所述：实数的取值范围是.
【小问2详解】
由整理可得，
因为，则原不等式可化为，
令，解得或，
①当，即时，原不等式的解集为；
②当，即时，原不等式的解集为 ；
③当，即时，原不等式的解集为 ；
综上所述，当时，原不等式的解集为；
②当时，原不等式的解集为 ；
③当时，原不等式的解集为 .