河北省邢台市第二中学2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题

这是一份河北省邢台市第二中学2024-2025学年高一上学期10月联考数学试题，共10页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，若，，，则，已知关于x的不等式的解集为，则等内容，欢迎下载使用。
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册第一章至第二章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
2．若集合，，且，则（ ）
A．0或2B．0C．2D．－2
3．三星堆博物馆位于全国重点文物保护单位三星堆遗址东北角，是中国一座现代化的专题性遗址博物馆．该馆常设“世纪逐梦”“巍然王都”“天地人神”3个展厅，则甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．将12写成两个正数的积，则这两个正数的和的最小值为（ ）
A．7B．C．D．
5．已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．C．D．
6．若，，，则（ ）
A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．c＞a＞b
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（－2，0），B（2，1），P，Q均是平面内的动点，集合，，则的元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．8
8．对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．a≥－2B．C．a≥2D．a≥1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若AD为△ABC的一条中线，则“△ABC是等腰三角形”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．AB＝ACB．∠BAD＝∠CADC．AD＝BCD．AD⊥BC
10．已知关于x的不等式的解集为，则（ ）
A．B．a＜0C．c＜0D．b＞0
11．我们将数集S的任意一个非空子集中的各元素之和称为S的一个子集和（若S的子集只有一个元素，则该元素为S的一个子集和）．若有限数集S中的元素均为正整数，且S的任何两个子集和均不相等，则称S为异和型集．下列结论正确的是（ ）
A．集合的一个子集和可能为5
B．集合为异和型集
C．存在含有4个元素的异和型集N，其元素均小于9
D．任意一个含有n个元素的异和型集S，其元素之和不小于
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．不等式的解集为______．
13．9月10日，在第10届女子世界消防救援锦标赛女子手抬机动泵出水打靶比赛中，中国女队首次夺得冠军．深受中国夺冠女队的影响，某消防队为提高消防员的业务水平，举行了全员手抬机动泵出水打靶训练．该训练分为水泵启动、水带连接、水枪射击3项．已知参与水带连接的有14人，参与水枪射击的有7人，同时参与水带连接和水枪射击的有4人，参与水泵启动的有3人，且这3人不参与其他2项训练，则该消防队共有______人．
14．已知关于x的不等式对恒成立，且ab＞0，则______，的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知全集，集合，．
（1）求；
（2）若集合，，求C．
16．（15分）
已知，．
（1）求2x－y的取值范围；
（2）若，求的最小值．
17．（15分）
已知集合，
（1）若，求；
（2）判断命题“，”的真假，并说明理由；
（3）若，求m的取值范围．
18．（17分）
如图，某蛋糕店制作一块长为cm，宽为cm的矩形双拼水果蛋糕ABCD，点E，F，M，N分别在线段AB，AD，BC，CD上（不包含端点），点G，Q，H，P均在线段BD上，要在矩形EFHG与矩形MNPQ两个区域中分别铺满蓝莓与芒果两种水果．设cm，铺满水果的区域面积为Scm2．
（1）已知，求常数a，b的值；
（2）已知蛋糕店内的芒果原料充足，但蓝莓至多能铺满30cm2，若要求该蛋糕铺满水果的区域面积不小于35cm2，求EF的取值范围．
19．（17分）
我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：∀a，b∈R，，当且仅当a＝b时，等号成立．我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：∀a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，且，，当且仅当时，等号成立．
（1）若，求的最小值；
（2）求的最大值；
（3）若a＞3，b＞3，不等式恒成立，求m的取值范围．
2024年高一年级10月联考
数学参考答案
1．C【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理的核心素养．
存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．B【解析】本题考查集合的概念，考查数学运算的核心素养．
由题意得得a＝0．
3．B【解析】本题考查充分条件和必要条件，考查逻辑推理的核心素养．
