江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版）

这是一份江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 抛物线的焦点到准线的距离是
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先根据抛物线的方程求出的值，再根据抛物线的简单性质即可得到．
由，知＝4，而焦点到准线距离就是．
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，属于基础题．
2. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出双曲线方程中的即得解.
解：∵抛物线的焦点是（2，0），∴，，∴，
∴．
所以双曲线的渐近线方程为.
故选：D
3. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，以及正三角形的性质求得也即椭圆的离心率.
如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点.
依题意可知，正三角形.
因为在中，，
所以，即椭圆的离心率.
故选：A
4. 从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，从且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为( )
A. B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】先设出P点坐标，进而求得抛物线的准线方程，进而求得P点横坐标，代入抛物线方程求得P的纵坐标，进而利用斜率公式求得答案．
解：设，
依题意可知抛物线准线x=-1，
，，
，．
直线PF斜率为，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的应用、直线斜率解题的关键是灵活利用了抛物线的定义．
5. 直线与椭圆总有公共点，则m的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果.
直线过定点，只需该点落在椭圆内或椭圆上，∴，
解得，又，
故选：C．
6. 已知圆：平分圆：的周长，则（）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用圆的圆心在两圆的公共弦上求解．（两圆方程相减可得公共弦所在直线方程）．
由圆：平分圆：的周长可知，圆经过圆的一条直径的两个端点，
所以圆的圆心在圆与圆的公共弦上，两圆方程相减整理得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，
又圆心，所以，所以，
故选：C.
7. 设双曲的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设该双曲线方程为得点B（0，b），焦点为F（c，0），直线FB的斜率为,由垂直直线的斜率之积等于-1，建立关于a、b、c的等式，变形整理为关于离心率e的方程，解之即可得到该双曲线的离心率.
设该双曲线方程为可得它的渐近线方程为，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为，
∵直线FB与直线互相垂直，,
,
,
,
,
双曲线的离心率e＞1，
∴e=,故选D.
考点：双曲线的简单性质
8. 已知点是直线：上的动点，过点引圆：的两条切线.为切点，当的最大值为时，则的值为（）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】由点在直线上，连接，当时，最大，再利用点到直线的距离公式可得答案.
由题意知，点在直线上，
连接，当时，最大，此时，
所以，故，
又圆心到直线的距离，所以.
故选：D
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知双曲线，给出以下4个命题，真命题的是（ ）
A. 直线与双曲线有两个交点
B. 双曲线C与1有相同渐近线
C. 双曲线C的焦点到一条渐近线的距离为3
D. 双曲线的焦点坐标为
【答案】BC
【解析】
【分析】根据双曲线的渐近线、焦点坐标，结合各项描述判断正误即可.
A，因为直线与渐近线平行，与双曲线只有一个交点，错误；
B，两曲线渐近线方程均为，正确；
C，右焦点为到渐近线的距离为，正确；
D，因，所以双曲线焦点坐标为和，错误．
故选：BC
10. 下列结论正确的是（）
A. 已知点在圆上，则的值可能是
B. 已知直线和以为端点的线段相交，则实数的取值范围为
C. 已知点是圆外一点，直线的方程是，则与圆相交
D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项，令，则，结合直线与圆的位置关系，即可判断；
B选项，易知直线过定点，结合斜率的坐标公式，即可判断；
C选项，结合点与圆的位置关系，以及直线与圆的位置关系，即可判断；
D选项，根据题意，结合圆与圆的位置关系，即可判断.
对于选项A，令，则，
因为点在圆上，
所以直线与圆有交点，
因此圆心到直线的距离，解得或，故A正确；
对于选项B，由，得，因此直线过定点，
因为，，且，所以或，故B错误；
对于选项C，圆的圆心直线的距离，
因为点是圆外一点，所以，
因此，即直线与圆相交，故C正确；
对于选项D，到点的距离为1点在圆上，
由题意可知，圆与圆相交，
故圆心距，且，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知椭圆C：的右焦点为F，点为椭圆C内一点．若椭圆C上存在一点P，使得，则m的值可以为（）
A. B. C. 24D. 25
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，由点在椭圆内部，再结合椭圆的定义，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
设椭圆的左焦点为，则，
由点A在椭圆内部得，结合，解得，
根据椭圆的定义及得，
又当P，，A三点共线时最大，从而，解得，
综上，，
故选:BCD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出双曲线的右顶点坐标进而得抛物线的焦点坐标，即可得抛物线方程.
双曲线，所以右顶点（4,0），
抛物线的焦点也为（4,0），所以，，
抛物线的标准方程为：
故答案为：.
