第3章《勾股定理》苏科版数学八年级上册综合测试卷(含答案)

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第3章《勾股定理》综合测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．下列三条线段能组成直角三角形的是（       ）A． B．C． D．2．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B都是格点，则线段AB的长度为（       ）A．5 B．6 C．7 D．93.下列说法正确的是（       ）A．若，，是的三边，则B．若，，是的三边，则C．若，，是的三边，，则D．若，，是的三边，，则4．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是3，高是4，上底面中心有一个小圆孔，则一条长10cm的直吸管露在罐外部分的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（       ）A． B． C． D．5．一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是.若轮船速度为，轮船从C岛沿返回A港所需的时间是（       ）A． B． C． D．6．如图，直线上有三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，己知，则面积为的正方形的边长为（　　）．A． B．2 C．3 D．127．设直角三角形的两条直角边长及斜边上的高分别为a，b及h，则a，b，h的数量关系是（       ）A． B． C． D．8．如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（   ）A．169cm2 B．25cm2 C．49cm2 D．64cm29．如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，DE交AC于点G，连接BE交AD于点F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面积为92，则的值为（   ）A．13 B．12 C．11 D．1010．中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若c2为“整弦数”，则c不可能为正整数；④若m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数，则m与n之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为(     )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）11．直角三角形的两直角边均扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的______倍．12．已知一个直角三角形的两条直角边分别为、，那么这个直角三角形斜边上的高为______．13．如图，∠C＝90°，将直角△ABC沿着射线BC方向平移5cm，得△A'B'C'，若BC＝3cm，AC＝4cm，则阴影部分的周长为______．14．把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，若AB＝3cm，BF＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是_____cm2．15．如图，已知等腰的直角边长为，以它的斜边为直角边画第二个等腰，再以斜边为直角边画第三个等腰，…，依此类推，长为，长为，第个等腰直角三角形斜边长为___________，第个等腰三角形斜边长为__________，则第个等腰直角三角形斜边长为__________．16．如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)①；                                        ②当E为中点时，﹔③若，则；                    ④若，则面积的最大值为2．三、解答题（本大题共10题，共68分）17．（6分）如图，已知等腰三角形ABC底边上的高AD为4，的周长为16，求三角形ABC的面积．18．（6分）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：）19．（6分）如图，在中，，为边上的高，为边上的中线，，，求的长．20．（6分）一个四边形零件的形状如图，工人师傅量得∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝13，DC＝12，请你求出零件中的∠BDC的度数．21．（6分）如图，在中，分别为边的中线，分别交于点D、E．(1)若，求证：；(2)若，，，求的长．22．（6分）如图：和都等腰直角三角形，，，，的顶点A在的斜边DE上，(1)求证：；(2)试探究线段AC、AD、AE三条线段之间的数量关系，证明你的结论．23．（6分）在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B，C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作．QH上AP于点H，交AB于点M．(1)若∠PAC＝α，则∠AMQ＝______（用含有α的式子表示）；(2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．24．（6分）如图，是等腰直角三角形，，，在线段上，是线段上的一点，连接，将线段以为旋转中心顺时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，猜想和的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)如图2，若，连接、，当运动到使得时，求的面积．25．（10分）【情景呈现】画，并画的平分线．(1)把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与的两边，垂直，垂足为，，（如图1）．则．（选填：“＜”、“＞”或“＝”）(2)把三角尺绕点旋转（如图2），猜想，的大小关系，并说明理由．【理解应用】(3)在（2）的条件下，过点作直线，分别交，于点，，如图3猜想，，之间的关系为______．【拓展延伸】(4)如图4，画，并画的平分线，在上任取一点，作，的两边分别与，相交于，两点，与相等吗？