湖南省永州市冷水滩区李达中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

这是一份湖南省永州市冷水滩区李达中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

考试时间：2024年 1 0月中旬
温馨提示：
本试卷包括试题卷和答题卡。考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上作答无效。考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题。
考试结束后，试题卷自己保管，将答题卡交回。
本试卷满分 120 分，考试时间120 分钟。本试卷共 3 道大题，25小题。如有漏印缺页， 考生须声明。
一、选择题（本大题共 10 小题，共 30 分）
1．下列各式：，，，，，，其中分式有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．以下列各组线段长为边能组成三角形的是（ ）
A．，，B．，，C．，，D．，，
3．对于分式，下列说法错误的是（ ）
A．当时，分式有意义B．当时，分式值为0
C．当时，分式的值为D．分式的值不可能为2
4．把分式的x，y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的10倍D．不变
5．若，，，．则（ ）
A．B．C．D．
6．下列式子从左到右的变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．解分式方程，去分母后变形为（ ）
A．B．
C．D．
8．若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．1B．0C．0或1D．1或
9．为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．给定一列数，我们把这列数中第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，以此类推，第n个数记为（n为正整数）．已知，并规定：，，，下列说法：
①； ②；
③对于任意正整数k，都有成立．
其中正确的个数是（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、选择题（本大题共 6小题，共 18 分）
11．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一，它作为食品和药物，得到广泛的使用。经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201千克，将0.00000201用科学记数法表示为 ．
12．若，，则的值为 ．
13．已知，则代数式的值是 ．
14．如图，在∆ABC中，已知点，，分别为边，，的中点，且∆ABC的面积等于，则阴影部分图形（即∆BEF）面积等于 ．
15．阅读材料：①的任何次幂都等于；②的奇数次幂都等于；③的偶数次幂都等于；④任何不等于零的数的零次幂都等于，试根据以上材料探索使等式：成立的的值为 ．
16．对于两个不等的非零实数a，b，关于x的方程的两个解分别为.已知关于x的方程5x+a2-a5x-2=2a+1的两个解分别为，则x2-x1的值为 ．
三、解答题（本大题共 9小题，共 72分）
17．（6分）计算：
(1) (2)
18．（6分）解下列分式方程：
(1) (2)．
19．（6分）先化简(a+1-3a-1)÷a2-4a+4a-1，再选取一个合适的数作为a的值代入求值．
20．（8分）如图，在∆ABC中，AD，分别是∆ABC的中线和高，是的角平分线．
(1)若∆ABC的面积为，，求的长；
(2)若，，求的大小．
21.（8分）已知关于x的分式方程无解，求m的值．
（9分）让我们来规定一种运算：abcd＝ad﹣bc，例如：＝2×5﹣4×3＝﹣2，再如：＝4x﹣2．按照这种运算的规定，请解答下列问题：
（1）求2-2-138的值； （2）若AB1x+11x-2=3x-7x+1x-2 ，求A+2B的值.
23．（9分）自中欧班列开通以来，湖南与欧洲各国经贸往来日益频繁，某欧洲客商准备在永州采购一批特色商品，经调查，用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价少20元．
(1)求A、B型商品的进价；
(2)该客商计划投入18000元用于购进这两种商品，已知购进A、B两种商品共200件，A型商品的售价为160元/件，B型商品的售价为240元/件，若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是多少元？
24．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和（或差）的形式，则称这个分式为“美好分式”．如若，
则和都是“美好分式”．
(1)下列式子中，属于“美好分式”的是________（填序号）：
①；②；③；④；⑤
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
(3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数.