13. 数学月考出了这样一道题：设为椭圆上的两个动点，若直线上存在点，使得为直角，求实数的取值范围．小峰同学没有思路，于是求助数学老师，老师拍拍他的肩膀告诉他：从前，有个叫蒙日的数学家，发现椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆．小峰顿悟，于是写出了答案：________．
【答案】
【解析】
【分析】先求出给定椭圆的蒙日圆方程；再根据题目条件可得出直线与该蒙日圆相交，建立不等式即可求解.
由题知，因为椭圆的两条互相垂直的切线的交点所构成的轨迹是一个定圆，
所以，直线围成的矩形外接圆即为该定圆：．
若直线上存在点使为直角，
即，为椭圆切线时，该直线与该圆有交点，，
解得，
故答案为:．
14. 如图，椭圆的中心在坐标原点，，，，分别为椭圆的左、右、下、上顶点，为其右焦点，直线与交于点P，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据为钝角转化为，从而得到关于，的不等式，即可求解.
设椭圆的标准方程为，．
由题意，得，，，
则，．
因为为向量与的夹角，且为钝角，
所以，所以．
又，所以，
即，解得或，
因为，所以，
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 设，分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，求该双曲线的渐近线方程．
【答案】．
【解析】
【分析】根据题意，由双曲线的定义结合其渐近线方程，代入计算，即可得到结果.
设的中点为M，连接．由，故，即．
在中，，故．
根据双曲线的定义有，即，即，即，即，故双曲线的渐近线方程是，即．
16. 已知双曲线上存在关于直线：对称的两点A，B，求实数k的取值范围.
【答案】
【解析】
【分析】双曲线上存在关于直线：对称的两点A，B，当时，显然不成立，舍去；当时，直线AB的方程为，线段AB的中点与双曲线联立方程组可得，此时，，化为①，利用根与系数的关系与中点坐标公式可得，代入直线：，可得，代入①式解出即可.
当时，显然不成立；
当时，由，可设直线AB的方程为，
代入中，得，
∴，，
即①
设AB的中点，由根与系数的关系，
得，
∵点在直线上，
∴，
即②
把②代入①得，解得或，
∴或，
即或，且，
解得或，或或
故的取值范围是.
17. 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点到焦点的距离为6．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C与直线相交于不同的两点A、B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）根据抛物线上点到焦点的距离关于p的方程可求出得抛物线方程；
（2）联立直线方程与抛物线方程得一元二次方程，由韦达定理及中点坐标公式即可求解.
【小问1】
由题意设抛物线方程为，其准线方程为，
∵到焦点的距离等于A到其准线的距离，
∴
∴
∴抛物线C的方程为
【小问2】
由消去y，得,
∵直线与抛物线相交于不同两点A、B，
则有,
解得且，
又，
解得，或（舍去）
∴的值为．
18. 设有三点，其中点在椭圆上，，，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过椭圆的右焦点的直线倾斜角为，直线与椭圆相交于，求三角形的面积.
【答案】（1）； （2）.
【解析】
【分析】（1）先求得的值.设出点坐标，代入，化简后可求得点坐标，将点坐标代入椭圆方程，由此求得的值，并求出椭圆方程.（2）由（1）求得椭圆焦点的坐标，利用点斜式得到直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用两点间距离公式求得的长度，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，由此求得三角形的面积.
（1）解：由题意知，，
设，，，
由，∴，
∴
设椭圆方程②，将①代入②，
∴，
∴椭圆方程为
（2），
∴的方程代入，整理得，
∴x=0或，
∴交点坐标为和
，到的距离为
所以，
所以三角形的面积为.
【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆标准方程的求法，考查了向量加法和减法的坐标运算，以及两点间的距离公式和点到直线距离公式.有关直线和椭圆相交所得的弦长，往往通过联立直线的方程和椭圆的方程，求出交点坐标或者利用韦达定理和弦长公式来求解.
19. 如图，已知圆和点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且有.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若以点为圆心所作的圆与圆有公共点，试求出其中半径最小的圆的方程；
（3）求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设，根据切线性质与勾股定理列式，结合已知即可得出，整理即可得出答案；
（2）设圆的半径为，根据圆与圆的位置关系得出与的不等关系式，结合小问一点的轨迹方程即可得出，得出其最小值，即可得出点坐标与半径最小值，即可得出答案；
（3）设关于直线的对称点为，根据点关于直线对称点的求法得出，根据已知结合几何关系得出，即可计算得出答案.
【小问1】
设，
切点，
，
由勾股定理有，
又，
，整理得.
点的轨迹方程为：；
【小问2】
设圆的半径为，圆与圆有公共点，圆的半径为1，，即且，
而，
故当时，. （也可以通过求点到直线的距离得到）
此时，，
故半径取最小值时圆的方程为：.
【小问3】
设关于直线的对称点为，
解，
，（也可以利用是的中点，得到）
，
当三点共线时，取得等号.
则的最大值为.