上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷（解析版）

这是一份上海市复旦大学附属中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，用列举法表示__________.
【答案】
【解析】
【分析】由，可得出的可能取值，由此可得出集合.
由，可知，，则，故.
故答案为：.
2已知集合，集合，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据交集的定义可得出.
因为集合为数集，集合为点集，
所以，.
故答案为：.
3. 某班有名同学，参加物理竞赛的有人，参加化学竞赛的有人，两科竞赛都不参加的有人，则两科竞赛都参加的有__________人.
【答案】
【解析】
【分析】利用韦恩图可求两科竞赛都参加的人数.
设集合为参加物理竞赛的同学构成的集合，集合为参加化学竞赛的同学构成的集合，
由题意作出韦恩图如上图，设两科竞赛都参加的有人，
则，解得
故答案为：.
4. 已知集合，集合，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据列方程求出的值，结合元素的互异性进行取舍，得到最终结果.
根据，可知
①若，解得，
当时，违背了元素的互异性，故舍去.
同理，当时，也舍去.
②若，解得或1（舍），
当时，，，
满足，故符合题意.
故答案为：.
5. 若集合，则满足条件的集合的个数是__________.
【答案】6
【解析】
【分析】根据已知中M满足条件，列举出所有满足条件的集合M，可得答案
若集合，
则M可能为：
共6个，
故答案为：6
6. 若不等式的解集是，则不等式的解集是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到是方程的根，求得且，进而化简不等式，即可求解.
因为不等式的解集是，
所以是方程的根，且，
即，且，可得，
则不等式可化为，
因为，解得，
即不等式的解集为.
故答案为：.
7. 已知，，则的取值范围为_________
【答案】
【解析】
【分析】令求出m、n，再应用不等式的性质求的范围.
令，则，
所以，可得，故，
而，故.
故答案为：
8. 记为集合中所有元素之和，对于集合，，则所有之和等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】列举出所有满足条件的集合，即可得出所有之和.
因为集合，，分别列举出满足条件的集合
（1）若集合只有一个元素，则集合为：、、、、；
（2）若集合有两个元素，则集合为：、、、、
、、、、、，
在这些集合中，、、、、每个数都出现次；
（3）若集合有个元素，则集合为：、、、
、、、、、、，
在这些集合中，、、、、每个数都出现次；
（4）若集合有个元素，则集合为：、、、
、，
在这些集合中，、、、、每个数都出现次；
（5）若集合有个元素，则.
综上所述，所有之和为.
故答案为：.
9. 若不等式的解集是，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的解集与对应方程的关系，结合韦达定理，求的关系，代入所求不等式，即可求解.
由题意可知，，，，
则，即，
即，解得：，
所以不等式的解集为.
故答案为：
10. 若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先分离参数，得出，再令，求出在上的最小值即可.
解：对任意，不等式恒成立，
即，
即，，
令，，
则易知在单调递减，
故，
故，
故实数的取值范围是.
11. 对于非空实数集合，记，设非空实数集合满足条件 “若，则”且，给出下列命题:
①若全集为实数集，对于任意非空实数集合，必有；
②对于任意给定符合题设条件的集合M，P，必有；
③存在符合题设条件的集合M，P，使得；
④存在符合题设条件的集合M，P，使得.
其中所有正确命题的序号是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意知，中元素为不大于中所有值的数的集合，由于四个命题对任意符合条件的集合都满足，故均可用特殊集合来验证即可.
因为对于非空实数集合，记，
设非空实数集合满足条件 “若，则”且，
则中元素为不大于中所有值的数，即不大于中最小元素的集合，
对于，当集合，则，而，故错误；
对于，由于，假设中最小值为，中最小值为，
则，因此表示不大于的所有数的集合，表示所以不大于的数的集合，
则，故②正确；
对于③，令，则，所以，故③正确；
对于④，令，，则，
所以，故④正确.
故答案为：.
12. 已知集合，集合满足:①每个集合都恰有3个元素;②.集合中元素的最大值与最小值之和称为集合的特征数，记为，则的最大值与最小值的和为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由集合中最小值1与最大值9构成集合中两个元素，若使取得最大值，则将，从而依次确定、、，同理求最小值，从而解得．
解：因为集合中最小值为1，最大值为9，
若使取得最大值，
不妨设，，
则，则，2，，
则剩余的数中最小值为3，最大值为8，
令，4，，则，
则，6，，，
则的最大值为，
②若使取得最小值，
则，8，，则，
则剩余的数中最小值为2，最大值为7，
令，6，，则，
则，4，，，
则此时的最小值为，
故的最大值与最小值的和为.
故答案为：.
二、选择题（共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的
A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】
根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．
【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题．
14. 下列命题正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断ABC选项，利用不等式的基本性质可判断D选项.
