山西省大同市第三中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷

这是一份山西省大同市第三中学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试卷，共11页。试卷主要包含了直线的倾斜角为，在四棱柱中，，，则，在平行六面体中，，，，，则，给出下列命题，其中不正确的为，若点到直线的距离为3，则等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
命题人：宋聪敏
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
第一部分（选择题 共58分）
选择题：(本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)
1．直线的倾斜角为（ ）
A.B．C．D．
2.已知，则“”是“直线与平行”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．充分不必要条件
3．在四棱柱中，，，则（ ）
A．B．
C．D．
4．以下各组向量中的三个向量，不能构成空间基底的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
5．已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或B．C．D．
6．在平行六面体中，，，，，则（ ）
A．B．C．0D．
7．如图，在空间直角坐标系中，正方形与矩形所在平面互相垂直(与原点重合)，在上，且平面，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
8.已知，直线与直线互相垂直，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．给出下列命题，其中不正确的为（ ）
A．若，则必有A与C重合，B与D重合，AB与CD为同一线段
B．若，则是钝角
C．若，则与一定共线
D．非零向量满足与，与，与都是共面向量，则必共面
10．下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有（ ）
A．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角
B．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
C．若，则
D．若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率为
11．在正方体中，，点在底面正方形内及边界上运动，则（ ）
A．存在点，使得平面
B．若，则动点的轨迹长度为
C．若平面，则动点的轨迹长度为
D．若平面，则三棱锥的体积为定值
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分。)
12．若点到直线的距离为3，则
13.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，点为的中点，若，则 .
已知直线：，则直线恒过定点 ；若为坐标原点，直线与轴的正半轴分别交于两点，则△面积的最小值为 .
解答题：(本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。)
（13分）
直线经过点与点，经过点的直线.
(1)求直线的斜率和直线的方程（结果写成一般式）；
(2)若点到直线的距离相等，求直线的方程.
16．（15分）正方体的棱长为2，点、分别是、的中点，求：
(1)直线与所成的角的余弦值；
(2)点到平面的距离.
17．（15分）已知直线，直线.
（1）若，求；
（2）若，求与的交点的坐标.
18.（17分）如图1，已知矩形中，，分别是的中点，对角线与交于点，沿将矩形折起，使平面与平面所成角为60°，在图2中：
（1）求证：；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
19.（17分）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且.
(1)求直线和平面所成角的正弦值；
(2)在棱上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，并求出的值.
高二数学上学期第一次月考卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．或 13．0 14．（3，1），6
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
【详解】（1）分析知，斜率存在，则其斜率，其方程为，
即；（5分）
（2）当的斜率为零或者不存在时，点A，B到直线的距离不相等，故的斜率存在且不为零，设为，则的方程为，即，（7分）
又因为点A，B到直线的距离相等，所以，（9分）
解得，解得或，
所以直线的方程为或（13分）
16.(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的夹角即可求解线线角，
（2）根据空间向量即可求解点面距离.
【详解】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则,
所以,
设直线与所成的角为，则，
（2）则，
设平面的法向量为，,
由得取，则，
所以点到平面的距离为
17．(1)；(2).
【分析】（1）根据平行得到，计算得到答案.
（2）根据垂直得到，解得，再计算交点得到答案.
【详解】（1）若，则由，即，解得或.
当时，直线：，直线：，两直线重合，不符合，故舍去；
（2）若，则由，得.
所以两直线方程为：，：，
联立方程组，解得，所以与的交点的坐标为.
18.【详解】（1）平面，平面，，
，，，平面；
（2）取的中点，连接，
，且，且，
所以，四边形为平行四边形，，
，，则是边长为的等边三角形，
以点为坐标原点，以、、过点且垂直于的直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
由，令，则，则，
易知平面的一个法向量为，，
由图形可知，二面角为锐角，它的余弦值为.
19.【详解】（1）分别取CB、CD的中点为F、G，连结OF、OG，
∵为的中点，是边长为1的等边三角形，∴是直角三角形，，，，
∵CB、CD的中点为F、G， ∴，，，
∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，是三棱锥底面的高，是直角三角形
∵，∴，
以O点为坐标原点，分别以OF、OG、OA所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，，
设是平面的一个法向量，
则，即，
令，则，，，，
，
∴直线和平面所成角的正弦值等于；
（2）在棱上存在点，使二面角的大小为.
设
由（1）知，，
，
是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
即，
取，，，
∵二面角的大小为，
∴，
即，
整理得，，解得，或（舍去），
所以，，，
所以，在棱上存在点，使二面角的大小为，.
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
D
A
A
C
C
B
9
10
11
ABD
ABC
BCD