若甲在三星堆博物馆，则甲未必在“世纪逐梦”展厅，若甲在“世纪逐梦”展厅，则甲在三星堆博物馆．故甲在三星堆博物馆是甲在“世纪逐梦”展厅的必要不充分条件．
4．D【解析】本题考查基本不等式，考查逻辑推理的核心素养．
设这两个正数分别为x，y，则xy＝12，则，当且仅当时，等号成立．故这两个正数的和的最小值为．
5．D【解析】本题考查集合的Venn图，考查直观想象与数学运算的核心素养．由图可知图中阴影部分表示的集合是，易得，则，所以．
6．A【解析】本题考查不等式的性质和平方差公式，考查数学运算和逻辑推理的核心素养．
因为，所以a＞b．因为，，所以b＞c．故a＞b＞c．
7．B【解析】本题考查集合的交集，考查直观想象的核心素养．
由题意得点P组成的图形是线段AB的中垂线，点Q组成的图形是圆心为O，半径为2的圆，表示的是线段AB的中垂线与圆的交点．如图，线段AB的中垂线与圆的交点的个数为2，所以的元素个数为2．
8．C【解析】本题考查不等式的恒成立问题，考查化归与转化的数学思想．
由题意得，由，得x2＞0，则．
令，得，则二次函数，所以，即a≥2．
9．ABD【解析】本题考查充分条件和必要条件，考查直观想象与逻辑推理的核心素养．
“AB＝AC”“∠BAD＝∠CAD”“AD⊥BC”是“△ABC是等腰三角形”的充分不必要条件，A，B，D正确．由“AD＝BC”不能推出“△ABC是等腰三角形”，C错误．
10．AC【解析】本题考查一元二次不等式的解集，考查逻辑推理的核心素养．
易得a＞0，B错误．由题意得－1，a是关于x的方程的两个不相等的实数根，则得所以，A，C正确．，当时，，D错误．
11．ACD【解析】本题考查集合的新定义，考查逻辑推理的核心素养和创新意识．
因为M的子集{2，3}中的各元素之和为5，所以集合M的一个子集和可能为5，A正确．
M的子集{3}和{1，2}中的各元素之和均为3，所以M不是异和型集，B错误．
假设1，2∈N，则N的第3个元素大于3，当4∈N时，N的第4个元素大于7，所以存在N＝{1，2，4，8}，其元素均小于9，C正确．
设S＝{x1，x2，…，xn}，则S的非空子集有个．由异和型集的定义知，S的个子集和是两两互异的整数，其中最小者至少为1，最大者不小于，D正确．
12．【解析】本题考查一元一次不等式的解集，考查数学运算的核心素养．
由，得，所以不等式的解集为．
13．20【解析】本题考查集合的实际应用，考查应用意识．
由题意得，参与水带连接和水枪射击的共有人，所以该消防队共有人．
14．1；6【解析】本题考查一元二次不等式和基本不等式，考查逻辑推理的核心素养．
令，得x＝a或，因为，所以，即．
当ab＞0时，，
当且仅当，即时，等号成立．
15．【解析】本题考查集合的交集和并集，考查数学运算的核心素养．
解：（1）由题意得U＝{0，1，2，3}，A＝{1，3}，
所以．
（2）由，得C⊆U，0∈C，
由，得1∈C，2∉C，3∉C，
所以C＝{0，1}．
评分细则：第（2）问中，未写“2∉C，3∉C”，扣2分．
16．【解析】本题考查不等式的性质和基本不等式，考查逻辑推理的核心素养．
解：（1）由题意得0＜2x＜4，－3＜－y＜0，所以－3＜2x－y＜4．
（2）由，得．
由题意得，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
评分细则：
【1】第（2）问中，未写“由，得”，但写了“”，不扣分．
【2】第（2）问中，写“当且仅当，即，时，等号成立”，不扣分，未写“或，”．扣1分．
17．【解析】本题考查集合的基本运算、集合间的基本关系和命题的真假，考查数学运算和逻辑推理的核心素养．
解：（1）由题意得，则．
由，得1≤x≤3，则．
故．
（2）命题“，”是真命题，理由如下：
当m≤－1时，，
，所以．
（3）由，得．
当时，，得m＞2．
当时，，不等式组无解．
故m的取值范围是．
评分细则：
第（2）问还可以这样解答：
命题“，”是真命题，理由如下：
由，得得m≤0．
因为由m≤－1可以推出m≤0，所以．
18．【解析】本题考查相似三角形和不等式的综合应用，考查数学建模的核心素养和应用意识．
解：（1）由题意得cm，
易得△ABD∽△GBE，则，得cm，
易得△ABD∽△HFD，则，得cm，
所以cm．
易证矩形EFHG与矩形MNPQ全等，所以．
故a＝－20，b＝80．
（2）在△ABD中，，则，．
由，得，
由，得x≤1或x≥3，
由得或，
所以或，即或．
评分细则：
第（1）问中，不通过相似三角形，也可以求GE，HD，解答过程如下：
在△ABD和△GBE中，，得cm．
在△ABD和△HDF中，，
得cm．
19．【解析】本题考查不等式的新定义，考查逻辑推理的核心素养和创新意识．
解：（1）由柯西不等式得，
得，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为3．
（2）由得．
由题意得，
由柯西不等式得，
当且仅当，即x＝16时，等号成立．
故的最大值为9．
（3）由a＞3，b＞3，得．
由题意得，
则．
令，，得，
由柯西不等式得，
当且仅当时，等号成立．
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
由得则．
此时的最小值为24，则m≤24．
评分细则：
【1】第（3）问求的最小值，也可以这样解答：
因为，
，
当且仅当即x＝y＝3，即a＝b＝6时，等号成立．
此时的最小值为24，则m≤24．
【2】第（3）问中，不换元，也可以这样解答：
则．
由柯西不等式得，
当且仅当时，等号成立．
所以
，
当且仅当，即时，等号成立．
由得
所以当a＝b＝6时，取得最小值24，则m≤24．