请说明理由．26．（10分）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE．(1)发现①∠DCE的度数是 ；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是 ．(2)探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC边上，连接CE．请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用：如图3，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，连接CE，若AB＝AC＝，CD＝1，求线段DE的长．答案一、选择题1．B【解析】解：A．∵82+152≠162，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵92+122=152，∴以a、b、c为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；C．∵92+402≠422，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；D．设a=2k，b=3k，c=4k，∵（2k）2+（3k）2≠（4k）2，∴以a、b、c为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．2．A【解析】解：如图所示：．故选：A．3．D【解析】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意；B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；C、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；D、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意．故选：D．4．A【解析】当直吸管下端恰好位于罐底的圆周上时，如图所示，则OA=3，AB=4，由勾股定理得：，∴a=10-5=5；当直吸管下端恰好位于罐底的中心时，则罐体内直吸管长为罐体的高即4，则a=10-4=6；综上，直吸管露在罐外部分a的长度范围为．故选：A．5．D【解析】解：由题意，得：AD=60km，在Rt△ABD中，AB=100km，AD=60km，∴BD=(km)．∴CD=BC-BD=125-80=45（km）．∴在Rt△ACD中，AC==75（km）．75÷25=3（h）．答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．故选：D．6．B【解析】解：如图所示，由题意可知，AC=EC，，，∴．在和中，，∴，∴BC=DE．∵，即，．在中，，∴，，即面积为的正方形的边长为．故选：B．7．C【解析】解：设高为a对应的直角边的长为x，高为b对应的直角边的长为y，斜边为z，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故选C．8．C【解析】解：在中，，个直角三角形是全等的，，小正方形的边长，阴影部分的面积，故选：C．9．A【解析】解：由折叠得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，设DE边上的高线长为h，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，在Rt△BDF中，，，∴，故选：A．10．C【解析】解：①∵∴20是“整弦数”，符合题意；②如5，2是“整弦数”，∵不是“整弦数”，∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意；③若，则，，c2为“整弦数”，则c为正整数”，不符合题意；④∵m＝a12+b12，n＝a22+b22，≠，且m，n，a1，a2，b1，b2均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意；⑤设一个正奇数（除1外）为2n+1（n为正整数），∵（2n+1）2=4n2+4n+1且等于两个连续正整数的和，∴较小的正整数为2n2+2n，较小的正整数为2n2+2n+1，∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=（2n2+2n）2+4n2+4n+1=（2n2+2n）2+2（2n2+2n）+1=（2n2+2n+1）2，∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意．故选：C．二、填空题11．3【解析】解：设直角三角形直角边为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2；扩大3倍后，直角三角形直角边为3a、3b，则根据勾股定理知斜边为 =3c．即直角三角形两直角边都扩大到原来的3倍，则斜边扩大到原来的3倍．故答案为3．12．【解析】解：设这个直角三角形斜边上的高为，由勾股定理得，直角三角形斜边长，由三角形的面积公式得，，解得，，故答案为： ．13．【解析】解：在Rt△ACB中，AB=∵AA′=BB′=5cm，∴CB′=BB′-BC=5-3=2（cm），∴阴影部分的周长=AC+CB′+A′B′+AA′=4+2+5+5=16（cm）．故答案为：16cm．14．【解析】解：∵AB＝3cm，BF＝5cm， 由折叠的性质可得，， ，在中，由勾股定理得：∴，，设DE＝x，则＝（9−x） cm，在中，由勾股定理得：，∴（9−x）2＋9＝x 2，解得：x＝5， ∴DE＝5（cm），∴△DEF的面积是：×5×3＝（cm2）．15．               【解析】解：在直角三角形中由勾股定理可以得出：第一个等腰三角形斜边长为：，第二个等腰三角形斜边长为：，第三个等腰三角形斜边长为：，第四个等腰三角形斜边长为：，……依此类推，第个等腰三角形斜边长为：．故答案为：；；．16．①②③④【解析】解：△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，∴CD=BD=AD，∴∠DCB=∠DBC，∴∠ADC=2∠DCB，∵AE⊥CD于点E， ∴∠ACE+∠CAE=90°，∵∠ACE+∠DCB=90°，∴∠CAE=∠DCB，∴∠ADC=2∠CAE，故①正确；当E为CD中点时，∵AE⊥CD，∴AC=AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠BAC=60°，∴BC=AC，故②正确；作BM⊥CD，交CD的延长线于点M，则AE∥BM，∴∠DAE=∠DBM，∵∠ADE=∠BDM，AD=BD，∴△ADE≌△BDM（AAS），∴DE=DM，若∠BED=60°，则BE=2EM=4DE，故③正确；∵△ADE≌△BDM，∴AE=BM，DE=DM，∴S△ABE=S△BEM=•BM•EM=•AE•2DE=AE•DE，若AB=4，则AD=2，在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2，即的最大值值为1，∴△ABE面积的最大值为2，故④正确；故答案为：①②③④．