对于A选项，若，不妨取，，则，A错；
对于B选项，若，不妨取，，则，B错；
对于C选项，若，不妨取，，则，C错；
对于D选项，若，则，由不等式的基本性质可得，D对.
故选：D.
15. 设，若、是方程的两相异实根，则有（）
A. ，B. ，
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用特殊值法可判断AB选项；利用可得出，利用韦达定理可判断CD选项.
若取，则方程为，解得，，AB都错；
由题意可知，，则，
由韦达定理可得，，
所以，与的大小关系不确定，C错；
，
所以，，D对.
故选：D.
16. 定义集合运算；将称为集合A与集合的对称差，命题甲：；命题乙：则下列说法正确的是（）
A. 甲乙都是真命题B. 只有甲是真命题
C. 只有乙是真命题D. 甲乙都不是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称差集合的定义和集合的运算将变形即可判断命题甲；对于乙，画出和的图示即可判断.
对于甲，
，故命题甲正确；
对于乙，如图所示：
所以，，故命题乙不正确.
故选：.
【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键是理解新定义，利用韦恩图结合集合的运算，利用数形结合判断.
三、解答题（共5题，满分78分）
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）求出集合，当时，求出集合以及，再利用并集的定义可得出集合；
（2）由题意可得，分、两种情况讨论，在时，可得出关于实数的不等式；在时，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【小问1】
解：因为，
当时，，则或，
所以，或.
【小问2】
解：因为，则，
当时，，解得；
当时，由可得，解得.
综上所述，实数的取值范围是或.
18. 已知集合
（1）若，求实数的值；
（2）若命题命题且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1).
(2)或.
【解析】
分析：（1）分a＞0和a＜0两种情况讨论是否存在满足条件的实数a的值，综合讨论结果，可得答案；
（2）若p是q充分不必要条件，则A⊊B，分类讨论，可得满足条件的a的取值范围．
：(1) 当a>0时
当时显然故时，
，
（2）
当a>0时，则解得
当时，则
综上是的充分不必要条件，实数的取值范围是或.
点睛：注意区别：“命题是命题的充分不必要条件”与“命题的充分不必要条件是命题”
19. 已知，关于的不等式的解集为.
（1）求实数的取值范围;
（2）在（1）的条件下用反证法证明：三个关于的方程，中至少有一个方程有实数解.
【答案】（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立，分类讨论列不等式求解即可；
（2）应用反证法，先假设三个关于的方程，都没有实数解，得出矛盾即可证明.
【小问1】
当时，恒成立；
当a>0时，a>0Δ=a2-4a×3<0,解得；
综上可得.
【小问2】
假设三个关于的方程，都没有实数解，
所以,
所以a>13或a<-1-32所以,与（1）的范围矛盾，所以假设不成立，
所以三个关于方程，中至少有一个方程有实数解.
20. 已知，一个二次项系数为的一元二次方程的两个不等实根分别为和，且满足.
（1）直接写出该一元二次方程；
（2）若，求的取值范围；
（3）若为正整数，记集合，若，且中元素个数不超过，求正整数的取值范围.
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）求出，利用根与系数的关系可写出该一元二次方程；
（2）分析可知，以及已知条件和，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；
（3）根据题意可得出，再由可得出的取值范围，确定正整数的可能取值，然后结合题意逐一检验即可.
【小问1】
解：因为，则，
所以，，
所以，这个一元二次方程为，即，
即.
【小问2】
解：因为
，可得，
因为，则，可得，则，
对于方程，Δ=m2-42-m22=3m2-8>0，可得，
所以，，解得或，
因此，实数的取值范围是或.
【小问3】
解：由Δ=m2-42-m22=3m2-8>0，可得，
因为集合，，且中元素个数不超过，
则，即，
可得，所以，，
所以，正整数的可能取值集合为，
当时，方程，解得，，则，合乎题意；
当时，方程为，解得，，
此时，，合乎题意.
综上所述，正整数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题第（3）问题的解题关键在于根据中的元素不超过，分析出，在求出的可能取值后，逐一检验即可.
21. 已知集合为非空数集，定义：，.
（1）若集合，直接写出集合、；
（2）若集合，，且，求证：；
（3）若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.
【答案】（1），
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据题中定义可直接写出集合、；
（2）根据两集合相等即可找到、、、的关系；
（3）通过假设集合，其中，，求出相应的、，通过建立不等关系，进而求出相应的值．
【小问1】
解：因为，，，
由题中定义可得，.
【小问2】
证明：取，则，而，
且，故，又，
而均为中元素且非零，故即，
故.
【小问3】
解：设，其中，，
不妨设，
则，
所以，
因为，
又因为，所以，
中最小的元素为，最大的元素为，，
所以，，
实际上当时满足题意，
证明如下：
设，，
则，，
依题意有，解得，
故最小值为，于是当时，中元素最多，
即时满足题意，
综上所述，集合中元素的个数的最大值为，即的最大值为.
【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.