25.（10分）如图①，在∆ABC中，与的平分线相交于点．
(1)若，则的度数是_______ ；
(2)如图②，分别作∆ABC的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系，并证明．
(3)如图③，在（2）的条件下，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系，并证明．
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了分式的定义，判断一个代数式是分式还是整式的方法：若分母中含有字母，则是分式；若分母中不含字母，则是整式．根据分式的定义逐个判断即可．
【详解】解：，，中，分母不含有字母，不是分式；
，，分母中含有字母，是分式，共3个．
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了能够组成三角形三边的条件．根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．注意用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形．
【详解】解：A、，不能组成三角形；
B、，不能组成三角形；
C、，能组成三角形；
D、，不能够组成三角形；
故选：C．
3．B
【分析】本题考查了分式的值，分式的值为零，分式有意义的条件，熟练掌握分式的值为零和分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：A． 当时，分式有意义，故说法正确；
B．当时，分式无意义，故说法错误；
C．当时，分式的值为，故说法正确；
D．，
∵，
∴分式的值不可能为2，故说法正确；．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查分式的基本性质，熟练运用分式的基本性质化简分式是解答的关键．
将所给分式里的x、y换成、，利用分式的基本性质化简分式，与原分式比较即可求解．
【详解】解析：x、y均扩大为原来的10倍后，
∴
故选：A．
5．D
【分析】先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再进行有理数的大小比较即可．
【详解】解：∵，，，，
∴，即，
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于的整式，分式的值不变是解题的关键．根据分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项正确，符合题意；
C、，故该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
7．C
【分析】先把分式方程变形，再去分母即可求解．
【详解】解
∴
去分母得
故选C．
【点睛】此题主要考查解分式方程，解题的关键是熟知去分母的方法．
8．A
【分析】根据题意可得或，然后把的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
解得：，
分式方程有增根，
或，
当时，，的值不存在，
当时，，
解得：，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可．
【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，
根据题意可得方程为，
整理为：，
故选：A．
10．A
【分析】本题考查与分式的运算有关的规律探究，熟练掌握分式的运算是解题的关键，根据题意逐一判断即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，，，，
即：这列数以，，，每三个为一个循环，
，
∴，，故①不正确；
∵
∴，
，
，
，
，
，
∴，
∵，
，故②不正确；
由①②可得、分别是以3和6为周期的数列，
当为奇数时，则，，，
，
，
∴，故③不正确；
故选：A．
11．
【分析】根据科学记数法的表示计算即可；
【详解】；
故答案为：．
【点睛】本地主要考查了科学记数法的表示，准确计算是解题的关键．
12．1
【分析】先逆用同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则变形原式，再代值求解即可．
【详解】解：，
∵，，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂除法，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法的运算法则，并能灵活运用是解答的关键．
13．/
【分析】本题考查了分式的化简求值，本题主要利用整体思想，难度较大，找出与的关系是解题关键.将化简得到，，再代入代数式，即可解答.
【详解】解：∵
∴，
∴，
∴
故答案为：
14．1
【分析】此题考查了三角形中线的性质，根据三角形的中线分得的两个三角形的面积相等，就可证得，，，，再由的面积为，就可得到的面积，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质及其应用．
【详解】解：∵点是的中点，
∴，
∵点是的中点，
∴，
同理可证，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．或或
【分析】本题考查的是乘方运算，分类讨论的思想是解题的关键．分三种情况：当时，当时，当时，根据的乘方，的乘方，非零的数的零次幂，可得答案．
【详解】解：①当时，
解得：，
此时，则，
；
②当时，
解得：，
此时，则（，
；
③当时，
解得：，
此时，则，
；
综上所述，当，或，或时，代数式成立．
故答案为：或或．
16． 1/5（或0.2）
17．(1)2
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是：
（1）方程两边都乘，得出，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：方程两边都乘，得
，
解这个方程，得，
经检验，是原方程的根；
（2）解：方程两边都乘，得
．
解这个方程，得．
经检验是增根，原方程无解．
19．，-1（答案不唯一）
【分析】本题考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，最后代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
∵a≠1,且a≠2
当a=0时，原式=-1．
20．(1)；
(2)．
【分析】（）先利用面积法求出的长，然后根据三角形的中线定义即可求解；
（）先通过三角形的外角性质，从而求出，由角平分线的定义得，最后通过外角性质和直角三角形的性质即可求解；
本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是掌握知识点的应用．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵AD是的中线，
∴；
（2）解：∵是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21．的值为或
【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程无解分两种情况：①方程有增根；②原分式方程化简后的整式方程无解，求出m的值即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
移项、合并同类项，得：，
分式方程无解，
①当方程有增根时，原方程无解，即，
，
解得；
②当时，原方程无解，即，
综合①②，若分式方程无解，的值为或．
22.(1) 5 (2) -7
23．(1)一件A型商品的进价为80元，一件B型商品的进价为100元
(2)若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是22000元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．（1）设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为元，根据用1600元采购A型商品的件数是用1000元采购B型商品的件数的2倍，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A种商品m件，购进B种商品n件，根据该客商计划投入18000元用于购进这两种商品，已知购进A、B两种商品共200件，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题.
【详解】（1）解：设一件A型商品的进价为x元，则一件B型商品的进价为元，
由题意得：，
解得：,
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：一件A型商品的进价为80元，一件B型商品的进价为100元；
（2）解：设购进A种商品m件，购进B种商品n件，
由题意得，，
解得，，
即购进A种商品100件，购进B种商品100件，
∴（元），
答：若该客商全部销售完这些商品，则可获得的利润是22000元．
24．(1)①③④⑤
(2)
(3)，或，或．
【详解】（1）解：①，②不是分式，③，
④， ⑤，
故答案为：①③④⑤
（2）
（3）
∵x为整数，为整数，
∴，或，
∵且且
∴，或，或．该式的值为整数．
25.(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识．
（1）先求出，进而求出，即可求出；
（2）先求出，进而求出，即可求出；
（3）延长至点，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）解：，，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
；
（3）解：如图③，延长至点，
，为的外角的角平分线，
是的外角的角平分线，
，
平分，
，
，
，
即，
，
即．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
B
A
D
B
C
A
A
A