三、解答题17．解：∵AD是底边BC上的高，∴，设BD＝x，∵△ABC的周长为16，∴AB+BD＝8，AB＝8－x，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∴，解得：，∴BC＝2BD＝6，∴．18．解：根据题意，，，∴在中，，∴小汽车的速度为，∵，∴这辆小汽车超速行驶．19．解：∵，为边上的中线∴，∴∵∴∴在中．20．解：∵∠A＝90°，AD＝3，AB＝4，∴BD＝＝5．∵BC＝13，DC＝12，，∴，∴△BDC是直角三角形，∠BDC＝90°．21．（1）证明：∵AD、BE分别为边BC、AC的中线，CD＝4，CE＝3．∴AC＝6，BC＝8．∵．∴．∴△ABC是直角三角形．∴．（2）解：∵∠C＝90°，AD＝6，BE＝8，∴，．∵AD、BE分别为边BC、AC的中线．∴，．∴，．∴．∴．∴．22．（1）∵，∴∴∴△ACE≌△BCD（SAS）∴（2）线段AC，AD，AE三条线段的数量关系是∵△ECD是等腰直角三角形，∴∠E=∠EDC=45°       由（1）知：∴即，             又为等腰直角三角形，且，∴，     即．23．（1）∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°-α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°-∠AHM-∠PAB=45°+α；故答案为：∠AMQ=45°+α（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∵△MEB是等腰直角三角形，∴12PQ=22MB ．即．24．（1），，证明：如图1，延长交于点，∵将线段以为旋转中心顺时针旋转得到线段，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，即．（2）如图2，作于点，于点，∵在等腰直角中，，，∴．∵，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，，∵，，∴，在中，，∴，即，∴，，∵，，∴是等边三角形，∴，∵，即，∴，∴，，∴25．（1）解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC，∵PE⊥OA，∴∠OEP=90°，∵∠AOB=90°，∠EPF=90°∴∠OFP=360°-∠AOB-∠PEO-∠EPF=90°，∴∠OEP=∠OFP又∵∠AOC=∠BOC，OP=OP∴△OEP≌△OFP（AAS），∴PE=PF，故答案为：=；（2）解：PE=PF，理由如下：如图2，过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，∵PM⊥OA，PN⊥OB，，∴∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，与（1）同理可证PM=PN，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中，，∴△PEM≌△PFN（ASA），∴PE=PF；（3）解：GE2+FH2=EF2，理由如下：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=45°，∵GH⊥OC，∴∠OGH=∠OHG=45°，∴OP=PG=PH，∵∠GPO=90°，∠EPF=90°，∴∠GPE=∠OPF，在△GPE和△OPF中，，∴△GPE≌△OPF（ASA），∴GE=OF，同理可证明△EPO≌△FPH，∴∴FH=OE，在Rt△EOF中，OF2+OE2=EF2，∴GE2+FH2=EF2，故答案为：GE2+FH2=EF2；（4）解：PE=PF；理由：作PG⊥OA于G，PH⊥OB于H．在△OPG和△OPH中，，∴△OPG≌△OPH，∴PG=PH，∵∠AOB=60°，∠PGO=∠PHO=90°，∴∠GPH=120°，∵∠EPF=120°，∴∠GPH=∠EPF，∴∠GPE=∠FPH，在△PGE和△PHF中，∴△PGE≌△PHF，∴PE=PF．26.（1）发现解：①∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC，AD=AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴∠ACE＝∠B，∵∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ACE=60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD．（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE．理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．∴△BAD≌△CAE(SAS)．∴BD＝CE，∠B＝∠ACE．∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，∴∠ACE=45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°．∵在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，且CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE．（3）应用∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D在BC的延长线上，AB＝AC＝，CD＝1，∴，AD=AE，∴BD=BC+CD=3，∵∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴CE=BD=3，∠ABD=∠ACE，∵∠B=∠ACB=（180°-∠BAC）=45°，∴∠ACE=45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴．